《弧长和扇形面积》解析
-
24.4
弧长和扇形面积（肖莲琴）
第一课时
一、教学目标
（一）学习目标
1
< br>．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法推导弧长公式；
< br>2
．认识扇形，类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式；
3
．能运用弧长计算公式和扇形面积计算公式解决问题．
（二）学习重点
弧长计算公式和扇形面积计算公式
.
（三）学习难点
会运用弧长计算公式
和扇形面积计算公式解决问题
.
二、教学设计
（一）课前设计
1
．预习任务
阅读教材
P111
～
112
，再填空：
（
1
）半径为
R
的圆的周长为
< br>2
R
，面积为
R
2
.
（
2
）由于在半径为
R
的圆中，
360
°圆心角所对的弧长（即圆的周长）为
2
R
，所以
1
°
的
圆心角所对的弧长是
2
R
n
R
R
，化简为：
．于是，
n
°的圆心角所对的弧长为
．
360
180
180
（
3
）
由组成圆心
角的两条
半径
和圆心角所对的
弧
围成的
图形叫做扇形．
由于在半径
为
R
的圆中，
360
°圆心角所对的扇形面积（即
圆的面积）为
R
2
< br>，所以
1
°的圆心角所对的
<
/p>
R
2
R
2
弧长是
．于是，
n
°的圆心角所对的弧长为
．
360
360
2
．预习
自测
（
1
）
半径为
10 cm
的圆中，
60
°的圆心角所对的弧长是
________
.
【知识点】弧长的计算公式
【思路点拨】已知半径、圆心角，可以直接套用弧长计算公式求得弧长
.
【解题过程】解：∵半径
R
＝
10cm
，圆心角
n
＝
60
°
∴由弧长计算公式：
n
R
60
10
10
＝
180
180
3
1
【答案】
10
cm
3
（
2
）下列图片中，阴影部分为扇形的是
__________
（填图形编号）
①
②
③
④
⑤
【知识点】扇形的概念
【思路点拨】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的，一定有一条边是弧线，
顶点一定在圆心处，不会在圆周上．
【解题过
程】根据扇形的定义：扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，
因此只
有③、⑤是扇形，其余都不是．
【答案】③、⑤
（
< br>3
）已知扇形的圆心角为
120
°，半径为
6
，则扇形的面积是
___
____
.
【知识点】扇形的面积计算公式
【思
路点拨】已知半径、圆心角，可以直接套用扇形面积计算公式求得扇形面积．
【解题过程】解：∵半径
R
＝
< br>6
，圆心角
n
＝
120
°
n
R
2
120
6
2
12
．
∴由扇形面积计算公式：
＝
360
360
【答案】
12
（
4
）
已知一扇形的面积为
8
，
且该扇形的半径为
4
，
则该扇形对应圆心角的度数是
__
______
.
【知识点】扇形的面积计算公式的逆用
【思路点拨】已知扇形面积、圆心角，可以逆用扇形面积计算公式求得扇形圆心角的度数，
实际上扇形面积、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一”
．
【解题过程】解：∵半径
R
＝<
/p>
4
，扇形面积＝
8
n
R
2
n
4
2
8
∴由扇形面积计
算公式：
＝
360
360
解得：
n
180
∴圆心角度数为
180
°
【答案】
180
°
（二）课堂设计
1
1
．知识回顾
师问：生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和
面积公式，你还记得吗？
生答：圆的周长公式：
2
R
或
d
（
R
< br>表示圆的半径，
d
表示圆的直径）
生答：圆的面积计算公式：
R<
/p>
2
师问：弧是圆周的一部分，扇形是圆
的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆
的周长、圆的面积之间有怎样的关
系呢？
【设计意图】本节课探究的弧长是圆周的一部分、扇形
面积是圆面积的一部分，都离不开小
学里学生已经掌握了圆的周长、面积的计算公式，因
此本节课从回顾两个基本公式入手．
2
．问题探究
探究一
弧长的计算公式（
★）
●活动①
动画展示，探究新知
师问：如图所示
，在半径为
R
的⊙
O
< br>上，有两动点
A
、
B
，当
A
、
B
两点在圆上运动时，想
一想弧
AB
< br>的长度与什么因素有关？
O
A
B
生答：与∠
AOB
的大小有关
师问：当∠
AOB
＝
360
°时，弧
AB
