两相邻素数间隔(格点数论版)
-
两相邻素数的间隔
:
d
n
p
n
<
/p>
1
p
2
p
n
p
n
.
(
格点数论版
)
张
忠
(
言
)
江苏省南通市崇川区
江苏南通
226002
摘要：
本文依据同余理论和筛法
,
利用连续网格奌表示连续整数及其多维数的方法
,
证
明了在
p
n
1
个
连续整数中至少有两个模
p
2
p
3
...
p
n
的简化剩余。从而进一步证出两相邻素数
的间隔
(
后继素数差
):
文
档收集自网络，仅用于个人学习
<
/p>
d
n
p
n
1
p
2
p
n
p
n
关键词
：模
,
< br>段
,
同余
,
素数
,
实筛
,
虚筛
,
网格奌
< br>,
多维数。
0.
引言
：
数百年来，人们一直被“素数分布是否存在规律”这问题困扰着。即使是“在
a
与
a
1
间至少有
两个素数”也还仅仅是未被证明的“杰波夫
(desloves)
猜想”。
本文依据同余理论和筛法，通过利用平
p
2
p
3
...
p
n
的简化剩余的分布规律，
面上的网格奌来
表連续的整数及其多维数的方法
,
先找出模
n
从而
2
2
导出两相邻素数的间隔
(
后继素数差
):
d
n
p
n
1
p
2
p
n
p
n
.
< br>文档收集自网络，仅用于个人学习
1.
本文主要概念
为便于证明本文命：
p
1
,
p
2
< br>,...
p
n
,
p
n
1
,
表素数数列
:
2
,
3
,
5
,
7
,
11
,
p
n
,
p
n
1
,
;
并特别约定
:
p
0
1
,
p
2
p
3
...
p
n
，且作下述定义：
n
p
1
p
2
...
p
n
,
n
定义
1.
b
的
N
(
多
)
维数
:
<
/p>
r
1
,
r
2
r
n
n
r
1
mod
p
1
r
mod
p
2
若
b
2
,
并
约定将其简记为
b
=
r
1
,
r
2
r
n
n
,
并将其定义为
b
的
n
(
多
)
维数
.
并用行
(
或
)
r
n
mod
p
n
列的连续格奌表示
.
n
b
r
1
,
r
2
r
n
n
是关于模
n
的一类剩
余
:
b
r
i
p
i
1
i
n
< br>
p
i
mod
n
.
0
1
mod
p
1
1
<
/p>
mod
p
2
<
/p>
如
:
10
<
/p>
2
并约定将其简记为
10
=
0
1
,
1
2
,
0
3<
/p>
.
3
,
将其定义为
10
的多维数
< br>.
0
3
mod
p
3
定义
2.
D
b
（
1
）表闭区间
b
,
b
内的
1
个有序的连续整数，并将其定义为整数列中长
为
的第
b
闭段（闭段可简称段）
，其中
D
0
，定义为整数列中长为
的原段．同时规定：
文档收集自网络，
< br>仅用于个人学习
（
1
）
b
为
D
b
的原项，
b
i
0
i
为
D
b
的第
i
项
．
（
2
）当
p
k
时，为避免出现下标的下标
,
特将
D
b
简记为
D
k
b
.
如
:
D
<
/p>
0
5
表非负整
数数列中段长为
p
3
5
的段
:
0
1
2
3
4
5
即
闭区间
0
,
5
内的有序整数集合
:
0
,
1
< br>,
2
,
3
,
4
,
5
;
又因其段长为
p
< br>3
5
,
故为避免出现下标的下标
,
特将<
/p>
其简记为
D
3
0
.
其段
中的
0
为
D
0
5
的原项
，段中的
1
为
D
0
5
D
3
0
的第一项，段中的
2
为
D
3
0
的
1 / 10
第二项
.
文档收集自网络，仅用于个人学习
D
3
0
也可用
D
3
0
及其三
(
多
)
维数一并表为图一和图二两种形式
:
整
数
:
模
2
:
模
3:
模
5:
图
一
D
3
0
图
二
D
3
0
0
0
0
0
1
1
2
0
3
1
0
4
0
5
1
0
0
0
0
1
1
1
1
2
0
2
2
3
1
0
3
4
0
1
4
5
1
2
0
1
-1
1
1
-1
0
2
-2
-1
(
注
:
图一是用模
p
i
的最小绝对值剩余表示的
D
3
0
;
图二是用
模
p
i
的最小非负剩余表示的
D
3
0
.)
定义
3.
