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2021年2月10日发(作者：孔杰荣)

圆中的计算问题

一、一周知识概述

1

、弧长公式

因为

360

°的圆心角所对的弧长就是圆周长

C=2

π

R

，所以

< p>
1

°的圆心角所对的弧长是

，即

< br>．于

是可得半径为

R

的圆中，< /p>

n

°的圆心角所对的弧长

的计算公式：< /p>

．

说明：

(1)

在弧长公式中，

n

表示

1

°的圆心角的倍数，

n

和

180

都 不带单位“度”．

(2)

问题中若没有标明精确度，则弧长可用

π

表示．

(3)

在弧长公式中，已知

，

n

，

R

中任意两个量，都可 以求出第三个量．

(4)

在用弧长公式求

n

时 ，要注意

与

R

的单位要统一，且所求的

n

值一定要小于或等于

360

．

2

、扇形面积

扇形定义：一条弧和经过这条弧的 端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．

如图所示，在⊙

O

< br>中，由半径

OA

，

OB

和

图形也是扇形．

所 构成的图形是扇形；由半径

OA

，

OB

和

所构成的

3

、扇形的面积公式．

如图所示，

阴影部分的面积就是半径为

r

，

圆心 角为

n

°的扇形的面积．

显然扇形的面 积是它所在的圆

的面积的一部分，因为圆心角是

360

°的扇形面积等于圆面积

π

r

< br>，所以圆心角为

1

°的扇形面积是

2

，

由此得圆心角为

n

°的扇形面积的计算公式一：

①．因为扇形的弧长

，扇形面

积

可以写成

< br>．所以又得到扇形面积的计算公式二：

S

扇形

< p>
=

②．

说明：

(1)

公式①中的

n

< br>与弧长公式中的

n

一样，应理解为

1

°的倍数，不带单位，如圆心角为

10

°，

n

就是

10

< br>．

(2)

扇形面积公式

S

扇形

=

与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，可与三角形面积公式类比

理解，把弧长

看成底，

r

看成底边上的高．

< /p>

(3)

当已知半径

r

和圆心角的度数求扇形面积时，

应选用公式①；

当已知半径

r

和弧长

求扇形面积时，

应选用公式②．

(4)

根据扇形面积公式和弧长公式，已知

S

扇形

，

，

n

，

r

四个量中的任意两个量，都可以求 出另外两

个量．

4

、圆锥的侧面积和全面积

圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线叫做圆锥的母线．

圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高．

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如 图，设圆锥的母线长为

，底面圆的半径为

r

，那么这个扇形的半径

为

，扇形的弧长为

< br>2

π

r

，圆锥的侧面积：

S

< p>
侧

=

π

r

．

圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即

S

全

=

π

r(r

＋

)

．

说明：

( 1)

圆锥的侧面展开图是以母线长为半径的扇形．

(2)

圆 锥的侧面展开图

(

扇形

)

的弧长等于圆锥底面的周长．

(3)

圆锥的表面积等于圆锥的侧面 积加上圆锥的底面积．

二、重难点知识

理解和掌握弧长公式、扇形面积公式的推导，弧长公式、扇形 面积公式的应用，圆锥侧面积求法．

三、典型例题

例

1

、

(1)

如图，两个半径为

1

的⊙

O

1

与⊙

O

2

及⊙

O

相外切，切点分别为

A

、

B

、

C

，且∠

O

＝

90

°，则

的长为（

）

(2)

如图，△

ABC

是正三角形，曲线

CDEF

„叫做正三角形的渐开线，其中

次按

A

、

B

、

C

循环 ，它们依次相接，如果

AB=1

，那么曲线

CDEF

的长是

(

)

A

．

2

π

B

．

4

π

C

．

6

π

D

．

8

π

分析：

(1)

要计算这三段弧长的和，由相切两圆的性质易知△

OO

1

O

2

为等腰直角三角形，所以∠

O

1

=

∠

O

2

=45

°，

⊙

O

< br>的半径为

，由此不难求出三段弧的长度和；

< p>
长的和，它们所对的圆心角都是

120

°，

的

„的圆心依

< /p>

(2)

