等差数列和等比数列专题讲义
咽炎-
等差数列和等比数列专题讲义
考情解读
1.
等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现
.2.
数
列求和及数列与函数、
不等式的综合问题是高
考考查的重点，
考查分析问题、
解决问题的综
< br>合能力．
S
1
，
n
＝
1
，
1
．
a
n
与
S<
/p>
n
的关系
S
n<
/p>
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
，
n
≥
2.
2
．等差数列和等比数列
定义
通项公式
等差数列
a
n
－
a
n
－<
/p>
1
＝常数
(
n<
/p>
≥
2)
a
n
＝
a
1
＋
(
n
－
1)
d
(1)
定义法
(2)
中项公式法：
2
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
a
n
＋
2
(
n
≥
1)
⇔
{
a
n
}
为等差数列
(3)
通项公式法：
a
n
＝
pn
＋
q
(
< br>p
、
q
判定方法
为常数
)
⇔
{
a
n
}
为等差数列
(4)
前
n
项和公式法：
S
n
＝
An
2
＋
等比数列
a
n
＝常数
(
n
≥
2)
a
n
－
1
a
n
＝
a
1
q
n
1
(
q
≠
< br>0)
－
(1)
定义法
(2)
中项公式法：
a
2
n
＋<
/p>
1
＝
a
n
·
a
n
＋
2
(
n
≥
1)(
a
n
≠
0)
⇔
{
< br>a
n
}
为等比数
列
(3)
通项公式法：
a
n
＝
c
·
q
n
(
c
、
q
均是不为
0
的常数，
Bn
(
< br>A
、
B
为常数
< br>)
⇔
{
a
n
}
为等差数列
< br>n
∈
N
*
)
⇔
{
a
n
}
为等比数列
(5){
a
n
}
为
等
比
数
列
，
a
n
>0
⇔
{log
a
a
n
}
为等差数列
(4){
a
n
< br>}
为等差数列
⇔
{
aa
n
}
为等比
数列
(
a
>0
且
a
≠
1)
(1)
若
m
、
n
、
p
、
q
∈
N
*
，且
m
＋
n
(1)
若
m
、
n
、
p
、
q
∈
N
*
，且<
/p>
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
a
m
＋
a
n
＝
a
p
< br>＋
a
q
性质
(2)
a
n
＝
a
m<
/p>
＋
(
n
－
m
)
d
(3)
S
m
，
S
2
m
－
S
m
，
S
3
< br>m
－
S
2
m
，…，仍
成等差数列
n
a
1
＋
a
n
n
n
－
1
S
n
＝<
/p>
＝
na
1
＋
d
2
2
＝
p
＋
q
，则
a
m
·
a
n
＝
a
p
< br>·
a
q
(2)
a
n
＝
a
m
q
n
－
m
(3)
等比数列依次每
n
项和
(
S
n
≠
0)
仍成等比数列
<
/p>
a
1
1
－
q
n
a
1
－
a
n
q
(1)
q
≠
1
，
S
n
＝
＝
1
－
q
1
－<
/p>
q
(2)
q
＝<
/p>
1
，
S
n
＝
na
1
前
n
项和
热点一
等差数列
例
1
(1)
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项
和为
S
n
，若
a
2
＋
a
4<
/p>
＋
a
6
＝
12
，则
S
7
的值是
(
)
A
．
21
B
．
24
C
．
28
D
．
7
(2
)
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若－
< br>1<
a
3
<1,0<
a
6
<3
，则
S
9
的取值范围是
___
_____
．
思维启迪
(1)
利用
a
1
＋
a
7
＝
2
a
4
建立
S
7<
/p>
和已知条件的联系；
(2)
将
a
3
，
a
6
的范围整体代入．
答案
(1)C
(2)(
－
3,21)
7
×
a
< br>1
＋
a
7
解析
(1)
由题意可知，
a
2
＋
a
6
＝
2
< br>a
4
，则
3
a
4
＝
12
，
a
4
＝
4
，所以
S
7
＝
＝
7
a
4
＝
28.
