等比数列的定义与通项公式正式版
三千鸦杀-
等比数列的定义与通项公式教学设计
一、教材依据
中等职业教育课程改革
国家规划新教材数学基础模块下册第六章《数列》第三节。
本
节课要求能正确理解等比数列的定义，能根据定义判断一个数列是等比数列，能运
用通项
公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项，能运用公式解决一些简单的
实际问题。
这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步
骤，研究另一种特殊
数列——等比数列。教材将等比数列安排在等差数列之后，有承前启
后的作用，一方面
与等差数列有着密切联系，另一方面为进一步学习等比数列求和有关内
容做好准备。
二、学生情况分析
现在的中职学生由于入学成绩低，基础普遍较差，且没有学习
的信心和主动性，
也不善于归纳总结。在本节课学习时，我考
虑学生可能会把等比数列和等差数列混淆，
对通项公式的推导和公式的运用可能比较难理
解。针对这些，我用幻灯片提前准课好堂
提问和课堂练习，尽量多一些学生思考的时间，
并积极鼓励学生和启发学生通过类比、
猜测和归纳，根据等差数列的定义与通项公式得出
等比数列的定义与通项公式；我还把
基础知识、基本技能、方法和思路溶于课堂练习中，
使学生在不知不觉中接受、掌握和
巩固等比数列的概念、公式，并发现解题的规律。总之
在课堂上我采用启发式的、感观
性的、让学生参与的直观教学，我用三多，即多练，多问
，多鼓励来打消学生的畏难情
绪，充分尊重学生的主体性和创造性，通过师生互动，为学
生学好数学搭建平台。
三、设计思想
这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤研究类似的问题，学
生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利
于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问
题的能力。另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0
等，在教学中应注意加以比较。
在设计本节课时，
我将内容按照“问题情景——学生活动——教学构建——教学运
用——教学反思”的顺序
展开，通过列举生活中的大量背景，让学生自己去发现，去探
索其公式意义。
四、教学目标
（一）知识目标：
1
、类比等差数列的概念，理解等比数列的概念；
2<
/p>
、类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式；
<
/p>
3
、掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问
题。
（二）能力目标
：
< br>给出问题情境，引导学生经过类比、观察、猜测、归纳、概括等过程，培养学生的
类比创新能力，严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度。
（三）情感目标：
通过感受问题情境
，激发学生学习数学的热情，培养学生应用数学的意识。
五、
教学重点：
等比数列的定义和对通项公式的认识与应用。
六、教学难点：
等比数列通项公式的推导和运用。
< br>
七、教学设备：
多媒体辅助教学。
八、教学过程：
（一）创设情境（幻
灯片）（
2
分钟）
< br>情境
1
：
某人于元月经引诱参与
传销活动，二月发展
2
人作为其下线。一个月后，
每个下线各发展
2
人作其下线，依此继续。问：每个
月新增多少人受骗
?
情境
2
：
银行贷款一般都是采用“复式计息法”计算利息，即把前一期的利息和
本
金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计
算本利和的公式是
本利和＝本金×（
1
＋利息）
贷款期
例如，现在从银行贷款
10000
元钱，年利息是
1.98%
，那么按照复利，
5
年内各年
末的本利和分别是（计算时精确到小数点后
2
位）
：
时
间
第
1
年
第
2
年
第
3
年
第
4
年
第
5
年
年初本金（元）
10000
10000×1.0198
10000×1.0198
10000×1.0198
10000×1.0198
4
3
2
年末本利和（元）
10000×1.0198
10000×1.0198
10000×1.0198
10000×1.0
198
10000×1.0198
5
3
2
4
各年末的本利
和（单位：元）组成了下面的数列：
10000×
1.0198
，
10000×
1.0198
，
10000×
1.
