高考数学一轮复习专题：等比数列及其前n项和(教案及同步练习)
名字-
1
．
等比数列的定义
一般地
，
如果一个数列从第
2
项起，
每一项与它的前一项的比等于同一常数，
那么这个数列叫做等比数列，<
/p>
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母
q
表示
(
q
≠
0)
．
2
．
等比数列的通项公式
设等比数列<
/p>
{
a
n
}
的首项为
a
1
，公比
为
q
，则它的通项
a
< br>n
＝
a
1
·
q
n
1
.
3
．
等比中项
如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项．
4
．
等比数
列的常用性质
(1)
通项公式的推广
：
a
n
＝
a<
/p>
m
·
q
n
－
m
－
(
n
，
m
∈
N
*
)
．
(2)
若
{
a
n
}
为等比数列，且
k
＋
l
＝
m
＋
n
(
k
，
l
，
m
，
n
∈
N<
/p>
*
)
，则
a
k
·
a
l
＝
a
m
·
a
n
.
< br>
1
a
n
(3)
若
{
a
n
}
，
{
b
n
}(
项数相同
)
是
等比数列，则
{
λa
n
}(
λ
≠
0)
，
a
，
{
a
2
n
}
，
{
a<
/p>
n
·
b
n
}
，
仍是等比数列．
b
<
/p>
n
n
5
．
等比数列的前
n
项和公式
等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
(
q
≠
0)
，其前
< br>n
项和为
S
n
< br>，
当
q
＝
1
时，
S
n
＝
na
1
；
a
1
1
－
q
n
a
1
－
a
n
q
当
< br>q
≠
1
时，
S
n
＝
＝
.
1
－
q<
/p>
1
－
q
6
．
等比数列前
n
项和
的性质
公比不为－
1
的等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，则
S
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
n
－
S
2
n
仍成
等比数列，其公比为
q
n
.
【知识拓展】
等比数
列
{
a
n
}<
/p>
的单调性
a
1
>0
，
<
/p>
a
1
<0
，
(1)
满足<
/p>
或
时，
{
a
n
}
是递增数列．
q<
/p>
>1
0<
q
<1
a
1
>0
，
a
1
<0
，
(2)
满足
或
时，
{
a
n
}
是递减数列．
0<
q
<1
q
>1
a
1
< br>≠
0
，
(3)
< br>当
时，
{
a
n
}
为常数列．
q
＝
1
(4)
当
q
<0
时，
{
a
n
}
为摆动数列．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确
(
请在括号中打“√”
或“×”
)
(1)
< br>满足
a
n
＋
1
＝
qa
n
(
n
∈
N
*
，
q
为常数
)
的数列
{
a
n
}
为等比数列．
(
×
)
(2)
G
为
a
，
b
的等比中项
⇔
G
2
＝
a
b
.(
×
)
(3)
如
果数列
{
a
n
}
为等比数列，
b
n
< br>＝
a
2
n
－
1
＋
a
2
n
，则数列
{
b
n
}
也是等比数列．
(
×
)
(4)
如
果数列
{
a
n
}
为等比数列，则数列
{ln
a
n
}
是等差数列．
(
×
)
1
1
．
(
教材改编<
/p>
)
已知
{
a
n
}
是等比数列，
a
2
＝
2
，<
/p>
a
5
＝
，则公比
q
等于
(
)
4
1
A
．－
2
C
．
2
答案
D
a
5
1
1
解析
由题意知
q
3
＝
＝
，
∴
q
＝
.
a
2
8
2
2
< br>．
(2015·
课标全国
Ⅱ
)
已知等比数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
3
，
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＝
21
，则
a
3
＋
a
5
< br>＋
a
7
等于
(
)
A
．
21
B
．
42
C
．
63
D
．
84
答案
B
解析
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，则由
a
< br>1
＝
3
，
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＝
21
，得
3(1
＋
q
2
＋
q
4
)
＝
21
，解得
q
2
＝－
3(
舍去
)
或
q
2
＝
2
，于是
a
3
＋
a
5
＋
a
7
＝
q
2
< br>(
a
1
＋
a
3
＋
a
5
)
＝
2
×
21
＝
42
，故选
B.
3
．设
等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
2
＝
3
，
S
4
＝
15
，则
S
6
等于
(<
/p>
)
A
．
31
B
．
32
C
．
63
D
．
64
答案
C
解析
根据题意知，
< br>等比数列
{
a
n
}
的公比不是－
1.