2
(2
)
S
9
＝
9<
/p>
a
1
＋
36
d
＝
3(
a
1
＋
2
d
)
＋
6(
a
1
＋
5
d
< br>)
又－
1<
a
3
<1,0<
a
6
<3
，
∴
－
3<3(
a
1
＋
2
d
)<3,0<6(
a
1
＋
5
d
)<18
，
<
/p>
故－
3<
S
9<
/p>
<21.
思维升华
< br>(1)
等差数列问题的基本思想是求解
a
1
和
d
，可利用方程思想；<
/p>
(2)
等差数列的性质
①
若
m
，
< br>n
，
p
，
q
∈
N
*
，
且
m
＋
n
＝<
/p>
p
＋
q
，则
a
m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q
；
< br>
②
S
m
，
S
2
m
－
S
m
，
S
3
m
－
S
2
m
，
…
，仍成等差数列；
a
m<
/p>
－
a
n
③
a
m
－
a
n
＝
(
m
－
n
)
d
⇔
d
＝
(
m
，
n
∈
N<
/p>
*
)
；
m
－
n
a
n
A
2
n
－
1
④
＝
(
A
，
B
2
n
－
1
分别
为
{
a
n
}<
/p>
，
{
b
n
}
的前
2
n
－
1
项的和
)
．
b
n
B
2
n
－
< br>1
2
n
－
1
(3)
等差数列前
n
项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，
利用性质解决．<
/p>
99
(1)
已知等差数列
{
a
n
}
中，
a
7
＋
a
9
＝
16
，
S
11
＝
，则
a
12
的值是
(
)
2
A
．
15
C
．
31
B
．
30
D
．
64
(
2)
在等差数列
{
a
< br>n
}
中，
a
5
<0
，
a
6
>0
且
a
6
>|
a
5
|
，
S
n
是数列
的前
n
项的和，则下列说法正确的是
(
)
A<
/p>
．
S
1
，
S
2
，
S
3
均小于
0
，
S
4
，
S
5
，
S
6
…均大于
0
B
．
S
1
，
S
2
，…
S
5
均小于
0
，
S
6
，
S
7
，
…均大于
0
C
．
S
1
，
S
2
，…
S
9
均
小于
0
，
S
1
0
，
S
11
…
均大于
0
D
．
S
1
，
S
2
，…
S
11
均
小于
0
，
S
1
2
，
S
13
…
均大于
0
答案
(1)A
(2)C
解析
(1)
因为
a
8
是
a
7
，
a
9
的等差中项，所以
2
a
8
＝
a
7
＋
a
9
＝
16
⇒
a
8
＝
8
，再由等差数列前
n
11
a
1
＋
a
11
11·
2
a
6
99
9
项和的计算公式可得
S
11
＝
＝
＝
11
a
6
，又因为
S
11
＝
，所以
a
6
＝
，则
d
＝
2
2
2
2
a
8
－
a
6
7
＝
，所以
a
12
< br>＝
a
8
＋
4
d
＝
15
，故选
A.
2
4
(2)
由题意可知
a
6
＋
a
5
>0
，故
a
1
＋
a
10
×
10
a
5
＋
a
6
×
10
S
10
＝
＝<
/p>
>0
，
2
2
a
1
＋
a
9
×
9
2
a
< br>5
×
9
而
S
9
＝
＝
＝
9
a
5
<0<
/p>
，故选
C.
2
2
热点二
等比数列
例
2
(1)
(2014·
安徽
)
数列
{
a
n
}
< br>是等差数列，若
a
1
＋
1
，
a
3
＋
3
，
a
< br>5
＋
5
构成公比为
q
的等比数
列，则
q
＝
_____________________.
5
5
S
n
(2)
已知等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
＋
a
3
＝
，
a
< br>2
＋
a
4
＝
，则
等于
(
)
2
4
a
n
A
．<
/p>
4
n
－
1
B
．
4
n
－
1
C
．
2
< br>n
－
1
D
．
2
n
－
1
思维启迪
(1)
列方程求出
d
，代入
q
即可；
(2)
求出
a
1
，
q
，代入化简
．
答案
(1)1
(2)D
解析
(1)
设等差数列的公差为
d
，则
a
3
＝
a
1
＋
2
d
，
< br>
a
5
＝
a
1
＋
4
d
，
∴
(
a
1
＋
2
d
＋
3)
2
＝
(
a
1
＋
1)(
a
1
＋
4
d
＋
5)
，解得
d
＝－
1
，
∴
q
＝
a
3
＋
3
a
1
－<
/p>
2
＋
3
a
＝
＝
1.
