等差数列和等比数列知识点
蓝鲸-
城轩教育网
2011-7-13
等差数列和等比数列
基础知识
1
．数列的概念
定义
1
：
<
/p>
按照某一法则，给定了第
1
个数
，于是得到一列有次序的数
数列的项，第
项
，第
2
个数
，„„
„，对于正整数
有一个确定的数
表示。数列中的每项称为
我们称它为数列，用符号
的通项。
称为数列的一般项，又称为数列
定义
2<
/p>
：当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则
称
这个数列为无限数列。
定义
3
：对于一个数列，如果从第
2
项起，每一项都不小于它的前一项，即
称为递增数
列；
如果从第
2
项起，
每一项都不大于它的前一项，
即
定义
< br>4
：如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即
这
样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。
定义
5.
如果在数列
为数列
的通项公式。
中，项数
与
具有如下的函数关系：
，则称这个关系
，这样的数列
，
这样的数列称为递减数列。
，其中
是某一个正数，则称
2
．等差数列
定义
6.
一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫
做等差数列，这
个常数叫做公差，常用字母
表示
等差中
项：任意两个数
a
,
b
有且只有一个等差中项，即
A
a
b
a
b
；
A
是
a
、
A
、
b
成等差数
2
2
列的充要条件。因此，两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数
。
等差数列具有以下几种性质
：
（
1
）等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(
n
1)
d
或
a
n
a
m
(
n
m
)
d
，其中（
n
m
）
；也可以
n
m
，
但
a
n
、
a
m
必须是数列中的项，
也可得
d=
a
n
a
1
a
a
m
(
n
1)
或
d=
n
(
n
m
)
n
1
n
< br>m
由于
a
n
a
1
(
n
<
/p>
1)
d
可整理为
a
n
dn
(
a
1
d
)
。如果
d
0
，
a
n
是常数；如果
d
<
/p>
0
，
a
n
是
n
的
一次函数式，
那么公差不为
0
的等差数列的图像是直线
y
dx
(
a
1
d<
/p>
)
上的均匀排开的一群孤立点。
（
2
）等差数列的前
项和公式：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n<
/p>
(
n
1)
d
；
或
S
n
na
1
2
2
1
作成：范城廓
QQ
：
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2011-7-13
由于
S<
/p>
n
na
1
n
(
n
1)
d
d
d
d
d
，可整理
S
n
n
2
(
a
< br>1
)
n
；设
A=
，
B=
a
1
，该式看写成
2
2
2
2
< br>2
，那么
(
n
< br>,
S
n
)
在二次
S
n
An
2
Bn
,
当
A
0(
即
d
0
)
时，
S
n
是
关于
n
的二次函数（其中常数项为
0<
/p>
）
函数
y
Ax
2
Bx
的图像上。因此，当
d
< br>0
时，数列
S
1
、
S
2
、
S
3
、、
...
< br>S
n
的图像为抛物线
y
Ax
2
Bx
上的一群孤立的点。
S
n
的最值求法：
若
a
n
是等差数列，求前
n
项和的最值时：
a
n
0
①若
a
1
0,
d
0
，且满足
；前
n
项和
S
n
最大；
a
0
< br>n
1
a
n
0
②
若
a
1
0,
d
0
，且满足
；前
n<
/p>
项和
S
n
最小；
a
n
1
0
③除上面方法外，还可以将
a
n
的前
n
< br>项和的最值问题看做
S
n
关于<
/p>
n
的二次函数问题，
利用二次函数的图像
或配方法求解；
④还可以利用
S
n
与
n
的函数关系
，进行求导求最值。
（
3
）公差非零的等差数列的通项公式为
的一次函数
；
（
4<
/p>
）公差非零的等差数列的前
项和公式是关于
不含有常数项的二次函数；
（<
/p>
5
）设
a
n
是等差数列，则
a
n
b
（
、b
是常数）是公差为
< br>d
的等差数列；
（
6
）设
a
n
，
< br>b
n
是等差数列，则
1
a
n
2
< br>b
n
（
1
、
2
是常数）也是等差数列；
（
7
）设
a
n
，
b
n
是等差数列，且
b
n
N
，则
a
b
n
也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的
子数
列仍为等差数列）
；
（
8
）有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项
和相等，并且等于首末两项的和；特别地，若项数
为奇数，还等于中间项的
2
倍。即
a
1
a
n
a
2
a
n
1
< br>
a
3
a
n
2
...
2
a
中
（
9
）
若
m
,
n
,
p
,
q
N
< br>，
且
m
n
p
q
，
则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
特
别
< br>地
，
当
m
n
2
p
时
，
a
m
a
n
2
a
p
；
（
< br>10
）在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列
仍然是等差数列，但
是剩下的项按原来顺序排列构成的数列不一定是等差数列。
（
11
）等差数列中连续几项的和构成的新数列仍然是等差数列。
2
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（
12
）若数列
a
n
为等差数列，若
S
n
为其前
n
项和，则
< br>S
m
、
S
2
m
m
、
S
3
m
2
m
、
S
4
m
3
m
、
...
成等差数列。<
/p>
（
13
）
项数为偶数
2
n
的等差数列
a
n
，
有
S
2
n
na<
/p>
(
1
a
2
n
)
na
(
2
a
2
为中间的两项
)
。
（
14
）
设
；
（
15
）对于项数为
2
n
的等差数列
a
n
，记
S<
/p>
奇
、
S
偶
分别表示前
则
S
偶<
/p>
S
奇
=
nd
，
项中的奇数项的和与偶数项的和，
，
，
，
则
有
1
n
)
.
na
(
a
)
n
n
1
(
a
n
与<
/p>
a
n
1
S
奇
a
n
；
=
S
偶
a
n
1
S
奇
n
；
=
S
偶<
/p>
n
1
（
16
）对于项数为
2
n
1
的等差数列
a
n
，有
S
奇
S
偶
=
a
n
，
（
17
）
S
n
是等差数列的前
n
项和，则
S
2
n
1
(
2
n
1)
a
n
；
（
18
）其他衍生等差数列：
若已知等差数列
a
n
，公差为
d
，前
n
项和为
S
n
，则
①．
②
．
公差
；
为等差数列，公差为
；
（即
）为等差数列，
③．
（即
）为等差数列，公差为
等差数列的判定方法：
①．定义法：
a
n
1
a
n
d
(
常数）
a
n
是等差数列。
②．中项公式法：
< br>2
a
n
1
a
n
a
n
2
（
n
N
）
a
n
是等差数列。
③
.
通项
公式法：
a
n
pn
q
（
p
、q
为常数）
a
n
是等差数列。
④
.
前
n
项和公式：
S
n
An
2
Bn
（
A
、
B
为常数）
a
n
< br>是等差数列。
★几个常用结论及等差数列综合问题：
（
1
）几个常用结论：
3
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