由等比数
列的性质，
得
(
S
4
－
S
2
)
2
＝
S
2<
/p>
·(
S
6
－
S
4
)
，
即
12
2
＝
3
×
(
S
6
－
15)
，解得
S
6
＝
63.
故选
C.
4
．
(
教材改编
)
在
9
与
243
中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为
____
____
．
答案
27,81
解析
设该数列的公比为
q
，由题意知，
243<
/p>
＝
9
×
q
3
，
q
3
＝
27
，
∴
q
＝
3.
∴
插入的两个数分别为
9
×<
/p>
3
＝
27,27
×
3
＝
81.
B
．－
2
1
D.
2<
/p>
5
．设
S
{
a
8
a
S
n
为等比数列
n
}
的前
n
项和，
2<
/p>
＋
a
5
＝
0
，则
5
S
2
＝
________.
答案
－
11
解析
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，
∵
8
a
2
＋
a
5
＝
0
，
∴
8
a
1
q
＋
a
1
q
4
＝
< br>0.
∴
q
3
＋
8
＝
0
，
∴
q
＝－
2
，
∴
S
5
a
S
2
＝
1
1
－
q
5
< br>
1
－
q
·
1
－
q
a
1
1
－
q
2
1
－
q
5
1
－
q
2
< br>＝
1
－
－
2
5
＝
1
－
4
＝－<
/p>
11.
题型一
等比数列基本量的运算
例
1
(1)
(2015·
课标全国
Ⅱ
)
已知等比数列
{
a
1
n
}
满足
a
1
＝
4
，
a
3
a
5
＝
4(
a
4
< br>－
1)
，则
a
< br>2
等于
(
A
．
2
B
．
1
C.
1
2
D.
1
8
<
/p>
(2)
已知等比数列
{
< br>a
5
5
S
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
＋
a
3
＝
n
2
，
a
2
＋
a
4
＝
4
，则
a
n
＝
________
.
答案
(1)C
(2)2
< br>n
－
1
解析
(1)
由
{
a
n
}<
/p>
为等比数列，得
a
3
a
5
＝
a
2
4
，
又<
/p>
a
3
a
5
＝
4(
a
4
－
1)
，所以
a
2
4
＝
4(
a
4
－
1)
，
解得
a
4
＝
2.
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，
则由
a
＝
a
1
4
1
q
3
，得
2
＝
< br>4
q
3
，解得
< br>q
＝
2
，
所以
a
＝
a
1
2
1
q<
/p>
＝
2
.
故选
C.
a
5
1
＋
a
3
＝
a
5
1
＋
a
1
q
2
＝
2
，
①
(2)
∵
2
，
a
2
＋
a
4
＝
5
4
，
< br>∴
a
1
q
＋
a
1
q
3
＝
5
4
，
②
②
可得
1
＋
q
2
由
①
除以
q
＋
q
3
＝
2
，
< br>解得
q
＝
1
2
，代入
①
得
a
1
＝
2
，
∴
a
1<
/p>
n
＝
2
×
(
－
4
2
)
n
1
＝
2
n
，
)
1
2
×
[1
－
n
]
2
1
∴
S
n
＝
＝
4(1
－
n
)
，
1
2
1
－
2
1
4<
/p>
1
－
n
2
S
n
∴
＝
＝
2
n
－
1.
< br>a
n
4
2
n
思维升华
等比数列基本量的运算
是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量
a
1
，
n
，
q
，
a
n
，
S
n
，一般
可以
< br>“
知三求二
”
，通过列方程
(
组
)
可迎刃而解
．
(1)
设
{
a
n
}<
/p>
是由正数组成的等比数列，
S
n
为其前
n
项和．已知
a
2
a
4
＝
1
，
S
3
＝
7
，则
S
5
等于
(
)
15<
/p>
31
33
17
A
.
B.
C.
D.
2
4<
/p>
4
2
(2)(2015·
湖南
)
设
S
< br>n
为等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若
a
1
＝
1
，且
3
S
1,
2
S
2
< br>，
S
3
成等差数列，则
a
n
＝
_______
_.