1
＋
1
a
1
＋
1
a
5
1
＋
a
3
＝
(2)
∵
2
，
a
5
1
＋
a
1<
/p>
q
2
＝
2
，
①
a
5
2
＋
a
4
＝
4
，
∴
a
5
1
q<
/p>
＋
a
1
q
3
＝
4
，
②
由
①②
可得
1
＋
q
2
1
q
＋
q
3
＝
2
，
∴
q
＝<
/p>
2
，代入
①
得<
/p>
a
1
＝
2
，
∴
a
1
－
4
n
＝
2
×
(
2
)
n
1
＝
2
n
，
<
/p>
2
×
1
－
1
n
∴
S
2
1
n
＝
＝
4(1
－
1
－
1
2
n
)
，
2
4<
/p>
1
∴
S
n
1
－
a
＝
2
n
＝
2
n
－
1
，故选
D.
n
4
2
n
思维升华
(1){
a
n
}
为等比数列，其性质如下：
< br>①
若
m
、
n
、
r
、
s
∈
N
*
，且<
/p>
m
＋
n
＝
r
＋
s
，则
a
m
·
a
n
＝
a
r
< br>·
a
s
；
②
a
n
＝
a
m
q
n
－
m
；
③
S
n
，
S
2
n
－
< br>S
n
，
S
3
n
－
S
2
n
成等比数列
(
q
≠
－
1)
．
(2)
等比数列前
n
项和公式
na
q
＝
1
，
1
S
n
＝
a
1
<
/p>
1
－
q
n
a
1
－
a
n
q
＝
q
≠
1
.
1
－
q
1<
/p>
－
q
①
能
“
知三求二
”
；
②
注意讨论公比
q
是否为
1
；
③
a
1
≠
0.
(1)
已知各项不为
0
的等差数列
{
a
n
}
满足
a
4
－
2
a
2
< br>数列
{
b
n
}
是等比数列，
7
＋
3
a
8
＝
< br>0
，
且
b
7
＝
a
7
，
则
b
2
b
8<
/p>
b
11
等于
(<
/p>
)
A
．
1
C
．
4
B
．
2
D
．
8
<
/p>
(2)
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＋
a
n
＝
34
，
a<
/p>
2
·
a
n
－
1
＝
64
，且前
n
项和
S
n
＝
62
，则项数<
/p>
n
等于
(
)
A
．
4
C
．
6
答案
(1)D
(2)B
2
2
解析
<
/p>
(1)
∵
a
4<
/p>
－
2
a
2
7
＋
3
a
8
＝
0
，
∴
2
a
7
＝
a
4
＋
3
a
8
，即
2
a
7
＝
4
a
7
，
∴
a
7
＝
2
，
∴
b
7
< br>＝
2
，又
∵
b
2
b
8
b
11
18
3
＝
b
1
qb
1
q
7
b
1
q
10
＝
b
3
1
q
＝
(
b
7
)
＝
8
，故选
D.
B
．
5
D
．
7
(2
)
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
< br>，由
a
2
a
n
－
1
＝
a
1
a
n
＝<
/p>
64
，又
a
1<
/p>
＋
a
n
＝
34
，解得
a
1
＝
2
，
a
n
＝
32
或
a
1
1
－
q
n
a
1
－
a
n
q
2
－
32
q
a
1
＝
32
，
a
n
＝
2.
当
a
1
＝
2
，
a
n
＝
32
时，
S
n
＝
< br>＝
＝
＝
62
，解得
q
＝
2.