的长表示什么意思？
生答：⊙
O<
/p>
的周长，即
l
＝
2
R
师问
：当∠
AOB
＝
1
°时呢？弧
AB
的长与整个圆的周长是什么关系？
生答：当∠
AOB
＝
1
°时，弧
AB
的长是整个圆的周长的
师问：当∠
AOB
＝
2
°时呢？
生答：当∠
AOB
< br>＝
2
°时，弧
AB
的长是整个圆的周长的
师问：当∠
AOB
＝
n
°时呢？
生答：当∠
AOB
＝
n
°时，弧
AB
的长是整个圆的周长的<
/p>
师：非常好，弧
AB
的长
l
＝
n
n
n
R
，即
l
＝
2
R
＝
360
360
180
2
2
，即
l
＝
2
R
<
/p>
360
360
1
1
，即
l
＝
2
R
360
360
n
n
R
，这就是弧长的计算公式，其中<
/p>
n
表示弧
AB
2
R
＝
360
180
所对的圆心角的度数，
R
表示弧
AB
所在圆
的半径．根据弧长的计算公式，我们可知，只要
1
知道
n
和<
/p>
R
就可以求弧长．
特别的，几个特殊圆心角所对的弧长是我们经常用到的，比如：
30
R
<
/p>
2
R
＝
360
6
45
R
②当
n
＝
45
°时，弧长
l
＝
2
R
＝
360
4
60
R
③当
n
＝
60
°时，弧长
l
＝
<
/p>
2
R
＝
360
3
90
R
④当
n
＝
90
°时，弧长
l
＝
2
R
＝
360
2
120
2
R
⑤当
n
＝
120
°时，弧长
l
＝
2
<
/p>
R
＝
360
3<
/p>
180
⑥当
n
＝
180
°时，弧长
l
< br>＝
2
R
＝
R
360
①当
n
＝
30
°时，弧长
l
< br>＝
【设计意图】推导弧长的计算公式，采用了从特殊到一般的思想，能更加深刻地
使学生理解
到弧长是圆周长的一部分，弧长的大小取决于圆心角占
360
°的比例．
●活动②
例题演练，巩固新知
师问：
（出示一组运用弧长计算公式的基本题型）
（
1
）半径为
3cm
，圆心角为
30
°的弧长为
___
_______
（
2
）半径为
6cm
，圆心角为
120
°的弧长为
__________
（
3
）半径为
4cm
，长度为
2
的弧所对的圆心角是
________
°
（
4
）圆心角为
150
°
，长度为
5
的弧所在圆的半径是
_________
（学生独立完成）
生答：
（
1
）
2
cm
（
2
）
4
cm
（
3
）
90
（
4
）
6 <
/p>
师：
通过上面的
4
个问题，
我们不难发现弧长、
圆心角度数、
< br>半径三者中可以
“知二求一”
．
【设计意图】推导出弧长计算公式
后，马上对其进行简单的应用，既能加深学生对公式的理
解，帮助学生熟练掌握公式，同
时，也对公式进行逆向应用，进一步拓展公式的使用范围．
探究二
扇形面积的计算公式（
★）
●活动①
引入概念
师问：观察下面阴影部分图形，它像我们生活中的什么图案呢？
A
O
B
1
生答：扇子的形状
师问：对，像上面
阴影这样由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形就叫做扇形．
●活动②
类比弧长，探究新知
师问：你能类比
前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？试试看吧！
（学生小组合作，推导扇形面积计算公式，并展示）
生答：
类似前面弧长的讨论，
我们可以知道扇形
AOB
的面积也与圆心角∠
AOB
的大小有关：
当∠
AOB
< br>＝
360
°时，扇形
AOB
的面积就是整个圆的面积，即
S
R
2
；当∠
AOB
＝
1
°时，
R
2
1
扇形
AOB
的面积就是整个圆面积的
，即
S
；当∠
AOB
＝
2
°时，扇形
AOB
的面
360
360
2
R
2
2
积就是整个圆面积的
，即
S
；……当∠
A
OB
＝
n
°时，扇形
< br>AOB
的面积就是整
360
36
0
n
R
2<
/p>
n
个圆面积的
，即
S
．
3
60
360
师：非常好！非常好，扇形
AOB
的面积
S
＝
n
R
2
，这就是扇形面积的计算公式，其中
360
< br>n
表示弧
AB
所对的圆心角的度
数，
R
表示弧
AB
所在圆的半径．
同样的根据扇形面积的计算
公式，我们可知
，只要知道
n
和
R
就可以求扇形面积．
特别的，几个特殊圆心角所对的扇形
面积是我们经常用到的，比如：
30
R
2
2
①当
n
＝
30
°时
，扇形面积
S
＝
R
＝
12
360
45
R
2
2
②当
n
＝
45
°时，扇形面积
S
＝
R
＝
8
360
60
R
< br>2
2
③当
n
＝
60
°时，扇形面积
S
＝
R
＝
6
360