答案
(1)B
(2)3
n
1
a
1
q
·
a
1
q
3
＝
1
，
解析
(1)
显然公比
q
≠
1
，由题意得
a
1
1
－
q
3
＝
7
，
< br>1
－
q
a
＝
4
，
a
＝
9
1
1
解得
1
或
1
(
舍去
)
，
q
＝
< br>q
＝－
3
2
1
4
1
－<
/p>
2
5
31
a
1
1
－
q
5
∴
S
5
＝
< br>＝
＝
.
1
4
1
－
q
1
－
2
(2)
由
3
S
1,<
/p>
2
S
2
，
S
3
成等差数列知，
4
S
2
＝
3<
/p>
S
1
＋
S
3
，
可得
a
3
＝
3
a
2
，所以公比
q
＝
3
，
故等比数列通项
a
n
＝
a
1
q
n
1
＝
3
n
1
.
题型二
等比数列的判定与证明
例
2
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S<
/p>
n
，已知
a
1<
/p>
＝
1
，
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2.
(1)
设
b
n
＝
a
< br>n
＋
1
－
2
a
n
，证明：数列
{
b
n
}
是等比数列；
(2)
求数列
{
a
n
}
的通项公式．
(1)
证明
由
a
1
＝
1<
/p>
及
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2
，
得
a
1
＋
a
2
＝
S
2
＝
4
a<
/p>
1
＋
2.
∴
a
2
＝
5
，
∴
b
1
＝
a
2
< br>－
2
a
1
＝
3.
S
n
＋
1<
/p>
＝
4
a
n
＋
2
，
①
又
S
n
＝
4
a
n
－
1
＋
2
< br>n
≥
2
，
②
－
－
－
由
①
－
②
< br>，得
a
n
＋
1
＝
4
a
n
－
4
a
n<
/p>
－
1
(
n
≥
2)
，
∴
a
n
＋
1
－
2
a
< br>n
＝
2(
a
n
－
2
a
n
－
1
)(
n
≥
2)
．
<
/p>
∵
b
n
＝
a
n
＋
1
－
2
a
n
，
∴
b
n
＝
2
b
n
－
1
(
n
≥<
/p>
2)
，
故
{
b
n
}
是首项
b
1
＝
3
，公比为
2
的等比数
列．
(2)
解
由
(1)
知
b
n
＝
a
n
＋
1
－
2
a
n
＝
3·2
n
1
，
∴
a
n
＋
1
< br>a
n
3
＝
，
＋
－
2
n
1
2
n
4
－
a
n
1
3
故
{
n
}
是首项为
，公差为
的等差数列．
2
2
4
a
n
1<
/p>
3
3
n
－
1
∴
n
＝
＋
(
n
－
1)·
＝
，
2
2
4
4
故
a
n
＝
(3
n
－
1)·2
n
2
.
引申探究
若将本例中
“
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2
”
改为
“
S
n
＋
1
＝
2
S
n
＋
(
n
＋
1)
”
，其他不变，求数
列
{
a
n
}<
/p>
的通项公式．
解
由已知得
n
≥
2
时，
S
n
＝
2
S
n
－
1
＋
n
.
∴
S
n
＋
1
< br>－
S
n
＝
2
S
n
－
2
S
n
－
1
＋
1
，
∴
a
n
＋
1
＝
2
a
< br>n
＋
1
，
∴
a
n
＋
1
＋
1
＝
2(
a
n
＋
1)
，
n
≥
2
，
(*)
又
a
1
＝
1
，
S
2
< br>＝
a
1
＋
a
2
＝
2
a
1
＋
2
，即<
/p>
a
2
＋
1
＝
2(
a
1
＋
1)
，
∴
当
n
＝
1
时
(*)
式也成立，
故
{
a
n
＋
1}
是以
2
为首项，以
2
为公比的
等比数列，
∴
a
n
＋
1
＝
2·2
n
1
＝
2
n
，
∴
a<
/p>
n
＝
2
n
－
1.
思维升华
(1)
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判
< br>定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
(
2)
利用递推关系时要注意
对
n
＝
1
时的情况进行验证．
已知数列
{
< br>a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
a
n
＋
1<
/p>
＝
3
a
n
＋
1.