0198
，
10000×
1.0198
，
10000×
1.0198
5
。
2
3
4
（二）学生活动
(3<
/p>
分钟
)
问题：
1
、上面这些问题涉及的数列是等差数列吗？
< br>
2
、与等差数列相比，上面这些数列有什么共同特点？
3
、你能再举出几个具有这样特点的数列吗？（要求与众不同）
（评析：①从实际问题引入，体现直观具体，激发学生的求知欲；②与旧知发生联
系，
获得类比情境；
学生举例，
问题具有开放性，
意在积累感性认识；
要求“与众不
同”
恰是通过交流为不同学生构筑相接近的认知平台。
）
（三）建构教学（
15
分钟）
1
、等比数列的概念（引
导学生通过类比等差数列得出）
（
1
）定义：一般地，一个数列从第二起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
练习：
(
幻灯片）
①以下几组数列，说出哪些是等比数列，如果是等比数列，它的公比是多少？
A
、－
2
，
1
，
4
，
7
，
10
，<
/p>
13
，
16
，<
/p>
19
，…
B<
/p>
、
8
，
16
，
32
，
64
，
128
，
256
，…
C
、<
/p>
31
，
29
，<
/p>
27
，
25
，<
/p>
23
，
21
，<
/p>
19
，…
D<
/p>
、
1
，－
1
，
1
，－
1
，
1
，－
1
，
1
，－
1
，…
②等比数列和等差数列有着密切的联系，那
么有没有这样的数列，它既是等差数列
又是等比数列呢
？
请举例。
③对于等比数列
{
a
n
}
，
a
n
能不能是
0
？公比
q
能不能是
0
？
得到对定义的认识：①
等比数列的每一项都不为
0
；②公比不为
0
。
提问：对于等比数列，你想对
它做些什么研究？问题是怎样产生的？
（
< br>2
）概念数字化（类比等差数列，在教师的启发下由学生讨论得出）
对于数列｛
a
n
｝
，若
a
n
1
q
（
n
N
*
，
q
为常数）
< br>，则称这个数列为等比数列，常数
a
< br>n
q
称为等比数列的公比。
<
/p>
提问：通过类比可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了
“比”，
我们已经知道等差数列可以用公差
d<
/p>
，
项数
n
及首项
a
1
表示等差数列的任一项，
也就是可以表示它的通项公式
a
n
。同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗？如果能
得出，试用以上例子加
以检验。
2
、等比数列的通项公式（
由学生类比等差数列讨论得到等比数列的通项公式）
（
1
）通项公式：
a
n
a
1
q
n
1
,
n
N
*
（
2
）知道等比数列的
首项和公比就可求出这个数列的任何项
练习：（
幻灯片）
①一个蜂巢里有１只蜜蜂，第
1
天<
/p>
,
它飞出去找回了
1
个伙伴；第
2
天
,2
只蜜蜂飞
出去，各自找回了
1
个伙伴……如果这个找伙伴过程继续下去，第
10
天所有蜜蜂都归
巢后，算一算蜂巢中共有多少只蜜蜂？
②写出等比数列
3,9,27,81,…,3n,…
的通项公式
③用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是哪些？
A
、已知
a
1
=2
，
a<
/p>
n
=3a
n
+1
；
B
、
1<
/p>
，
2
，
4
，……；
C
、
a
，
a
，
a
，……，
a
；
D<
/p>
、
1
，
-1
，
1
，……，
(-
1)
n+1
。
师点评：寻找通项即寻找项的一般规律，常可先看特殊项，写出几项，再归纳出一
般结
论，这是探索数列常用的一种方法，叫不完全归纳法。
④提问
：对于等比数列的通项公式，我们可以从哪几个方面去认识它？
（在讲等差数列时已讨论过这类公式，学生知道从什么角度去认识公式）
A
、可以从函数的角度去认识，通项公式可以看作是“项”与“项所在的项
数”之
间的函数关系。
当
q
＝
1
时，
a
n
a
< br>1
，点（
n
，
< br>a
n
）在直线
y
＝
a
1
上；当
q
≠
1
时，函数图像类似于<
/p>
指数函数图像，但是它的图像是由一些孤立的点组成。
B
、从方程的角度去考虑，方程中有四个量，在
a
1
，
a
n<
/p>
，
q
和
n
中只要知道其中三个
量，便可求第四个，请学生自己举例编这样类型的
题。
（评析：通过学生自己亲自尝试、体验，才能深该理解等
数列的定义和通项公式。
对学生来讲，这样才能学好数学）
<
/p>
（四）知识应用（
10
分钟）