90
R
2
2
④当
n
＝
< br>90
°时，扇形面积
S
＝
R
＝
4
360
120
R
2
2
⑤当
n
＝
120
°时，扇形面积
S
＝
R
＝
3
360
180
R
2
2
⑥当<
/p>
n
＝
180
°时
，扇形面积
S
＝
R
＝
2
360
●活动③
例题演练，巩固新知
1
师问：
（
出示一组运用扇形面积计算公式的基本题型）
（
1
）半径为
3cm
，圆心角
为
30
°的扇形面积为
_______
___
（
2
）半径为
6cm
，圆心角为
120
°的
扇形面积为
__________
（
3
）半径为
4cm
，面积为
4
的扇形所对应的圆心角是
________
°
5
（
4
）圆心角为
150
°，面积为
的扇形所在圆的半径是<
/p>
_________
3
（学生独立完成）
生答：
（
1
）
3
cm
2
< br>
（
2
）
12
cm
2
（
3
）
90
（
4
）
2 <
/p>
4
师：通过上面的
4
个问题，同样可以发现扇形面积、圆心角度数、半径三者中可以“知二求
一”
．
【设计意图】
有了前面弧长计算公式的推导，学生比较容易理解到扇形面积也是圆面积的一
部分，扇形
面积的大小取决于圆心角占
360
°的比例．因此可以将扇形面
积公式的推导交给
学生，学生类比弧长公式的推导，很快就可以得到扇形面积的计算公式
．在公式得出后，也
同样马上进行简单的应用，既能加深学生对公式的理解，帮助学生熟
练掌握公式，同时，也
对公式进行逆向应用，进一步拓展公式的使用范围．
●活动④
对比联系，拓展新知
师问：现在我们
从特殊到一般的方法推导出弧长的计算公式
l
＝
n
R
2
S
，对比这两个公式，你能找到它们之间的联系吗？
360
n
R
和扇形面积的计算公式
180
生
1
答：都含有
；
生
2
答：都与圆心角度数
n
有关；
生
3
答：都与圆的半径
R
有关；
……
（学生言之有理即可，老师多鼓
励学生观察发现两个公式的共同部分）
师问：实际上，扇形的
面积计算公式里就包含着一个弧长计算公式，聪明的你们发现了吗？
< br>n
R
2
1
n
R
n
R
1
R
，而
l
＝
生答：因为
S<
/p>
，所以
S
<
/p>
lR
360
2
180
180
2
师：非常好！这样我们又得到了一个扇形面积的计算公式：
S
1
lR
．在这个公式里，圆心
2
角的度数
n
不见了
，取而代之的是弧长
l
，只要知道弧长
l
和半径
R
就能求出扇形面积了．
师：
同时
S
1
1
lR
这个公式还比较简洁，
简单到和我们三角形的面积计算公式
S
ah
非常相
2
2
1
似．不同的是，三角形的底是一条线段，而扇形的“底”是一
条弧线；三角形的高是底上的
一条过顶点的垂线段，而扇形的“高”是弧线上任意一条半
径．
O
R
B
l
C
h
A
B
a
A
【设计意图】对比弧长的计算公式和扇形面积的计算公式，学生能较容易的找到两个公式之<
/p>
间的联系，这样能得到扇形面积的第二个公式．
探究三
应
用弧长公式和扇形面积公式解决问题（
★、▲）
●活动①
基础性例题
例
1
填空
（若结果含圆周率的请保留
）
（
1
）一个扇形的圆心角为
120
°，半径为
3
，则这个
扇形的面积为
___________
（
2
）圆心角为
135
°，半径为<
/p>
4
的弧长为
___________
【知识点】弧长计算公式和扇形面积计算公式
【解题过程】
（
1
）∵圆心角
n
＝
120
°
，半径
R
＝
3
n
R
2
1
20
3
2
3
∴扇形面积
S
360
360
（
2
）∵圆心角
n
< br>＝
135
°，半径
R
＝
4
∴弧长
l
n
R
135
4
3
< br>
180
180
【思路点拨】根据弧长计算公式和扇形的面积计算公式即可直接求出．
【答案】
（
1
）<
/p>
3
（
2
）
3
练习
<
/p>
填空（若结果含圆周率的请保留
）
（
1
）一个扇形
的圆心角为
240
°，半径为
6
，则这个扇形的面积为
___________
（
2
）圆心角为
45
°，半径为
8
的弧长为
__
_________
【知识点】弧长计算公式和扇形面积计算公式
【解题过程】
（
1
）∵圆心角
n
＝
240
°
，半径
R
＝
6
n
R
2
2
40
6
2
24<
/p>
∴扇形面积
S
360
360
（
2
）∵圆心角
n
＝
45
°，半径
R
＝
8
∴弧长
l
n
R
45
8
2
180
180
1
【思路点拨】根据弧长计算公式和
扇形的面积计算公式即可直接求出．
【答案】
（
1
）
24
< br>
（
2
）
2
例
2
填空
（若结果含圆周率的请保留
）
（
1
）
75
°的圆心角所对的弧长是
2
.
