等差数列与等比数列复习小结
-
山西省朔州市应县四中高二数学学案（十一）
等差数列与等比数列
编写人：朱强基
考纲要求
1
理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2
掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前
n
项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
重点、难点归纳
1
数列的有关概念
数列：按照一定的次序排列的一列数。
通项公式：
数列的第
n
项
a
n
与
n
之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示，
则这个解析式就叫做这个数列的
通
项公式。
2
数列的表示法
列举法：如
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n
，…
图象法：用孤立的点
(n<
/p>
，
a
n
)
来表示
解析法：即用通项公式来表示
递推法
：一个数列的各项可由它的前
m
项的值以及与它相邻的
m
项之间的关系来表示
3
数列的分类
有穷数列与无穷数列
有界数列与无界数列
常数列、递增数列、递减数列、摆动数列
4a
n
与
S
n
的关系
S
n
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
；
a
n
＝
S
1
(n
＝
1
时
)
，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
(n
≥
2
时
)
。
5
等差数列与等比数列概念比较
定义
等差数列
如果一个数列从第
2
项起，
每一项与它前一项的差
等于
．
同一个常数，则这个数列就
叫做等差数列，其中的常数
叫做等差数列的公差，用字
母<
/p>
d
表示。
通项
中项
a
n
＝
a
m
＋
(n
－
m)d
如果
a
，<
/p>
A
，
b
成等差数
列，
那么
A
叫做
a
与
b
的等差中
项，并且
A
前
< br>n
项和公式
等差数列
{a
n
}
前
n
项的和为
S
n
等比数列
如果一个
数列从第
2
项起，
每一项与它前一项的
比
等于
．
同一个常数，则这个数列就<
/p>
叫做等比数列，其中的常数
叫做等比数列的公比，用字
母
q
表示。
－
等差数列：
a
n
＝
a
1
＋
(n
－
1)d
。
等比数列：
a
n
＝
a
1
q
n
1
。
a
n
＝
a
< br>m
q
n
m
。
如果
a
，
G
，
b
成等
比数列，
那么
G
叫做
< br>a
与
b
的等比中
项，并且
G
ab
。
－
a
b
。
2
(
a
1
a
n
)<
/p>
n
n
(
n
1)
d
d
na
1
d
n
2
(
a
1
)
n
。
2
2
2
2
Ⅰ
.
设数列
a
n
是等差数列
，其奇数项之和为
S
奇
、偶数项之和为
S
偶
，那么，当项数为偶数
2
n
时，
S
偶
－
S
奇
< br>
nd
,
S
奇
S
偶
＝
a
n
a
n
<
/p>
1
；当项数为奇数
2
n
＋
1
时，
S
S
a
,
S
奇
n
1
n
1
奇
偶
S
偶
n
< br>
a
m
0
Ⅱ
.
在等差数列｛
a
n
｝中
,
< br>有关
S
n
的最值问题：
(1)
当
a
1
>0,d<0
时，满足
的项数
m
使得
s
m
取最大值
.
(2)
a
0
m
1
当
a
1
<0,d>0
时，满足
用。
a
m
0
的项数
m
使得
s
m
取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时<
/p>
,
注意转化思想的应
< br>a
m
1
0
s
a
d
Ⅲ
.
s
2
n
1
(2
n
1)
a
n
,{
n
}
是以
1
为首项
,
为公差的等差数列
.
n
n
2
a
1
(
1
q
n
)
a
1
a
n
< br>q
等比数列
{a
n
}
前
n
< br>项的和为
S
n
＝
na
1
，
(q
＝
1
时
)
；
S
n
＝
，
(q
≠
1
时
)
。
1
q
1
q
6
等差数列与等比数列的常用性质比较
等差数列
与首末
两项等距离的两项之和等
于首末两项之和；
< br>对于等差数列
{a
n
}
，若
p
＋
q
＝
m
＋
n
，则
a
p
＋
< br>a
q
＝
a
m
＋
a
n
。
项数成等差数列的等差数列的项
仍然
是等差数列；
和
S
< br>2n
－
1
＝
(2n
－
1)a
n
；
m
个等差数列，它们的各
对应项
之和组成一个新的等差数列；
等比数列
与首末两项等距离的两项之
积等
于首末两项之积
对于等比数列<
/p>
{a
n
}
，若<
/p>
p
＋
q
＝
m
＋
n
，则
a
p
a
q
＝
a
m
a
< br>n
。
项数成等差数列的等比数
列的项
仍然是等比数列；
积
T
2n-1
=a
n
2n-1
m
个等比数列，它们的各对应项
之积组成一个新的等比数列；
若对等
差数列按连续
m
项进行分
若对等比数列
按连续
m
项进行分
组，
则每组中
m
项的和所组成的
组
，
则每组中
m
项的和所组成的
数列是等差数列。
数列是等比数列。
｝
为等比数列且
（i=1,2……,n,……）
（
1
）
正数等比数列各项的
（同底）
对数
值，
依次组成等差数列
.
