电磁学(赵凯华)答案[第2章 稳恒磁场]
-
1.
一边长为
2a<
/p>
的载流正方形线圈，通有电流
I
。试求：
(1)
轴线上距正方形中心为
r0
处的磁感应强度；
(2)
当
a=1.0cm , I=5.0A , r0=0
或
10cm
时，
B<
/p>
等于多少特斯拉？
解
（
1
）沿轴向取坐标轴
OX
，如图所示。利用一
段载
流直导线产生磁场的结果，
正方
形载流线圈每边在点
P
产生的磁感应强度的大小
均
中
:
为
:
,
式
由分析
可知，
4
条边在点
P
< br>的磁感应强度矢量的方向并不相同，其中
AB
边在
P
点的
B1
方
向如图所示。由对称性可知，点
P
上午
B
应沿
X
轴，其大小等于
B1
在
X
轴投影
的
4
倍。设
B1
与
X
轴夹角为
α
则
:
把
r0=10cm ,
a=1.0cm ,I=5.0A
带入上式，得
B=3.9×
10-7(T)
。把
r0=0cm ,
a=1.0cm ,I=5.0A
带
入上式，得
B=2.8×
10-7(T)
。可见，正方形载流线
圈中心的
B
要比轴线上的一点大的多。
2.
将一根导线折成正
n
边形，其外接圆半径为
a
，设导线栽有电流为
I
，如图所示。试
求：
(1)
外接圆中心处磁感应强度
B0
；
(2)
当
n→∞
时，上述结果如何？
解
:
（
1<
/p>
）设正
n
边形线圈的边长为
b
，应用有限长载流直导线产生磁场的公式，可知各边在圆
< br>心
处
的
感
应
强
度
大
小
相
等
，
方
向
相
同
，
即
：
所以，
n
边形线圈在
O
点产生
的磁感应强度为：
因为
2θ=2π/
n,θ=π/n
，故有：
于纸面向外。
由右手法则，
B0
< br>方向垂直
（
2
）当
n→∞
时，
θ
变的很小，<
/p>
tanθ≈θ
，所以：
代入上述结果中，
得：
此结果相当于一半径为
a
，
载流为
I
的圆线圈在中心
O
点产生磁感应强度的结果，
这一点在
n→∞
时，
< br>
是不难想象的。
3.
如图所示，载流等边三角形线圈
ACD
，边长为
2a
，通有电流
I
。试求轴线上距中心
为
r0
处的磁感应强度。
解
:
由图可知，要求场点
P
的合场强
B
，先分别求出等边三
角形载流线圈三条边
P
点产生的磁感
应
强度
Bi
，再将三者进行矢量叠加。
由有限长载流导线的磁场公式可知，
AC
边在
P
点产生的磁感应强度
BAC
的大小为：
由于⊿
ACP
为等腰三角形，且
PC
垂直
AC
，即：
代入上述结果中，得：
由右手螺旋定
则可知，
BAC
的方向垂直于
ACP<
/p>
平面向外，
如图所示。由对称性可知，
A
C
，
CD
，
D
A
三段载流导线在
P
点产生的磁感应强
度
BAC
、
BCD
、
BDA
在空间方位上对称，<
/p>
且它们在垂直于
Z
轴方向上的分量相互抵
消，
而平行于
Z
轴
方
向
上
的
分
量
相
等
，<
/p>
所
以
：
根据等边三角形性质，
O
点是⊿
ACP
的中心，故
:
，并由⊿
EOP
可知
sinα=
,
所
< br>以
P
点
的
磁
感
应
强
度
BP
的
大
小<
/p>
为
：
磁感应强
度
BP
的方向沿
Z
轴方向。
4.
一宽度为
b
的半无限长金属板置与真空中，
均匀通有电
流
I0
。
P
点
为薄板边线延长线
上一点，与薄板边缘距离为
d
。如图所示。试求
P
点的磁感应强度
< br>B
。
解
:
建立坐标轴
OX
，如图所示，
P
点为
X
轴上一点。整个金属板可视为无限多条无限长的载流
< br>导组成，
取其任意一条载流线，
其宽度为
dx
，
上载有电流
dI=I0
dx/b
，
它在
P
点产生的场强为：
dB
的方向垂直纸面向里。由于每一条无限长直载流线
< br>P
点激发上
的磁感应强度
dB<
/p>
具有相同的方向，所以整个载流金属板在
P
点产
生的磁感应强度为各载流线在该点产生的
dB
的代数和，即：
BP
方向垂直纸面向里。
5.
两根导线沿半径方向引到金属环上的
A
、
C
两点，电流方向如图所示。
试求环中心
O
处的磁感应强度。
解
:
由毕
-
萨定律可知，
两
载流直线的延长线都通过圆心
O
，
因此
她们在
O
点产生的磁感应强度为零。图
中电流为
I1
的大圆弧在
O
点产生的
B2
的方向垂直纸面向里。应用载流圆线
圈在中心处
产
生
磁
场
的
结
果
B=μ0I/2r
，
可
知
B1
、
B2
的
大
小
为
:
< br>则
O
点
的
磁
感
应
强
度
的
大
小
为
:
设大圆弧和
小圆弧的电阻为
R1
、
R2
，则
:
有
:
B0=0
。
,
因大圆弧和小圆弧并联，故
I1R1
=
I2R2
，即
:
,
代入表达式得
6.