5
cm
，则此弧所在圆的半
径是
___________
（
2<
/p>
）一个扇形的弧长是
20
cm
，半径是
6
cm
，则该扇形的面积是
___________
【知识点】弧长公式的逆用，扇形面积公式二（扇形面积与弧长的关系）
【解题过程】解：
（
1
）∵圆心角
n
＝
75
°，弧长
l
2
.
5
cm
∴弧长
l
n
R
75
R
2
.
5
解得：
R
6
180
180
∴此弧所在圆的半径为<
/p>
6cm
（
2
）
∵弧长
l
20
cm
，半径
R
＝
6 cm
∴扇形面积
S
1
1
lR
20
6
60
cm
2
2
2
【思路
点拨】第
1
小问知道的是圆心角和弧长，根据弧长公式反过来求
半径，只需根据弧长
公式建立关于半径的方程即可；第
2
小问也可以先求出对应的圆心角度数后再求扇形面积，
但是比较复杂．
另外两个题目需注意单位的问题．
【答案】
< br>（
3
）
6cm
（
4
）
60
cm
2
练习
填空
（若结果含圆周率的请保留
）
（
1
）
75
°的圆心角所扇形的面积是
7
.
5
cm
2
，则此扇形所在圆的半径是
________
（
2
）一个扇形的面积是
20
cm
2
，半径是
4 cm
，则该扇形的周长是
___________
【知识点】弧长公式的逆用，扇形面积公式二（扇形面积与弧长的关系）
【解题过程】解：
（
1
）∵圆心角
n
＝
75
°，扇形面积
S
7<
/p>
.
5
cm
2
n
R
2
75
R
2
7
.
5
解得：
R
6
∴扇形面积
S
360
360
∴此弧所在圆的半径为
6cm
（
2
）∵扇形面积
S
20
cm
2
，半径
R
＝
4 cm
∴扇形面积
S
1
1
lR
l
4
20
解得：
l
10
2
2
∴扇形周长为<
/p>
10
4
4
(
10
8
)
cm
【思路点拨】第
1
小问知道的是圆心角和扇形面积，根据扇形面积公式反过来求
半径，只需
根据扇形面积公式建立关于半径的方程即可；第
2<
/p>
小问也可以先求出对应的圆心角度数后再
1
求弧长，但是比较复杂．同时第<
/p>
2
小问要注意扇形周长包含两条半径．
【答案】
（
1
）
6cm
（
2
）
(
10
8
)
cm
【设计意图】本节课的重点和难点内容就是弧长公式和扇形面积公式的理解和应用，因此本
环节用例
1
和例
2
及变式练习，使学生掌握弧长公式和扇形面积公式最基本的应用，为接下
来生活实际应用问题做铺垫．
●活动
2
提升型例题
例
1
制造
弯型管道时，经常要先按照中心线计算“展直长度”
，再下料，试计算下图所示的
管道的展直长度
L
（结果保留整数）
【知识点】弧长的计算
【解题过程】
解：由弧长公式，得弧
AB
的长
l
100
900
500
1570
(
mm
)
1
80
所以展直长度
L
＝
2
700
1570
2970
(
mm
)
．
【思路点拨】本题需审清题目中“展直长度”的含义：展直长度包括一段弧长和两端
700mm
的线段长．
【
答案】
2970
mm
练习
如图
是一段弯型管道，其中∠
O
＝∠
O
’
＝
90
°，中心
线的两条圆弧半径都是
1000 mm
，
求图中管道的展直长度（
取
3.1
42
）
【知识点】弧长的计算
1
【解题过程】解：由弧长公式，两
端弧长均为
l
90
< br>
1000
500
180
所以展直长度
L
＝
2
500
3000
10
00
3.142
< br>3000
6142
(
mm
)
．
【思路点拨】本题中展直长度包括两段弧长和一条长
3000mm
的线段长
【答案】
6142 mm
例
2
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是
0.6
m
，其中水面高
0.3 m
，求截面上
有水部分的面积（结果保留小数点后两位）
O
【知识点】扇形面积、弓形的面积、垂径定理、等边三角形、
【数学思想】转化思想
【解题过程】
解：
连接
OA
、
OB
，
过点
O
做
OC
⊥
A
B
，
垂足为
D
，
交弧
AB
于点
C
，
连接
AC
．
O
A
D
C
B
∵
OC
＝
0.6 m
，
DC
＝
0.3 m
∴
OD
＝
OC
－
DC
＝
0.3m
∴
OD
＝
DC
又∵
AD
⊥
D
C
∴
AD
是线段
OC
的垂直平分线
∴
AC
＝
AO
＝
OC
∴△
AOC
是等边
三角形
从而∠
AOD
＝
60
°，∠
AOB
＝
120
°
又∵
AO
＝
0.6 m
，
DO
＝
0.