即
｛
｛
为等差数列
.
｝
(
且
)
为等差数列；若定义
＝
，则｛
｝亦
（
2
）<
/p>
取一个不等于
1
的正数为底数，
则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列
.
即设
a>0
且
a≠1，
则
｛
为等差数列
（
3
）｛
｛
｝为等比数列
.
｛
｝是非零常数列
.
｝
｝既是
等差数列，又是等比数列
学法探秘
1
对数列的理解
用函数的观点理解数列
数列是定义在
自然数集或其有限子集上的函数。
数列问题本质上就是函数问题，
所以要学会用函数观点看数列问题。
a.
< br>对于等差数列，∵
a
n
=
a
1
+
（
n
－
1
）
d
=
dn
+
< br>（
a
1
－
d
）
，当
d
≠
0
时，
a
n
是
n
的一次函数，对应的点（
n
，
a
n
）是位
于直线上的若干个点
.
当
d
＞
0
时
，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，
d
=0
时，函数是常数函数，对应
的数列是常数列；
d
＜
0
时，函数是减函数，对应的数列
是递减函数
.
若等差数列的前
n
项和为
S
n
，则<
/p>
S
n
=
pn
2
+
qn
（
p
、
q
∈
R
）
.
当
p
=0
时，
{
a
n
}
为常数列；当
p
≠
0
时，可用二次函
数的方法解决等差数列问题
.
b.<
/p>
对于等比数列：
a
n
=
a
1
q
n
1
.
可用指数函数的性质来理解
.
当
a
1
＞
0
，
q
＞
1
或
a
1
＜
0
，
0
＜
q
＜
1
时，等比数列是递增数列；
当
a
1
＞
0
，
0
＜
q
＜
1
或
a
< br>1
＜
0
，
q
＞
1
时，等比数列
{
a
n
}
是递减数列
.
当
q
=1
时，是一个常数列
.
当
q
＜
0
时，
无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列
.
注意数列与集合的区别与联系
数列与
集合都是具有某种属性的数的全体，只不过数列中的数有次序而且可以重复出现。
数列的通项公式
数列的通项公式可以
代表数列中的任何一项，
但并不是每一个数列均有通项公式。
反
之，
当一个数列有通项公式时，
其通项公式并不唯一。
2
等差数列与等比数列的判定方法
<
/p>
－
a
n
为等差数列
a<
/p>
n
1
－
a
n
＝
d(d
为常数<
/p>
)
2a
n
1
＝
a
n
＋
a
n
2
(n
N)
a
n
＝
kn
＋
b(k
、
b
为常数
)
S
n
＝
An
2
< br>＋
Bn(A
、
B
为
＋
＋
＋
常数
)
{a}
为等比数列
零常数
)
3
灵活运用定义、注意对称设元、尽量设而不求、并记住一些有用的结论，这样有助于提高解题
速度。
如等差数列中有
a
n
＝
a
m
＋
(n
－
m)d
，等比数列中有
a
n
＝
a
m
q
n
m
；
又如已知三数成
等差数列时，可设这三个数为
a
－
d<
/p>
、
a
、
a
＋
d
，若已知四个数成等比数列时，可设这四
个数为
－
a
n
1
＝
q(q
为非零常数
)
a
n
＋
1
2
＝
a
n
a
n<
/p>
＋
2
(n
N)
a
n
＝
pq
n
(p
、
q
为非零常数
)<
/p>
S
n
＝
mq
n
－
m(m
、
q
为非
a
n
a
、
3
q
a
、
aq
、
aq
3
；
（四个数同号）
。
q
再比如在等差数列中，若
a
p
＝
q
，
a
q
＝
p
，则
a
p
＋
q
＝
0
；若
S
m<
/p>
＝
n
，
S
n
＝
m
，则
S
m
＋
n
＝－
(m
＋
n)
等等。
4
重点掌握方程思想
在求解
“知三求二”
的问题时，
要恰当选用公式、
积极减少运算量，
在解题时要有目标意识：
需要什么，
就求什么，
以便达到快速准
确的求解目的。在分析和解决有关数列的综合题时要注意运用数学思想方法，对等比数列的求和应
注意对公比是否等于
1
进行分类讨论。
典型例析
例
1
完成下列各题
(1)<
/p>
已知四个数－
9
、
a
1
、
a
2
、－
1
成等差数列；五个数－
9
、
b
1
、
b
2
、
< br>b
3
、－
1
成等比数列。则
b
2
(a
2
－
a
1
)
等于
A.
