等比数列的性质及应用教案
-
一、教学目标
:
1.
知识与技能
:
理解并掌握等比数列
的性质并且能够初步应用。
2.
过程与方法
:
通过观察、类比、猜测等
推理方法
,
提高我们分析、综合、抽象、
概括等逻辑思维能力。
3.
情感态度价值观
:
体会类比在研究新事物中的作用
,
了解知识间存在的
共同规律。
二、重点
:
等比数列的性质及其应用。
难点
:
等比数列的性质应用。
三、教学过程。
同学们
,
我们已经学习了等差数列
,
又学习了等
比数列的基础知识
,
今天我们继续学习等比数
< br>列的性质及应用。我给大家发了导学稿
,
让大家做了预习
,
现在找同学对照下面的表格说说等
差
数列和等比数列的差别。
数列名称
等差数列
等比数列
定义
一个数列
,
若从第二项起
每一项减去前一项
之差都是同一个常数
,
则这个数列是等差
数列。
一个数列
,
若从第二项起
每一项与前一项之比都是同一个非零常
数
,
则这个数列是等
比数列。
定义表达式
an-an-1=d
(n
≥
2)
(q
≠
0)
通项公式证明过程及方法
an-an-1=d; an-1-an-2=d,
„
a2-a1=d
an-an-1+
an-1-an-2+
„
+a2-a1=(n-1)d
an=a1+(n-1)*d
累加法
„„
.
an=a1q n-1
累乘法
通项公式
an=a1+(n-1)*d an=a1q
n-1
多媒体投影
(
总结规律
)
数列名称
等差数列
等比数列
定
义
等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
定
义
表
达
式
an-an-1=d (n
≥
2)
通项公式证明
迭加法
迭乘法
通
项
公
式
加
-
乘
乘—乘方
通过观察
,
同学们发现
:
?
等差数列中的
减法、加法、乘法
,
等比数列中升级为
除法、乘法、乘方
.
四、探究活动。
探究活动
1:
小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质
,
并派学生代表上来讲解练习
1;
等差
< br>数列的性质
1;
猜想等比数列的性质
1;
性质证明。
练
习
1 <
/p>
在
等
差
数
列
{an}
中
,a2
=
-2,d=2,
求
a4=____
_..(
用
一
个
公
式
计
算
)
解
:a4=
a2+(n-2)d=-2+(4-2)*2=2
等差数列的性质
1:
在等差数列
{an}
中
,
a n=am+(n-m)d.
猜想等比数列的性质
1
若
{an}
是公比为
q
的等
比数列
,
则
an=am*qn-m
性质证明
右边
= am*qn-m= a1qm-1qn-m=
a1qn-1=an=
左边
应用
在等
比数列
{an}
中
,a2= -2
,q=2,
求
a4=_____.
解
:a4= a2q4-2=-2*22=-8
探究活动
2:
小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质
,
并派学生代表上来讲解练习
2;
等差
< br>数列的性质
2;
猜想等比数列的性质
2;
性质证明。
练
习
2 <
/p>
在
等
差
数
列
{an}
中
,a3
+a4+a5+a6+a7=450,
则
a2+a8
的
值
为
.
解
:a3+a4+a5+a6+a7=(a3+
a7)+(a4+
a6)+
a5=
2a5+2a5+a5=5
a5=450
a5=90
a2+a8=2
×
90=180
等差数列的性质
2:
在等差数列
{an}
中
,
若
m+n=p+q,
则
am+an=ap
+aq
特别的
,
当
< br>m=n
时
,2
an=ap+aq
猜想等比数列的性质
2
在等比数列
{an}
中
,
若
m+n=s+t
则
am*an=as*at
特别的
,
当
m=n
时
,an2
=ap*aq
性质证明
右边
=am*an= a1qm-1 a1qn-1=
a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1=
as*at=
左边
证明的方向
:
一般来说
,
由繁到
简
应
用
在
等
比
数
列
{an}
若
an&0,a2a4+2a3a5+
a4a6=36,
则
a3+a5=_____.
解
:a2a4+2a3a5+a4a6=
a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36
由于
an&0,a3+a5&0,a3+a5=6
探究活动
3:
小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质
,
并派学生代表上来讲解练习
3;
等差
< br>数列的性质
3;
猜想等比数列的性质
3;
性质证明。
练习
3
在
等差数列
{an}
中
,a30=10,
a45=90,a60=_____.
解
:a60=2*
a45-
a30=2
×
90-10=170
等差数列的性质
3:
若
an-k,an,an+k
是等差数列
{an}
中的三项
,
则这些项构成新的等差数
列
,
且
2an=a
n-k+an+k
an
即时
an-k,an,an+k
的等差中项
猜想等比数列的性质
3
若
an-k,an,an+k
是等比数列
{an}<
/p>
中的三项
,
则这些项构成新的等比
数列
,
且
an2=a
n-k*an+k>
an
即时
an
-k,an,an+k
的等比中项
性质证明
右边
=an-k*an+k= a1qn-k-1
a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1)
2t=an2
左边
< br>证明的方向
:
由繁到简
应用
在等比数列
{an}
中
a30=10,a45=90,a60=_____.
解
:a60= = =810