曲线

CDEF

的长实际上也是三段弧

半径

AC=AB=1

，

解：

(1)B

；

< p>
(2)B

．

的半径

BD=2AB=2

，

的半径

CE=3AB=3

，所以曲线

CDEF

的长为

．

总结：

< p>
运用弧长计算公式计算弧长关键是寻求出弧所在圆的半径及弧所在的圆心角．

例

2

、解答下列各题：

< p>

(1)

< p>
如图，⊙

A

、⊙

B

、⊙

C

两两不相交，且它们的半径都是

0.5cm

，则图中三个扇形

(

即三个阴影部分

)

的面积之和为（

< br>

）

(2)

如图，已知扇形

OAB

的圆心角为

90

°， 分别以

OA

、

OB

为直径在扇形内作半圆，

P

和

Q< /p>

分别表示两

个阴影部分的面积，那么

P< /p>

与

Q

的大小关系是（

）

A

．

P=Q

B

．

P

＞

Q

C

．

P

＜

Q

D

．不能确定

分析：

题

(1)

中，三个阴影部分均为扇形， 但圆心角的大小不明确，不可能直接求解．此时应从整体上观察∠

A

、∠

B

、∠

C

的特点；

(2)

中阴影部分

P

、

Q

的面积直接求出十分困难，得另辟蹊径 ．

解：

(1)

由图可知∠

< br>A

＋∠

B

＋∠

< br>C=180

°，即阴影部分的面积等于半径为

0.5

的半圆的面积．

∴

，故选

B

．

(2)

设两个半圆的另一个交点为

C

，扇形

OAB

的半径为

R

，则

故选择

A

．

总结：

本题中的解法都具有一定的技巧，

认 真观察图形，发现特征是关键，

如第

(1)

题揭示了求解与圆有关的

阴影部分面积问题的基本方法与思路，

将不规则图形的面积用规则图形的面积表示．

(2)

巧妙地 避开了计算

两部分的阴影面积，利用转化思想，直接推出

P=Q

．

例

3

、

如图，已知两个半圆中长为

4

的弦

AB

与直径

CD

平行， 且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积

等于

_______ ___.

分析：

在大半圆中，任意移动小半圆的位 置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同

圆心位置（如图）

.

解：

移动小半圆至两半圆同圆心位置，

如图。

设切点为

H

，

连结

OH

、

OB

，

由垂径定理，

知

< p>
又

AB

切小半圆于点

H< /p>

，故

，故

.

总结：

特殊位置。具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键．

例

4

、一个圆锥的高为

cm

，侧面展开图是半圆，求：

本题中 的解法采用的一种特殊法，即阴影部分面积与小半圆位置无关，可将小半圆确定在便于求解的

(1)

圆锥的母线长与底面半径之比；

(2)

圆锥的表面积．

分析：

如图所示，

AO

为圆锥的高，经过

AO

的剖面为等腰三角形

ABC

< p>
．圆锥的母线长与底面半径之比即

︰

r

< p>
，

圆锥的表面积即圆锥的侧面积

(

半圆的面积

)

与圆锥底面积之和．

解：

(1)

如 图所示，∵圆锥的侧面展开图是半圆，且圆锥底面圆的周长等于半圆的弧长，即

2

π

r=

π

l

∴

．圆锥 的母线长与底面半径之比为

2

︰

1

．

2

2

2

2

2

2

(2)

在

Rt

△

AOC

中，

AC

=AO

＋

OC

，即

l

=h

＋

r

．

又∵

l=2r

，

h=

∴

3r

=27

．

∴

r =3

．∴

l=2r=6

．

∴

< br>S

表面积

=S

侧

＋

S

底

=

π

rl

＋

π

r

=3

×

6

π

＋

π

×

3

=27

π

(cm

)

，

即圆锥的表面积为

27

π

cm

．

例

5

、一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的高为

图．< /p>

，

(1)

求圆 锥的侧面积；

(2)

画圆锥的侧面展开

2

2

2

2

2< /p>

，∴

(2r)

=(

2

)

＋

r

．

2

2

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