－
8
B.8
C.
－
D.
<
/p>
(2)
在等比数列
{a
< br>n
}
中，已知对于任意的自然数
n
，都有
a
1
＋
a
2
＋
a<
/p>
3
＋…＋
a
n<
/p>
＝
2
n
－
1
，则
a
1
2
＋
a
2
2
＋
a
3
< br>2
＋…＋
a
n
< br>2
等于
A.4
n
－
1
B.
(4
n
－
1)
C.
(2
n
－
1)
2<
/p>
D.(
2
n
－
1)
2
分析：
(1)
要求
b
2
(a
2
－
a
1
)
的
值，
由于
a
2
－
a
1
与
b<
/p>
2
没有必然的联系，
因此应在两个数列中
分别求
a
2
－
a
1
和
b
2<
/p>
。
显然，
a
2<
/p>
－
a
1
是等差数
列的公差，
b
2
是等比数列的中项，从
而本题为等差、等比数列的基本问题。
(2)
我们知道，
若数列
{a
n
}
是公比为
q
的等
比数列，
那么数列
{a
n
2
}
是公比为
q
2
的等比数列。
因此，要求等比数列
{a
n
2
}
的前
n
项和，关键是求首项和公比。因为对于任意自然
数
n
，都有
a
1
＋
a
2
＋<
/p>
a
3
＋…＋
a<
/p>
n
＝
2
n
－
1
，所以可取
n<
/p>
＝
1
、
2
，
求出
a
1
和
a
2
，从而可求出公
比
q
＝
9
8<
/p>
9
8
1
3
1
3
a
2
。也可以利用
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
先求出
a
n
，便可观察出首项和公比。
a
1
解：
< br>(1)
由－
1
＝－
9
＋
3(a
2
－
a
1
)
< br>得
a
2
－
a
1
＝
。
再由
b
2
2<
/p>
＝
b
1
b
3
＝
(
－
9)(
－
1)
得
b
2
＝
3
。
因为等比数列的奇数
项同号，所以
b
2
＝－
3
。
故
b
2
(a
2
－
a
1
)
＝
－
8
，从而选
A
。
(2)
方法一：在
a
1
＋
a
< br>2
＋
a
3
＋…＋
a
n
＝
2
n
－
1
中
分别取
n
＝
1
、
2
，得
a
1
＝
1,a
1
＋
a
2
＝
3
，所以
a
1
＝
1,a
2
＝
2
，
于是等比数列
{a
n
}
的公比为
q
＝
2
。
又
{a
n
2<
/p>
}
是首项为
a
1
2
＝
1
，公比
为
q
2
＝
4<
/p>
的等比数列。
2
1
4
1
所
以
a
1
2
＋<
/p>
a
2
2
＋
a
3
2
＋…＋
a
n
2
＝
＝
(4
n
－
1)
，故选
B
。
1
4
3
8
3
方法二：因为
a
＝
(a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
－
1
＋
a
n
)
－
(a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
－
1
)
＝
(2
n
－
1)
－
(2
n
1
－
1)
＝
2
n
1
。
所以
a
1
＝
1
，
q
＝
2
。
以下同方法一，略。
例
2
已知
{a
n
}
为等差数列，公差
d
≠<
/p>
0
，
{a
n
}
中的部分项所组成的数列
a
k
1
，
a
< br>k
2
，
a
k
3
，…，
a
k
n
，…恰为等比数列，
其中
k
1
＝
1
，
k
2
＝
5
，
k
3
＝
17
。
(1)
求
k
n
；
(2)
求证：
< br>k
1
＋
k
2
＋
k
3
＋
…＋
k
n
＝
3
n
－
n
－
1
。
分析：
(1)
易知
a
k<
/p>
n
是等比数列中的第
n
< br>项，
于是有
a
k
n
＝
a
1
q
n
1
；
另一方面，
a
k
n
是等差数列中的第
k
n
项，
又有
a
k
n
＝
－
－
－
a
1
＋
(k
n
－
1)d
。从而得
a
1
q
n
1
＝
a
1
< br>＋
(k
n
－
1)d
。
在上式中除了
k
n
为所求外，
a
1
、
d
和
q
均为待定系数。虽然
a
1
、
d
和
q
不必都求出来，但从式子的结构看，需求出
a
< br>1
与
d
的关系和
q
的值。
从何入手呢？注意
到
k
1
＝
1<
/p>
，
k
2
＝
5
，
k
3
＝
17
，我们可以利用等比数列的子数列
a
k
1
，
a
k
2
，
< br>a
k
3
，即
a
1
，
a
5
，
a
17
也
成
等比数列，据此可以求出
d
与
a
1
的关系和
q
的值。
(2)
要
证明
k
1
＋
k
2
＋
k
3
＋…＋
k
n
＝
3
n
－
n
－
1
，实质上是求数列
{k
n
}
的前