1
(1)
证明：
{
a
n
＋
}
是等比数列
，并求
{
a
n
}
的通项公式；
2
< br>1
1
1
3
(2)
证明：
＋
＋…＋
<
.
a
< br>1
a
2
a
n
2
1
1
证
明
(1)
由
a
n
＋
1
＝<
/p>
3
a
n
＋
1
，得
a
n
＋
1
＋
＝
3(
a
n
＋
)
．
2
2
1
3
又
a
1
＋
＝
，<
/p>
2
2
1
3
所以
{
a
n
＋
}
是首项为
，公比为
3
的等比数列．
2
2
3
n
－
1
1
3<
/p>
n
所以
a
n
＋
＝
，因此
{
a
n
}
的通项公式
为
a
n
＝
.<
/p>
2
2
2
－
－
1
2
(2)
由
(1)
知
＝
n
.
a
n
3
－
1
1
1
－
因为当
n
≥
1
时，
3
n
－
1
≥
2
×
3
n
1
，所以
n
≤
－
.
3
－
1
2
×
3
n
1
1
1
1
1
< br>1
于是
＋
＋
…
＋
≤
1
＋
＋
…
＋
n<
/p>
－
1
a
1
a
2
a
n
3
3
3
1
3
＝
(1
< br>－
n
)<
，
2
3
2
1
1
1
3
所以
＋
＋
…
＋
<
.
a
1
a
2
a
n
2
题型三
等比数列性质的应用
例
3
(1)
若等比数列
{
a
n
}
的各项均为正数，且
a
10
a
11
＋
a
9
a
12
＝
2e
5
，则
ln
a
1
＋
ln
a
2
＋…＋
l
n
a
20
＝
________.
S
6
1
S
9
(2)
设等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
＝
，则
＝
________.
< br>
S
3
2
S
3
3
答案
(1)50
(2)
4
解析
(1
)
因为
a
10
a
11
＋
a
9
a
12
＝
2<
/p>
a
10
a
11<
/p>
＝
2e
5
，
所以
a
10
a
11
＝
e
5
.
所以
ln
a
1
＋
ln
a
2
＋
…
＋
ln
a
20
＝<
/p>
ln(
a
1
a<
/p>
2
…
a
20
)
＝
ln
[
(
a
1
a
20
)·(
a
2
a
19
)·…·(<
/p>
a
10
a
11<
/p>
)
]
＝
ln(
a
10
a
11
)
10
＝
10ln(
a
10
a
11
)
＝
10ln
e
5
＝
50ln
e
＝
50.
(2)
方法一
∵
S
6
∶
S
3
＝
1
∶
2
，
∴
{
a
n
}
的公比
q
≠
1.
a
1
1
－
q
6
a
1
1
－
q
3
1<
/p>
1
由
÷
＝
，得
q
3
＝－
，
2
2
1
－
q
1
－
q
S
9
1
－
q
9
3
∴
＝
＝
.<
/p>
S
3
1
－
q
3
4
S
6
1
方法二
∵
{
a
n
}
是等比数列，且
＝
，
∴
公比
q
≠
－
1
，
S
3
2
< br>∴
S
3
，
S
6
－
S
3
，
S
9
－
S
6
也成等比数列，即
(
S
6
－
S
3
)
2
＝<
/p>
S
3
·(
S
9
－
S
6
)
，
1
S
9
3
将
< br>S
6
＝
S
3
代入得
＝
.
2
S
3
4
思维升华
等比数列常见性质的应用
等比数列性
质的应用可以分为三类：
(1)
通项公式的变形；
(2)
等比中项的变形；
(3)
前
n
项和公式的变形．根
据题目条
件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(1)
已知在等比数列
{
a
n
}
< br>中，
a
1
a
4
＝
10
，则数列
{lg
a
n
}
的前
4
项和等于
(
)
A
．
4
B
．
3
C
．
2
D
．
1
(2)
设等比数列
{
a
n
}
中，前
n
项和为
S
n
，已知
S
3
＝
8
，
S
6
＝
7
，则
a
7<
/p>
＋
a
8
＋
a
9
等于
(
)
1
A.
8
57
C.
8
答案
(1)C
(2)A
解析
(1)
前
4
项和
S
4
＝
lg
a
1
＋
lg
a
2
＋
lg
a
3
＋
lg
a
4
＝
lg(
a
1
a
2
a
3
a
4
)
，又
∵
等比数列
{
a
n
}
中，
a
2
a
3
＝
a
1
a
4
＝
10
< br>，
∴
S
4
＝
lg
100
＝
2.
