无穷等比数列各项和应用题
得组词-
无穷等比数列各项和的应用题
例
1
．正方形
ABCD
的边长
为
1
，连接这个正方形各边的中点
得到
一个小的正方形
A
1
B
1
C
1
D
1
；又连接这个小正方形各边的
A
D
2
D
1
D
C
2
中
点得到一个更小的正方形
A
2
B
2
C
2
D
2
；如此无限继续下去，
求所有这些正方形的面积
的和
.
A
1
解：设第
n
个正方形的面积为
a
n
，由条件：
a
1
1
由题设，可得到：
A
n
B
n
(
A
n
1
B
n
1<
/p>
2
)
(
2
2
C
3
D
3
B
3
C
1
B
n<
/p>
1
C
n
1
2
)
2
(
A
n
1
B
n
1
)
2
1
2
2<
/p>
2
A
2
A
3
B
1
B
2
C
A
n
1
B
n
1
B
进而：
a
n
(
A
n
B
n
)
2
1
2
(
A
n
1
B
n
1<
/p>
)
2
a
n
1
，
1
2
所以，所有正方形
的面积组成的数列
{
a
n
}
是首项为
1
，公比为
故所有正方形的面积之和为：
S
1
1
1
2
2
.
的无穷等比数列，
变式：如图，在直
角三角形
ABC
中
< br>
B
90
,
tan
C
A
1
2
,
AB
a
,
在⊿
ABC
内作一系列的正
方形，求所有这些正方形面积的和
S
。
解
：
设
第
n
个
正
方
形
的
边
长
为
a
n
，<
/p>
面
积
为
S
n
，
a
1
2
3
a
,
2
a
n
a
n
1
a
n
<
/p>
1
1
2
,
q
a
n
1
a
n
2
3
B
，
S
1
1
4
4<
/p>
5
a
1
a
2
a
3
a
4
C
S
n
1
S
n
a
n
1
a
n
2
<
/p>
4
9
,
S
1
4
9
a
，于是
S
2
a
2
9
例
2
、若
P
1
是一块半径为
1
的半圆形纸板，在
P
1
的左下
端剪去一个半径为
1
2
的半圆后得到图形
P
2
，
然后依次剪
去一个更小半圆（其直径
为前一个被剪掉半圆的半径）
的
图
形<
/p>
P
3
,
P
4
,...,
P
n<
/p>
,...
，
记
纸
板
P
n
的
面
积
为
S
n
，
求
l
i
m
S
n
< br>的值
n
解：设第
n
次被剪去的半圆面积
为
a
n
（
n<
/p>
1,
2,
3<
/p>
）
,
则
a
1
1
2
(
)
,
a
2
2
< br>1
4
1
2
1
2
(
)
,
a
3
4
1
2
1
2
(
)
,...
它们组成一个无穷递缩等比数列
,
8
'
1
2
且面积的公比为
，故所有这些被剪掉部分
的面积和为
S
a
1
1
q
a
1
1
<
/p>
1
4
6
则
P
n
的面积为
lim
S
n
n
2
S
'
< br>2
6
3