D
b
< br>2
表开区间
b
,
b
内的
1
个有序的连续整数，并将其定义为整数列中长为
的第
b
开段，其中<
/p>
D
(
0
)
定义为整数列中长为
的原开段．同时规定
:
文档收集自网络，仅用于个人学习<
/p>
（
1<
/p>
）
b
为
D
b
名义上的原项，
b
i<
/p>
(0<
i
<
)
为
D
<
/p>
b
的第
i
项．
如
:
D
<
/p>
6
5
表非负整
数数列中段长为
p
3
5
的第
6
开段
:
(2)
当
p
k
时，为避免出现
下标的下标
,
特将
< br>D
b
P
k
简记为
D
k
b
．
7
8
9
10
,
即开区间
(
6
,
6
5
11
)
内的有序整数集合
:
7
,
< br>8
,
9
,
10
.
;
其段中的
6
(
尽管图中并未出现
,
但仍
)
为
D
6
名义上的原项，
其段中的
7
为
D
6
5
的第一项，
段中的
2
为
D
6
5
的第二项
,
<
/p>
其它以此类推
.
文档收集
自网络，仅用于个人学习
a
i
b
<
/p>
i
m
od
m
（
0
i
)
．
定义
4.
两等长的各对应项均关于模
< br>m
同余的段称为关于模
m
同余的
段，记作
:
D
a
D
b
<
/p>
m
od
m
．
如
:
D
9
5
D
0
5
m
od
3
表
:
9
,
< br>10
,
11
,
< br>12
,
13
,
< br>14
.
0
,
1
,
2
,
3
,<
/p>
4
,
5
.
m
od
3
.
的
n
个两两互不同余的剩余段类，
若
故整数列中无数的长为
的整数段
D
b
b
Z
可划归为模
n
的
长
为
的
最
小
非
负
完
全
剩
余
段
系
:
D
< br>
B
n
,
其
中
分
别
从
每
类<
/p>
中
各
取
一
段
，
则
构
成
模
n
的
最小非负完全剩余系
．<
/p>
文档收集自网络，仅用于个人学习
<
/p>
表模
n
B
n
b
n
0
b
n
< br>n
由
同
余
理
论
知
:
若
a
b
(mo
d
m
)
，
则<
/p>
D
a
与
D
b
的
各
对
应
项
均
关
于
模
m
同
余
，
即<
/p>
:
...
、
p
n
的
倍
数
（
即
受
n
筛
除
< br>）
定
义
5.
在
整
数
集
中
分
别
依
次<
/p>
删
去
p
1
、
p
2
、
，
从
而
获
得
n
{
n
|
(
n
,<
/p>
n
)
1
}
的方法叫做“
N
维筛法”
．即
0
(mod
p
i
)
,
i
1
,
2
,
,
n
}
n
{
n
|
n
r
i
(mod
p
i
)
,
0
r
i
p
< br>i
,
i
< br>1
,
2
,
,
n
}
n
(
p
)
(mod
<
/p>
n
),
0
r
i
p
i
,
i
1
,
2
,
,
n
}
n
{
n
|
n
r
i
< br>(
n
)
i
p
i
i
1
图
三
.
用“
N
维筛法”求模
< br>
3
30
的最小正简化剩余系
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
1
3
4
1
2
4
5
2
1
5
1
3
2
6
2
1
1
7
3
2
2
8
4
3
1
9
5
1
2
10
1
2
1
11
2
3
2
12
3
1
1
13
4
2
2
14
5
3
1
15
1
1
2
16
2
2
1
17
3
3
2
18
4
1
1
19
5
2
2
20
1
3
2
21
2
1
2
22
3
2
1
23
4
3
2
24
5
1
1
25
1
2
2
26
2
3
1
27
3
1
2
28
4
2
1
29
n
{
n
|
(
n
,
n
)
1
}
{
n
< br>|
n
5
3
2
30
(
说明
.
<
/p>
图三中
:
第一行为模
5
的连续最小正简化剩余
;
第二
行为模
3
的连续最小正简化剩余
; <
/p>
第三行为模
2
的连续最小正简化剩余
,
第四行为自然数列
.
列中含有红色格奌
(
节点
)<
/p>
的自然数因含该
节点
的素因数而
被筛去
,
故列中不含
节点
的自然数即模
30
的简化剩余
3
).
文档收集自网络，仅用于个人学习
2 /
10
3
3
13
,
3
4
17
,
3
5
19
,
3
6
< br>
23
,
3
7
3<
/p>
1
29
3
1
.
现将模
30
的最小正简化剩余系数列记作
:
3
0
1
,
3
< br>1
7
,
3
2
11
,
并作下述规定：
（
1
）
若（
a
,
n
）＝
d
，则当
d
＞１时，称
a
被
n
筛除，称
a
被
d
的最小素因数实筛，被
d
的其它
素因数虚筛；当
d
＝１，则称
a
未被
n
筛除．
文档收集自网络，
仅用于个人学习
如
:
（
6
,
3
）
＝
2
3
,
则称
6
被
3
筛除<
/p>
,
称
6
被
d
6
的最小素因数
2
实筛
,
被<
/p>
d
的其它素因数
3
虚筛
.
