2021版新高考数学：等比数列及其前n项和含答案
stick-
教学资料范本
2021
版新高考数学：等比数列及其前
n
项和含答案
编
辑：
__________________
时
间：
__
________________
1 / 15
第三节
等比数列及其前
n
项和
[
考点要求
]
1.
理解等比数列的概念．
2.
掌握等比数列的通项公式与前
n
项和公
式．
3.
能在具体的问题情境中识别数列的等
比关系、并能用等比数列的有关知识
解决相应的问题
.4.
了解等比数列与指数函数的关系．
(
对应学生用书第
106
< br>页
)
1
．
等比数列的有关概念
(1)<
/p>
定义：如果一个数列从第
2
项起、每一项
与它的前一项的比等于同一个常
2 / 15
数
(
不为零
)
、那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公
比、通
an
＋
1
常用字母
q
表示、定义的数学表达式为
an
＝
q
(
n
∈
N
*
、<
/p>
q
为非零常数
).
(2)
等比中项：如果
a
、
G
、
b
成等比数列、
那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项．即
G
是
a
与
b
的等比中项
⇒
a
、
G
、
b
成等比数列
⇒
G
2
＝
ab
．
2
< br>．
等比数列的有关公式
(1)
通项公式：
a
n
＝
a
1
q
n
－
1
＝
a
m
q
n
－
m
.
(2)
前
n
项和公式：
<
/p>
na1
（
q
＝<
/p>
1
），
S
n
＝
a1
（
1
－
qn
）
a1
－
anq
1
－
q
＝
1
－
q
（
q≠1
）
.
[
常用结论
]
等比数列的常用性质
1
．
在等比数列
{
a
n
}
中、若
m
＋
n
＝
p
＋
q
＝
2
< br>k
(
m
、
n
、
p
、
q
、
k
∈
N
*
)
、则
a
m
·
a
n
＝
a
p
·
a
q
＝
a
2
k
．
1
2
．<
/p>
若数列
{
a
n<
/p>
}
、
{
b
n
}(
项数相同
)<
/p>
是等比数列、则
{
λa
< br>n
}(
λ
≠
0)
、
an
、
{
a
2
n
}
、
<
/p>
an
{
a
n
·
b
n
}
、
bn
仍然是等比数列．
3
．
等比数列
{
a<
/p>
n
}
的前
n
项和为
S
n
、则<
/p>
S
n
、
S
2
n
－
S
n
、
S
3
n
－
S
2
n
仍成等比数列、
其公比为
q
n
、其中当公比为－
1
时、
n
为偶数时除外．
一、思考辨析
(
正确的打“√”、错误的打“×”
)
3 / 15
(1)
满足
a
n
＋
1
＝
qa
n
< br>(
n
∈
N
*
、
q
为常数
)
的数列
{
a
n
}
为等比数列．
(
)
(2)
G
为
a
、
< br>b
的等比中项
⇔
G
2
＝
ab
.(
)
(3)
若
{
a
n
}
为等比数列、
b
n
＝
a
2
n
－
1
＋
a
< br>2
n
、则数列
{
b
n
}
也是等比数列．
(
)
a
（
1
－
an
）
(4)
数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
＝
a
、则其前
n
项和为
S
n
＝
.(<
/p>
)
1
－
a
n
(5)
数列
{
a
n
}
为等比数列、则
S
4
、
S
8
－<
/p>
S
4
、
S
12
－
S
8
成等比数列．
(
)
[
答案
]
(1)
×
(2)
×
(3)
×
(4)
×
(5)
×
二、教材改编
1
．在等比数列
{
a
n
}
中、
a
3
＝
2
、
a
7
＝
8
、则
a
5
等于
(
)
A
．
5
B
．±
5
C
．
4
D
．±
4
C
[
∵
a
2
4.
5
＝
a
3
a
7
＝
2
×
8
＝
16
、∴
a
5
＝
±
< br>又
∵
a
5
＝
a
3
q
2
＞
0
、∴
a<
/p>
5
＝
4.]
2
．等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
、已知
S
3
＝
a
2
＋
10
a
1
、
a
5
＝
9
、则
a
1
＝
(
)
1
1
1<
/p>
1
A
．
3
B
．－
3
C
．
9
D
．－
9
C
[
∵
S
3
＝
a
2
＋
10
a
1
、∴
a
1
＋
a
2
＋
< br>a
3
＝
a
2
＋
10
a
1
、∴
a
3
＝
9
a
1
、即公
比
q
2
＝
9<
/p>
、
a5
9
1
又
a
5
＝
a
1
q
4
、∴
a
1
＝
q4
＝
81
＝
9
.
故选
C.]
3
．在数列
{
a
n
}
中、
a
1
＝
2
、
a
n
＋
1
＝
2
a
n
、
S
n
为
{<
/p>
a
n
}
的前
n
项和．若
S
n<
/p>
＝
126
、则
n
＝
________
．
6
[
∵
a
1
＝
2
、
a
n
＋<
/p>
1
＝
2
a
n
、
∴数列
{
a
n
}
是首项为
2
、公比为
2<
/p>
的等比数列．
2
（
1
－
2n
）
又
∵
S
n<
/p>
＝
126
、∴
＝
126
、
1
－
2
解得
n<
/p>
＝
6.]