3 m
∴
AD
＝
0
.
6
2
0
.
3
2<
/p>
∴
AB
＝
2AD
＝
3
3
5
3
3
m
10
∴有水部分的面积
S
＝
S
扇形
OAB
S
OAB
1
120
0
.
6
2
1
3
3
0
.
3
＝
360
2
5
＝
0
.
12
9
3
≈
0.22
（
m
2
）
100
【思路点拨
】弓形的面积＝扇形面积－三角形面积．
【答案】
0.22
m
2
练习
如图
是一个马戏团帐篷的地面，是一个半径为
20m
的圆形，从点<
/p>
A
到点
B
有一段
笔
直的栅栏，且∠
AOB
＝
90
°，观众坐在阴影区域内看马戏，如果每平方米可以坐
3
名观众，
估计阴影区域内坐满观众时可以坐多少人？
【知识点】扇形面积、弓形的面积
【数学思想】转化思想
【解题过程】
解：∵∠
AOB
＝
90
°，
OA
＝
OB
＝
20m
∴
S
阴影
S
扇形
AOB
S
AOB
90
1
20
2
20
20
100
200
114
（平方米）
36
0
2
∵每平方米可以坐
3
名观众
∴
估计坐满观众时可以坐
3
×
114
＝
342
人
【思路点拨】弓形的面积＝扇形面积－三角形面积
【答案】
342
人
【设计意图】例
1
、例
2
及变式练习采用生活中常见的弧长或扇形问题，进一步帮助学生熟
练弧长计算公式和扇形的面积计算公式，同时使学生提高应用数学的意识．
●活动
3
探究型例题
例
1
如图
，
Rt
△
ABC
的边
BC
位于直线
l
上，
AC
=
3
，∠
ACB
=90
o
，∠
A
=30
o
，若
Rt
△
ABC<
/p>
由现在的位置向右无滑动地翻转，
当点
A
第
3
次落在直线上
l
时，
求点
A
所经过的路线的长．
（
结
果用含<
/p>
л
的式子表示）
．
1
A
…………
C
B
l
【知识点】勾股定理、旋转、弧长计算公式的应用
【解题过程】解析：
AC
=
3
，
∠
ACB
=90
o
，
∠
A
=30
°，可以由勾股定理计算斜边长度是
2
，
∴点
< br>A
第一次落在
l
上时经过的路线
长度是
点
A
第二次落在
l
上时经过的路线长度是
120
2
，
180
90
3
120
2
，
<
/p>
180
180
点
A
第三次落在
l
上时经过的路线长度与
第二次落在
l
上时经过的路线长度相同，也是
< br>90
3
120
2
，
180
180
所以当点
A
三次落在直线<
/p>
l
上时，经过的路线长度是
120
2
90
3
120
2
＋
2×
（
）
180
180
180
=
4
4
＋
3
＋
2×
=
< br>3
＋
4
．
3
3
【思路点拨】解旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续
的
弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算．
【答案】
3
＋
4
练习
如图
，在边长为
1
的正方形组成的网格中，
△
ABC
的顶点都在格点上，将
△
ABC
绕点
C
顺时
针旋转
60°
，求点
A
所经过的路径长．
C
A
B
【知识点】勾股定理、旋转、弧长计算公式的应用
【解题过程】
△
ABC
绕
点
C
顺时针旋转
60°
，顶点
A
经过的路径是以
C<
/p>
为圆心
AC
为半径，
1