如图所示，一条无限长导线载有电流
I
，该导线
弯成抛物线形状，焦点到顶点的距离
为
a
，试求焦点的磁感应强度
B
。
解
:
本题
采用极坐标。用毕
-
萨定律得电流元
I
dl
在焦点
P
处产生的磁感应强度为<
/p>
:
,
由于
Idl
与
r
的夹角为
θ
，由图可知，
Idlsinθ=Irdψ,
所以
dB
的大小为
:
方向由右手螺旋定则可知，
,
垂直纸面向外。
由于所有电流元<
/p>
Idl
在
P
点产
生的磁
感应强度方向相同，所以
P
点<
/p>
的
总
产
生
的
磁
感
应
强
度
为
:
程为
:
,
因抛物线的极坐标方
,
因此
:
7.
如图所示，两块无限大平行载流导体薄板
M
、
N
，每单位宽度上所载电
流为
j
，方向
如图所示，试求两板间<
/p>
Q
点处及板外
P
点处的磁感应强度
B
。
解
:
无<
/p>
限
长
载
流
直
导
线
产
生
磁
感
应
强
度
的
公
式
B=μ0Ir0/2πr
可知，
M
板
Q
点激发的磁感应强度
BM
的大小为：
dBy = dBsinα
由对称性可知：
点
到
M
, dBx =
-
dBcosα
，
,
设
Q
a
，
则
：
板
的
垂
直
距
离
为<
/p>
由几何关系可知：
a/r=cosα,
x=tanα,dx=ada/cos2α
，代
入
上
式
：
< br>BM
的方向沿
X
轴方向，因此，
Q
点的磁感应强度
BM+BN=0
，采用同样的方法得，
M
板在
P
点产生磁感应强度为：
N
板在
P
点产生磁感应强度为：
,
表明在
P
点两块板
产生磁感应强度相同，所以
P
点的
B<
/p>
为
B = BM+BN= -
μ0ji<
/p>
，
B
的方向沿
X
轴负向。
8.
如图所示，通有电流强度为
I
的细导线，平行的、紧密的单
层缠绕在半个木球上，共
有
N
匝，设木
球的半径为
R
，试求球心
O
点处的磁感应强度。
解
:
由图可知，绕有载流导线的木球
可看成是有无限多
个不同半径的同心载流圆线圈组成，球心
O<
/p>
在载流圆线
圈的轴线上，则球心
O
点的磁感应强度
B0
是各个载流
圆线圈在该点激发的磁感应强度的矢量和。如图坐标系
OXY
，
在
X
轴线上距原点
Ox
处任取一弧宽为
dl
的圆环，
半
径
为
y
，
圆
环
上
绕
有
dN
匝
导
线
，
即
：
通过该圆环上的电流
dI=IdN=2INdθ/
π,
由载流线圈在轴
线上任意一点产生的磁感应强
度公式，
可知
dI
在
< br>O
点激
发的磁感应强度
dB
大小为：
dB
的方向沿
X
轴正向。由几何关系：
x=Rsinθ,y=Rcosθ,
带入上式得：
< br>
由于所有载流线圈在
O
点激发的
B
方向相同，故
< br>O
点总的磁感应强度可由矢量积分简化为标量
积分，即：
B0
的方
向沿
X
轴正向。
9.
均匀带电的球面绕着它的某一直
径作匀速旋转。
试求在该球面上各点的磁感应强度
B.
解
:
如图所示，均匀带电的球面绕沿
X
轴的直径以角速
度
ω
旋转。球面上任意面元所带电荷因
旋转而形成电流。
将球面分成许多环状球带，
每一球带因旋转而
形成的电流在
X
轴上任意一点
P
处都将产生磁感应强度
dB
。设球面半径为<
/p>
R
，面电荷密度为
σ
，绕沿
X
轴的直径以角速度为
ω<
/p>
旋转，球心在原点
O
。取从
φ
到
（
φ+dφ
）的环
状球带，其面积为
dS=2πrdl=2π
rRdφ
，所带电
量为
dQ=σdS=
2πRrσdφ
，由于旋转，该球带上
电荷形成沿环状带流动的
电流，电流强度为
dI=dQ/T
,T
为旋转周期，故：
dI=ωdQ/2π=ω2πRrσdφ/2π=Rσωr
dφ
设
该
环
状
球
带
的
中
心
位
于
x
处
，
则
：
x=Rcosφdx=
-
Rsinφdφ =
-
rdφ
因
此，
dI
可表为
dI
=
-
Rσωdx
，该环状球带
dI
在
直
径
上
任
意
一
点
P
点
产
生
的
dB
为
：
,
式中
i
是
X
轴
方向的单位矢量，式中的
r
为
r2 = R2
△
x2
，