(2)
因为
a
7
＋
a
8
＋
a
9
＝
S
9<
/p>
－
S
6
，且公比
不等于－
1
，在等比数列中，
S
3
，
S
6
－
S
3
，
S
9
－
S
6
也成等比数列，即
8
，
1
1
－
1
，
S
9
－
< br>S
6
成等比数列，所以有
8(<
/p>
S
9
－
S
6
)
＝
(
－
1)
2
，
S
9
－
S
< br>6
＝
，即
a
7
＋
a
8
＋
a
9
＝
.<
/p>
8
8
13
．分类讨论思想在等比数列中的
应用
3
典例
(1
2
分
)
已知首项为
的等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
(
n
< br>∈
N
*
)
，且－
2
S
2
，
S
3,
4
S
4
成等差数列．
< br>2
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
13
(2)
证明：
S
n
＋
≤
(
n
∈
N
*
)
．
S
n
6
< br>思想方法指导
(1)
利用等差
数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；
(2)
求出前
n
项和，根据函数的单调性证明．<
/p>
规范解答
(1)
解
设
等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，
因为－
2
S
2
，
S
3,
4
S
4
成等差数列，
所以
S
3
< br>＋
2
S
2
＝
4
S
4
－
S
3
，即
S<
/p>
4
－
S
3
＝
S
2
－
S
4
，
a
4
1
可得
< br>2
a
4
＝－
a
3
，于是
q
＝
＝－
.
[2
分
]
a
3
2
3
又
a<
/p>
1
＝
，所以等比数列
{
a
n
}
的通项公式为
2
1
< br>3
3
－
n
－
1
＝
(
－
1)
n
－<
/p>
1
·
n
.
[3
分
]
a
n
＝
×
2
2
< br>
2
1
－
n
，
(2)
证明
由
(1)
知，
S
n
＝
1
－
2
1
1
－
n
＋
S
n
＋
＝
1
－
< br>
2
S
n
1
n
1
－
－
2
1
1
B
．－
8
55
D.
8
＝
1
2
＋
2
2
－
1
，
n
< br>为偶数
.
n
n
< br>1
2
＋
n
n
，
n
为奇数，
2
2
＋
1
[6
分
]
<
/p>
1
当
n
为奇数时
，
S
n
＋
随<
/p>
n
的增大而减小，
S
n
1
1
13
所以
S
n
＋
≤
S
1
＋<
/p>
＝
.
[8
分
]
S
n
S
1
6
1
当
n
为偶数时，
S
n
＋
随
n
的增大而减小，
S
n
1
1
25
所以
S
n
＋
≤
S
2
＋
＝
.
[10
分
]
S
n
S
< br>2
12
1
13
< br>故对于
n
∈
N
< br>*
，有
S
n
＋
≤
.
[12
分
]
S
n
6
1
．在各项均为正数的等比数列
{
a
n
}
中，
a
3
＝
2
－
1
，
a
5
＝
2
＋
1
，则
a
2
3
＋
2
a
2
a
6
＋
a
3
a
7
等于
(
)
A
．
4
C
．
8
答案
C
2
2
2
2
解析
在等比数列中，
a
3
a
7
＝
a
2<
/p>
5
，
a
2
a
6
＝
a
3
a
5
，所以
a
3
＋
2
a
2
a
6
＋
a
3
a
7
＝
a
3
＋<
/p>
2
a
3
a
5
＋
a
5
＝
(
a
3
＋
a
5
)
＝
(
2
－
1
＋
2
B
．<
/p>
6
D
．
8
－
4
2
＋
1)
2
＝
(2
2)
2
＝
8.
2
．
(2016·
珠海模拟
)<
/p>
在等比数列
{
a
n
}
中，若
a
1
<0
，
a
2
＝
18
，
a<
/p>
4
＝
8
，则公比
q
等于
(
)
3
A.
2
2
C
．－
3
答案
C
2
B.
3<
/p>
2
2
D.
或－<
/p>
3
3
a
1
q
＝
18
，
解析
由
3
解得
< br>2
a
1
q
＝
8
q
＝
a
1
＝
27
，
3
a
＝－
27
，
1
或
2
q
＝－
3
.
2
又
a
1
<0
，因此
q
＝－
.
3
3
．在正项等比数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
a
2
a
< br>3
＝
4
，
a
4
a
5
a
6
＝
12
，<
/p>
a
n
－
1
a
n
a
n
＋
1
＝
324
，则
n
等于
(
)
A
．
12
C
．
14
答案
C
B
．
13
D
．
15