等差数列和等比数列的总结与联系
left-
等差数列和等比数列的综合及其联系
课题设计背景：
数列是反映自然规律
的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两
种基本数学模型，
研究等差数列的通项、
性质以及求和公式，
并用类比的方法对等比数列进
行研究是课程标准的教学要求。
课题设计目标：
（
< br>1
）掌握等差数列的通项公式及其前
n
< br>项和公式；
（
2
）掌握等差数列的通项公式及其前
n
项和公式；体验
用类比的思想方法对等差数列和等
比数列进行研究的活动。
（一）等差数列与等比数列综合：
定义
通项
公式
求和
公式
{
a<
/p>
n
}
为等差数列
（
n
N
）
，
a
n
1
a
n
d
< br>(
d
为常数）
其中
d
为公差
{
a
n
}
< br>为等比数列
a
n
1
（
< br>n
N
）
，
q
(
q
为常数且
q
0
）
a
n<
/p>
其中
q
为公比
a
n
=
a
1
+
（
n
1)
d=
a
k
+
(
n
k
)
< br>d
a
n
a
1
q
n
1
a
1
n
q
a
k
q
n
k
q
< br>n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)<
/p>
S
n
na
1
d
2
2
（倒序求和法）
q
1
时，
S
n
na
1
a
1
(1
q
n
)
a
1
a
n
q
q
1
时
，
S
n<
/p>
1
q
1
q
（错位相减法
）
若
a
,A
,
b
成等比数列，则
G
ab
2
中项
公式
a
b
2
（
推广：
2
a
n
a
n
1
a
n
1
n
2)
，
若
a
,A,b
成等差数列，则
A=
2<
/p>
a
n
a
n
k
a
n
（
k
n
,
k
N
,
n
k
)
<
/p>
G
ab
2
（
推广：
a
n
a
n
1
a
n
< br>1
n
2)
数列与
函数
关系
a
n<
/p>
=
dn
+
a
1
d
（准一次函
数）
d
d
S
n
n
2
(
a
1
)
n
（常数项为
0
2
2
的准二次函数）
a
n
a
1
q
n
1
a
1
n
q
q
a
1<
/p>
(1
q
n
)
a
a
S
n
1
1
q
n
< br>
A
Aq
n
1
q
1
q
1<
/p>
q
若
m+n=
p+q
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
。
1
若
m+n=p+q
则
a
m
a
n
a
p
a
q<
/p>
性
质
a
k
,
a
k
m
,
a
k
2m
,
< br>
为等差数列；
且公差为
_______
S
n
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n<
/p>
,...
成等差数列
3
S
2
n
1
(2
n
1)
a
n
2
a
k
,<
/p>
a
k
m
,
a
k
2m
,
为
等
比
数
列
< br>；
且
公
比
为
_______.
（注意例
S<
/p>
n
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n
,...
成等比数列。
外）
例题分析：
1
、
已
知
f
(
x
)
1
x
2
2
f
(
5)
f
(
4
)
f
(
3)
...
f
,
利
用
课
本
推
导
等
差
数
列
前
n
项
和
的
公
式
的
方
法
< br>，
求
和
：
(
5)
f
的值
2
、
已知公差不为零的等差数列
{
a
n
}
中，
a
2
,
a
3
,
a
6
组成等比数列的连续三项，求公比
q
3
、已知等差数列
a
n
的公差和等比数列
b
n
的公比都是
< br>d
,
d
1,
a
1
b
1
,
a
4<
/p>
b
4
,
a
10
b
10
;
（
1
）求
a
1
和
d
的值；
（
2
）
b
16
是不是数列
a
n
中的项，为什么？
（二）等差数列和等比数列之间的转化
结论：
（
1
）
a
n
成等差数列，则
c
(
c
0,
c
1)
成等比数列；
a
n
（
2
）正项数列
a
n
成等比数列，则
log
c
a
n
(
c
0,
c
1)
成等差数列。类比可结合上述结
论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。
例题分析：
1
、
已知数
列
{
a
n
}(
n
N
)
是一个以
q
(
q<
/p>
0)
为公比，以
a
1
(
a
1
0)
为首项的等比数列，求
*
lg
a
1
lg
a
2
...
lg
a
n
2
、
若数列
{
a
n
}(<
/p>
n
N
)
是等差数列，则有数列
b
n
< br>
*
a
1
a
2
a
3
......
a
n
,(
n
N
*
)
n
*
也是等
差数列
；类比上述性质，相应地：若数列
{
c
n
}(
n
N
)
是等比数列，且
c
n
0
< br>，则
有数列
d
n
_________________,(
n
N
*
)
也是等比数列
。
1
3
、
设
{
a
n
}(
n
N
)
是
等
差
数
列
，
b
n
<
/p>
2
*
a
n
，
已
知
b
1
b
2
b
3
2
1
1
,
b
b<
/p>
1
b
2
3
,
求
数
列
8
8
{
a
n
}(
n
< br>
N
*
)
的通项公式。
（三）学法总结：
（四）课后反思：