n
项的和，而这可以由通项
k
n
来确定。
解：
(1
)
由题设知
a
k
1
，
a
k
2
，
a
k
3
即
a
1
，
a
5
，
a
17
成等比数列，
所以<
/p>
a
5
2
＝
a
1
a
17
，即
(a
1
＋
4d)
2
＝
a
1
(a
1
＋
16d)
。
－
因
d
≠
0
，所以
a
1
＝
2d
于是公比
q
＝
a
5
＝
3
a
1
－
－
1
所以
a
k
n
＝
a
k
< br>1
q
n
1
＝
a
1
3
n
又
a
k
n
＝
a
1
＋
(k
n
－
1)d
＝
a
1
＋
(k
n
－
1)
所以
a
1
＋
(k
n
－
1)
－
a
1
2
< br>a
1
－
＝
a
1
3
n
1
2
－
－
因而
k
n
＝
2
3
n
1
－
1
(2)k
1
＋
k
2
＋
k
3
＋…＋
k
n
＝
(2
3
< br>0
－
1)
＋
(2
3
－
1)
＋…＋
(2
< br>3
n
1
－
1)
＝
2(1
＋
3
1
＋
3
2
＋…＋
3
n
1
)
－
n
＝<
/p>
3
n
－
n
－
1
说明：在求得
d
＝
因为
a
k
n
a
k
n
1
a
1
和公比
q
＝
3
后，还有如下更为简捷的解法：
2
a
a
1
(
k
n
1
)
1
2
k
n
<
/p>
1
3
a
k
n
1
1
a
1
(
k
n
1
1
)
1<
/p>
2
－
－
所以
{k
n
＋
1}
是首项为
k
1
＋<
/p>
1
＝
2
，公比为
3
的等比数列
所以
k
n
＋
1
＝
2
<
/p>
3
n
1
，即
k
n
＝
2
3
n
1
－
1
。
下略。
例
3
已知等比数列
{a
n
< br>}
的各项均为正数，
公比
q
≠
1
，
数列
{b
n
}
满足
b
1
＝
20
，
b
7
＝
5
，
且
(b
n
＋
1
－
b
n
＋
2
)log
m
a
1
＋
(b
n
＋
2
－
b
n
)l
og
m
a
3
＋
(b
n
－
b<
/p>
n
＋
1
)log
m
a
5
＝
0
。
(1)
求数列
{b
n
}<
/p>
的通项公式；
(2)
< br>设
S
n
＝
|b
1
|
＋
|b
2
|
＋
|
b
3
|
＋…＋
|b
n
|
，求
S
n
。
分析
：
(1)
要求通项
b
< br>n
，关键在于确定数列
{b
n<
/p>
}
的性质。题设给出了数列
{b
n
}
所满足的关系式，看上去很复杂，但若
注意到等式左边各项“系数”之和
(b
n<
/p>
＋
1
－
b
n
＋
2
)
＋
(b
n
＋
2
－
b
n
< br>)
＋
(b
n
－
b
n
＋
1
)
＝
0
，问
题便容易解决。
(2)
当数列
{b
n
}
的性质确定
以后，便容易求得
S
n
，但要注意
b
n
的正负。
<
/p>
解：
(1)
将
l
og
m
a
3
＝
log
m
(a
1
q
2
)
＝<
/p>
log
m
a
1<
/p>
＋
2log
m
q
与
log
m
a
5
＝
log
m
(a
1
q
4<
/p>
)
＝
log
m<
/p>
a
1
＋
4log
m
q
代入已知等式，整理得
2(b
n
－
2b
n
＋
1
＋
b
n
＋
2
< br>)log
m
q
＝
0
因为
q
≠
1
，所以
log
m
q
≠
1
于是有
b
n
－
2b
n
＋
1
< br>＋
b
n
＋
2
＝
0
，即
b
n
＋
b
n<
/p>
＋
2
＝
2b
n
＋
1
故
{b
n
}
是等差数列。
设其公差为
d
，则由
b
7
＝
b
1
＋
6
d
可得
d
＝－
所以
b
n
＝
2
0
＋
(n
－
1
)
(
－
(2)
令
b
n
＝
0
，得
n
＝
9
。
当
n
≤
9
时，
b
n
≥
0
，
则
S
n
＝
b
1
＋
b
2
＋…＋
b
n
＝
20n
＋
当
n>9
时，
< br>b
n
<0
，
有
S
n
＝
b
1
＋
b<
/p>
2
＋…＋
b
9<
/p>
－
b
10
－
b
11
－…－
b<
/p>
n
5
。
2
5
5
45
)
＝－
n
＋
。
2
2
2
n
(
n
< br>
1
)
5
5
85
(
)
n<
/p>
2
n
。
2
2
4
4
＝
2(b
1
＋
b
2
＋…＋
b
9
)
－
(b
1
＋
b
< br>2
＋…＋
b
n
< br>)
5
2
85
< br>5
85
n
n
)
＝
n
2
n
18
0
。
4
4<
/p>
4
4
5
2
85
5
85
所以
n
≤
9
时，
S
＝
n
n
；
n>9
时，
S
＝
n
2
n
< br>180
。
4
< br>4
4
4
＝
180
－
(
例
4.