4
．
一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存
1 MB
、然后
每
3
秒自身
复制一次、复制后所占内存
是原来的
2
倍、那么开机
______
__
秒、该病毒占据内
存
8 GB(1
GB
＝
2
10
MB).
39
[
< br>由题意可知、病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列
{
< br>a
n
}
、
且
a
1
＝
2
、
q
＝
2
、∴
a
n
＝
2
n
、
则
2
n
＝
8
×
2
10
＝
2
13
、∴
n
＝
13.
4 / 15
< br>即病毒共复制了
13
次．
∴所需时间为
13
×
3
＝
39(
秒
).]
(
对应学生用书第
106
页
)
考点
1
等比数列的基本运算
等比数列基本量运算的解题策略
<
/p>
(1)
等比数列的通项公式与前
n
项和公式共涉及五个量
a
1
< br>、
a
n
、
q
、
n
、
S
n
、已
知其中三个就能求另外两个
(
简称
“
知三求二
”
).
(2)
运用等比数列的前
n
项和公式时、注意分
q
＝
1
和
q
≠
1
两类分别讨论．
1.
设
< br>S
n
为等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和、已知
3
S
3
＝
a
4
－
2
、
3
S
2
＝
a
3
－
2
、则公比
q
＝
(
)
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
5 / 15
B
[
因为<
/p>
3
S
3
＝
a
4
－
2
、
3
S
2
＝
a
3
－
2
、所以两式相减、得
3(
S
3
－
S
2
)
＝
(
a
4
－
2)
－
(
a
3
－
2)
、
即
3
a
3
＝
a
4
－
a
3
、
a4
得
a
4
＝
4
a
3
、所以
q
＝
a3
＝
4.]
1
2
．
(20xx·
全国卷
Ⅰ
)
记
S
n
为等比数列
{
a
n
}
的
前
n
项和．若
a
1
＝
3
、
a
2
4
＝
a
6
、则
S
5
＝
________
．
121
1
1
q3
2
1
5
2
<
/p>
3
[
设等比数
列的公比为
q
、由已知
a
1
＝
3
、
< br>a
4
＝
a
6
、所以
3
＝
3
q
、
又
1
（
1
－<
/p>
35
）
a1
（<
/p>
1
－
q5
）
3
121
q
≠
0
、所以
q
＝
3
、所以
S
5
＝
＝
＝
3
.]
1
－
q
1
－
3
3
9
3
．等比数列
{
a
n
}
的各项均为实数
、其前
n
项和为
S
n
、已知
a
3
＝
2
、
S
3
＝
2
、则
a
2
＝
________
．
3
－
3
或
2
[
法一：
(
直接法
)
∵
数列
{
a
n
}
是等比数列、
3
9
∴当
< br>q
＝
1
时、
a
1
＝
a
2
＝
a
3
＝<
/p>
、显然
S
3
＝<
/p>
3
a
3
＝
.
2
2
当
q
≠
1
时、由题意可知
a1
（
1<
/p>
－
q3
）
9
1
－
q
＝
2
，
3
< br>
a1q2
＝
2
，
1
解得
q
< br>＝－
2
或
q
＝
1(
舍去
).
a3
3
∴
a
< br>2
＝
q
＝
2
×
(
－
2
)
＝－
3.
3
综上可知
a
2
＝－
< br>3
或
2
.
3
法二：
(
优解法
)
由
a
3
＝
2
得
a
1
＋
a
2
＝<
/p>
3.
a3
a3
∴
q2
＋
q
＝
3
、
即
2
q
2
－
q
－
1
＝
0
、
6 / 15
1
< br>∴
q
＝－
2
或
q
＝
1.
a3
3
∴
a
2
＝
q
＝－
3
或
2
.]
4
．
(20xx·
全国卷
Ⅲ
)
等比数列
{
a
n
}
中、
a
1
＝
1
< br>、
a
5
＝
4
a
3
.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
< br>(2)
记
S
n
< br>为
{
a
n
}
的前
n
项和、若
< br>S
m
＝
63
、求
m
.
[
解
]
(1)
设
{
a
n
}
的公比为
q<
/p>
、由题设得
a
n
＝
q
n
－
1<
/p>
.
由已知得
q
4
＝
4
q
2<
/p>
、
解得
q
＝
0(
舍去
)
、
q
＝－
2
或
q
＝
2.
故
a
n
＝
(
－
2)
n
－
1
或
a
< br>n
＝
2
n
－
1
(
n
∈
N
＋
).
1
－（－
2
）
n
(2)
若
a
n
＝
(
－
2)<
/p>
n
－
1
、则
S
n
＝
.
3
由
S
m
＝
63
得
(
－
2)
m
＝－
188
、
此方程没有正整数解．
若
a
n
＝
2
n
－
1
、则
< br>S
n
＝
2
n
－
1.
由
S
m
＝
63
得
2
m
＝
64
、解得
m
＝
6
.
综上、
m
＝
6.
抓住基本量
a
1,
< br>q
、借用方程思想
求解是解答此类问题的关键、求解中要
注意方法的择优．
考点
2
等比数列的判定与证明
7 / 15