< br>又
a
n
1
－
q
1
－
q
1
－
q
＝
a
1
q
n
1
，所以
2
×
2
n
1
＝
2
n
＝
32
，解得
n
＝
5.
同理，当
a
1
＝
32
，
a
n
＝
2
时，由
S
n
＝
62
，解得
q
－
－
1
1
－
1
－
1
1
－
＝
.
由
a
n
＝<
/p>
a
1
q
n
1
＝
32
×
(
)
n
1
＝
2
，得
(
)
n
1
＝
＝
(
)
4
，即
n
－
1
＝
4
，
n
＝
5.
综上，项数
n
等
2
2
2
16
2
于
5
，故选
B.
热点三
等差数列、等比数列的综合应用
例
3
已知等
差数列
{
a
n
}
的公差为－
1
，且
< br>a
2
＋
a
7
＋
a
12
＝－
6.
(1)
求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式
a
n
与前
n
项和
S
n
；
(2)
将数列
{
a
n
}
的前
4
项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为
等比数列
{
b
n
}
的前
3
项，
记
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，若存在
m
∈
N
*
，使对任意
< br>n
∈
N
*
，总有
S
n
<
T
m
＋
λ
恒
成立，求实数
λ
的取值范围．
思维启迪
(1)
利用方程思想求出
a
1
，代入公式
求出
a
n
和
S
n
；
(2)
将
恒成立问题通过分离法转
化为最值．
解
(1)
由
a
2
＋
a
7
＋
a
12
＝－
6
得
a
7
＝－
2
，
∴
a
1
＝
4
，
n
9
－
n
∴
a
n
＝<
/p>
5
－
n
，从而<
/p>
S
n
＝
.
2
(2)
由题意知
b
1
＝
4
，<
/p>
b
2
＝
2
，
b
3
＝
1
，
设等比数列
{
b
n
}
的公比为
q
，
b
2
1
则
q
＝
＝
，
< br>
b
1
2
1
4[1
－
m
]
2
1
∴
T
m
＝
＝
8[1
－
(
)
m
]
< br>，
1
2
1
－
2
1
∵
(
)
m
随
m
增加而递减，
2
∴
{
T
m<
/p>
}
为递增数列，得
4
≤
T
m
<8.
< br>n
9
－
n
1
又
S
n
＝
＝－
(<
/p>
n
2
－
9
n
)
2
2
1
9
81
＝－
[(
n
－
)
2
－
]
，
2
2
4
故
(
S
n
)
max
＝
S
4
＝
S
5
＝<
/p>
10
，
若存在
m
∈
N
*
，使对任意
n
∈
N
*
总有
S
n<
/p>
<
T
m
＋
λ
，
则
10<4
＋
λ
，得
λ
>6.
即实数
λ<
/p>
的取值范围为
(6
，＋
< br>∞
)
．
思维升华
等差
(
比
)
数列的综合问题的常见类型及
解法
(1)
等差数列与等比数列交汇
的问题，常用
“
基本量法
”
求解，但有时灵活地运用性质，可
使运算简便．
(2)
等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题
，求解时用等差
(
比
)
数列的相关
知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．<
/p>
1
已知数列
{
a
n
}
前
n
项和为
S
n
，首项为
a
1<
/p>
，且
，
a
n
，
S
n
成等差数列
．
2
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
< br>1
1
1
1
(2)
数列
{
b
n
}
满足
b
n
＝
(log
2
a
2
n
＋
1
)
×
(log
2
a
2
n
＋
3
)
，求证：
＋
＋
＋…＋
<
.
b
1
b
2
b
3
b
n
2
1
1
(1)
解
∵
，
a
n
，
S
n
成等差数列，
∴
2
a
n
＝
S
n
＋
，
2
2
1
1
当
n
＝
1
时，
2
a
1
＝
S
1
＋
，
∴
a
1
＝
，
2
2
1
1
当
n
< br>≥
2
时，
S
n
＝
2
a
n
－
，
S
n<
/p>
－
1
＝
2
a
n
－
1
－
，
2
2
两式相减得
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
2
a
n
－
2
a
n
－<
/p>
1
，
∴
a
n
＝
2
，
a
n
－
1
1
∴
数列
{
a
n
}
是首项为
，公比为
2
的等比数列，
2
1
－
－
∴
a
n
＝
×
2
n
1
＝
2
n
2
.