（
2007
< br>浙江）已知数列
{
a
n
}
中的相邻两项
a
2<
/p>
k
1
、
a
2
k
是关于
x
的方程
x
(3
k
2
)
x
3
k
2
< br>0
的两
个根，且
a
2
k
< br>1
≤
a
2
k
(
k
＝
1
，
2
，<
/p>
3
，…
)
．
(I)
求
a
1
,
a
3
,
a
5
,
a
7
及
a
< br>2
n
(
n
≥
4)(
不必证明
)
；
(
Ⅱ
)
< br>求数列
{
a
n
< br>}
的前
2
n
项和
S
2
n
．
k
2
k
k
(I)
解：方程
x
(3
k
2
)
x
3
k
2
0
的两个根为
x
1
3
k
,
x
2
2
．
2
k
k
当
< br>k
＝
1
时，
x
1
3,
x
2
2
，
所以
a
1
2
；
当
k
＝
2
时，
x
1
6,
x
2
4
，所以
a
3
4
；
当
k
< br>＝
3
时，
x
1
9,
x
2
8
，所以
a
5
8
；
当
k
＝
4
时，
x
1
12,
x
2
16
，所以
a
7
12
；
n
n
因为
n
≥
4
时，
2
3
n
，所以
a
2
n
2
(
n
4)
（Ⅱ）
S
2
n
a
1
a
2
a
2
n
(3
6
3
n
)
(2
2
2
3
n
2
3
n
2
)
＝
2
n
1
2
2
。
< br>
n
例
5.
如图是一个计算装置示意图，
J
1
、
J
2
是数据入口，
< br>C
是数据出口，计算过程是由
J
1
、
J
2
分别
输入自然数
m
和
n
，
经过计算后自然数
k
由
C
输出。若此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：
(1)
若
J
1
、
J
2
分别输入
1
，
则输出结果为
1
；
(2)
若
J
1
输入任何固定
的自然数不变，
J
2
输入的自然数增大
1
，则输出的结果比
原来增大
2
；
(3)
若
J
2
输入
1
，
J
1
输入的自然数增大
1
，
则输出
的结果为原来的
2
倍。
试问：
(1)
若
J
1
输入
1
，
J
2
输入自然数
n
，输出结果为多少？
(2)
若
J
2
输入
< br>1
，
J
1
输入自然数
m
，输出结果为多少？
(3)
若
J
1
输入自然数
m
，
J
2
输入自然数
n
< br>，输出结果为多少？
分析：本题的信息量较大，粗看不
知如何下手，但若把条件写成一个二元函数，并把它看作某一个变量的函数，抽
象出等差
或等比数列的模型，问题便迎刃而解。
解：由题意，若取
f(m,n)
＝
k
，则有
f(1,1)
＝
1
，
f(m,n
＋
1)
＝
f(m,n)
＋
2
，
f(m
＋
1
,1)
＝
2f(m,1)
。
(1)
在
f(m,n<
/p>
＋
1)
＝
f(m
,n)
＋
2
中令
m
＝
1
，则有
f(1,n
＋
1)
＝
f(1,n)
＋
2
。
由此可知
f(1,1)
，
f(1,2)
，…，
f(1,n)
，…组成一个以
f(1,1)
为首项，
2
为公差的等差数列。
故
f(1,n)
＝
f(1,
1)
＋
2(2n
－
1)
＝
2n
－
1
。
C
J
1
J
2