椭圆封头展开面积计算
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椭圆封头几何形状讨论及展开面积计算
符号说明
a,a
m
——椭圆的长半轴，
mm
b,
b
m
——椭圆的短半轴，
mm
D
i
，
D
o
——椭圆封头的内外径，
mm
D
m
——封头的中径，
mm
h
——封头的直边高度，
mm
h
i
——椭圆封头的曲面深度，
mm
h
o
——椭圆封头
的曲面高度，
mm
m
——椭圆的长短轴之比，
m=a/b
α
——封头的厚径比，
α
=
δ
/D
i
δ
——封头的厚度，
mm
椭圆封头由于受力较好，加工较易
，因此被广泛应用于化工、轻工、石油及制药等行业的中低压容器。人们通常认为椭圆封头
是由半个椭圆壳和一段直边圆筒组成的，椭圆封头制造时封头展开面积就是根据这一假设推导计算的，然而构成
椭圆封头的那半个
椭圆壳是不是真正的椭圆壳呢
?
如果不是，又当如何计算椭圆封头的展开面积呢
?
笔
者根据回转壳体的基本概念详细分析椭圆封头的
几何形状，并根据椭圆封头真正的几何形
状推导其展开面积，为制造提供准确的下料尺寸。
1
椭圆封头几何形状
1.1
回转壳体基本概念
壳体是被两个曲面所限定的物体，
等
分壳体各点厚度的曲面称为壳体的中面，
中面是回转曲面的壳体称为
回转壳体，
而回转曲面则是一条平面曲线绕同平面的一根轴旋转而成的曲面，
并称这条平面曲线为该回转曲面
的母线。回转壳体尤其是回转薄壳的几
何形状通常根据中面母线来描述。
1.2
中面母线方程
等厚度的椭圆封头无疑也是一个回转壳体，
< br>但无论是冲压还是旋压成型的椭圆封头只能保证其椭圆壳部分
的内表面
(
或外表面
)
为椭球面，
中面及外表面
(
或内表面
)
并非椭球面，
即其内表面
(
或外表面
)
母线是椭圆，
而
中面及外表面
(
或内表
面
)
母线并非椭圆。
中面及外表面
(
或内表面
)
母线
方程可以根据内表面
(
或外表面
)
母线椭
圆按如下方法推出。
假定椭圆封头椭圆壳部分的内表面
母线是椭圆，见图
1
。已知内表面母线上一点
< br>A
1
(x
1
,y
1
)
，其坐标应满足
椭圆方程：
(1)
式中，
a=D
i
/2
，
b=h
i
。
图
1
椭圆封头所谓椭圆壳部分几何形状
过
A
1
点做内表面母线椭圆的法线
n-n
，
该法线与
y
轴的夹角为
φ
，
分别交中面及外表面的母线于
A
(x,y)
、
A
2
(x
2
,y
2
)
，
则
。那么
A
点的坐标可写为：
x=x
1
+
（
δ
／
2
）
sin
φ
(2)
y=y
1
+
（
δ
／
2
）
cos
φ
(3)
由数学知识可知：
故
(4)
若内表面母线椭圆方程写作参数方程的形式：
x
1
=acos
θ
(6)
y
1
=bsin
θ
(7)
式
(4)
～
(5)
可改写成：
(5)
(8)
(9)
式
(8)
～
(9)
即为椭圆封头所谓椭圆壳部分的中面母线参数方程，同理可写出其外表面母线的参数方程，在此不再
赘述。
根据回转壳体的基本概念，真正的椭圆壳是中面母线为椭圆的回转壳体，由于椭圆封头所谓椭圆壳
部分的中面母
线并非椭圆，因此只能称之为近似椭圆壳。
2
椭圆封头展开面积
椭圆封头的表面是曲线曲面，属于
不可展曲面。其近似展开方法有两种，即等面积法和等弧
长法。所谓等面积法是假设零件
中性层曲面的面积与零件的展开面积相等，所谓等弧长法是假设
零件主断面上的中性层弧
长在成型前后相等。其中以等面积法较为准确，因为金属在成型前后的
体积不变，而厚度
变化很小，有变薄的部分也有变厚的部分，可以相互抵消。椭圆封头的展开图
为一圆面，
设展开面积为
A
，展开直径为
D
a
。
2.1
根据中面母线几何形状推导展开面积
近似椭圆壳部分的展开面积
A
1
为：
(10)
其中：
(11)
将式
(8)
及
(11)
带入式
(10)
可推导整理得：
令
对
m=2
的
标准型椭圆封头：
(12)
则
A
1
=
π
β
α
=(
π
β<
/p>
／
4)D
i
(1
3)
封头直边圆筒部分的展开面积为：
A
2
=
π
D
m
h=
π
D
i
(1+
α
)
h
(14)
故椭圆封头的展开面积为：
A=A<
/p>
1
+A
2
=
π
β
D
i
/4+
π
D
i
(1+
α
)h=
π
D
a
/4
封头展
开圆的直径
D
a
可写作：
2
2
2
2
(15)
由于
D
α
／
D
i
=f(
α
,h
／
D
i
)=f(
δ
／
D
i
,h
／
D
i
)
，为了便于应用，可将
D
a
／
D
i
绘制成曲线，见图
2
。只要已知
δ
／
D
i
、
h
／
D
i
，就可
查得
D
a
/D
i
，从而计算出
D
a
< br>以供划线。
图
2
以内径为公称直径的椭圆封头<
/p>
D
a
／
D
i
参数图
以外径为公称直径的椭圆封头外表面母线是椭圆，其中面母线
的几何形状可用类似方法推出，同理可推得其展开
面积及展开圆直径，在此仅给出推导结
果。
以外径为公称直径的椭圆封头中面母线方程为：