2
(2)
证明
b
n
＝
(lo
g
2
a
2
n<
/p>
＋
1
)
×
(log
2
a
2
n
＋
3
)
＝
log
2
2
2
n
1
1
1
1
1
1
< br>＝
×
＝
(
－
)
，
b
n
2
n
－
1
2
n
＋
1
2
2
n
－
1
2
n
< br>＋
1
＋
1
－
2
×
log
2
2
2
n
＋
3
－
2
＝
(2
n
－
1)(2
n
＋
1)
，<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
＋
＋
＋
…
＋
＝
[(1
－
)
＋
(
－
)
＋<
/p>
…
＋
(
－
)]
＝
(1
－
)<
(
n
∈
N
*
)
．
b
1
b
< br>2
b
3
b
n
2
3
3
5
2
2
n
－
1
2
n
＋
1
2
n
＋
1
2
1
1
< br>1
1
1
即
＋
＋
＋
…
＋
<
.
b
1<
/p>
b
2
b
3
b
n
2
1
．在等差
(
比
)
数列中，
a
1
，
d
(
q
)
，
n
，
a
n
，
S
n
五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两
个．解这
类问题时，一般是转化为首项
a
1
和公
差
d
(
公比
q
)
这两个基本量的有关运算．
2
．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等
差、等比数列问题既
快捷又方便的工具，
应有意识地去应用．<
/p>
但在应用性质时要注意性质的前提条件，
有时需要
进行适当变形．
3
．等差、等比数列的单调性
(1)
等差数列的单调性
d
>0
⇔
{
a
n
}
为递增数列，
S
n
有最小值．
<
/p>
d
<0
⇔
{
a
n
}
为递减数列
，
S
n
有最大值．
d
＝
0
⇔
{
a
n
}<
/p>
为常数列．
(2)
等比数列的单调性
a
1
>0
< br>，
a
1
<0
，
a
1
>0
，
a
1
<0
，
<
/p>
当
或
时，
{
a
n
}
为递增数列，当
或
时，
{
a
n<
/p>
}
为递减数列．
q
>1
0<
q
<1
q
>1
0<
q
<1
4
．常用结论
S
n
(1)
若
{
a
n
}
，
{
b
n
}
均是等差数列，
S
n
是
{
a
n
}
的前
n
项和，则
{
ma
n
＋
kb
n
}
，
{
}
仍为等差数列，
n
< br>其中
m
，
k
为常数．
2
(2)
若
{
a
n
< br>}
，
{
b
n
}
均是等比数列，则
{
ca
n
}(
c
≠
0)
，
{|
a
n
|}
，
{
a
n
·
< br>b
n
}
，
{
ma
n
b
n
}(
m
为常数
)
，
{
a
n
}
，
1
{
}
仍为等比数列．
a
n
(3)
公比不为
1
的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即
a
2
－
a
1
，
a
3
－
a
2
a
2
－
a
1<
/p>
q
a
3
－
a
2
，
a
4
－
a
3
，…，成等比数列，且公比为
＝
＝
q
.
a
2
－
a
1
a
2
－
a
1
(4)
等比数列
(
q
≠－
1)
中连续
k
项的和成等比数列，
即
S
k
，
S
2
k
－
S
k
，
S
3
k
－
S
2
k
，
…，
成等比数列，
其公差为
q
k
.
等差数列中连
续
k
项的和成等差数列，即
S
k
，
S
2
k
－
S
k
< br>，
S
3
k
－
S
2
k
，
…，成等差数列，公差为
k
2
d
.
5
．易错提醒
S
1
，
n
＝
1
，
(1)
应用关系式
a
n
＝
时，一
定要注意分
n
＝
1
，
n
≥
2
两种情况，在求出结果
S
n
－
S
n
－
1
，
n
≥
< br>2
后，看看这两种情况能否整合在一起．