（
2
）
若在
D
b
内有一整数
a<
/p>
被
p
i
(
1
i
n
)
筛除，则称
D
b
受
p
i
筛除，且若
a
被
p
i
实筛，则称
除的整数，则称
D
b
未受
p
i
筛除．
文档收集自网络，仅用于个人学习
D
b
受
p
i
实筛；且若
D
b
内仅有被
p
i
虚筛的整数，则称
D
[
b
]
仗受
p
i
虚筛．若在
D
[
b
]
内无被
p
i
筛
如
:
图一中的
D
3
7
< br>
7
,
8
,
9
,
10
,
11
,
12
.
内
,
仅有
一个整数
10
受
p
3
5
的虚筛
,
则称
D
3
7
仅受
p
3
虚筛．
n
,
n
1
．
n
n
的最小正简化剩余系数列表
为
:
n
<
/p>
0
1
,
n
1
,
n
n
<
/p>
1
n
1
.
本文将模
n
2
模
n
的大于
1
而小于
p
n
1
的简化剩余与
素数的关係
:
筛
< br>除
后
可
得
模
n
的
简
化
剩
余
集
:
同
理
:
当<
/p>
整
数
集
Z
分
别
依
次
受
p
2
,
p
3
,...
p
n
筛
除
，
< br>即
n
由
定
义
5
知
:
集
合
n
n
n
,
n
< br>
n
,
p
1
p
2
.
.
p
.
n
1
是
模
n
的
简
化
剩
< br>余
集
数
列
:
n
0
1
,<
/p>
n
1
,
n
2
,
n
a
,
n
a
1<
/p>
,
n
n
1
n
1
.
是一个模
n
的最小正简化剩余系
.
为便于证明起见
,
现约定
:
n
0
<
/p>
1
为该数列的基准项
,
也称作该数列的首
(
标值
)<
/p>
项
;
当
a
1
时
,
n
a
称
为该数列的第
a
项
.
文档收集自网络，仅用于个人学习
2
由素数判别法知
,
当
1
n
a
p
n
1<
/p>
时
:
n
a
p
n
a
.
即有
:
n
1
p
n
1
,
n
2
p
n
2
,
n
a
p
n
a
.
同时素数数列也可表为
:
p
1
0
1
< br>,
p
2
0
2
]
1
1
,
p
3
1
2
< br>
2
1
,
p
n
n
1
1
n
2
2
< br>
n
3
3
.
定义
7.
，使
D
b
n
D
B
n
均含
n
，则称其中含
n
个数最少的段
D
b
n
最大
筛除
为受
n
若存在
0
n<
/p>
的段．
(
注<
/p>
:
D
b
n
是集合
D
B
n
的元素
.)
2.
引理与定理
.
引理一。
若
:
n
j<
/p>
为模
n
的正简化剩余数列的第
j
项
,
n
< br>0
1
,
n
1
,
<
/p>
n
j
，
n
j
1
,
; (
其中
:
n
< br>
j
<
n
j
1
)
j
为模
n
的正简
化剩余数列的第
j
项
.
n
< br>j
1
,
,
（其中
:
n
0
1
,
n
1
,
…
n
j
，
n
j
〈
< br>
n
j
1
）
.
n
3
/ 10
则
:
n<
/p>
j
2
n
n
2
.
j
n
都各自有
n
<
/p>
n
类简化剩余<
/p>
.
证
:
由欧拉
定理知模
n
和模
n
n
,
<
/p>
n
n
,
n
1
，所以
n
n
n<
/p>
，故由同余的性质知：
n
因为
n
在数轴上关于
k
n
（
k
为整数）对称分布
,<
/p>
故知在闭区间
:
2
n
<
/p>
k
1
n
n
k
n
n
的简化剩余
,
故知
:
n
1
1
,
内各分别存在
类模
< br>n
0
,
2
；
2
,
n
；…
2
,
2
2
n
n
1<
/p>
n
1
n
n
n
<
/p>
n
1
；
；
，
n
1
n
2
2
< br>2
2
1
n
n
< br>n
n
1
n
1
，
n
n
< br>。
。
n
2
；
。
2
n
,
则由令知
:
现令：
< br>x
n
2
x
n
为整数时：
< br>x
n
为奇数
.
< br>
即
x
n
,
2
1
;
(1)
当
x
n
,
n
1
即
x
n
< br>
n
n
时：
x
n
,
<
/p>
n
2
x
n
n
,
n
2
x
n
,<
/p>
n
1
，即
x
n
n
；而由
(2)
当
x
n
(1)
又知
x
n
为奇数，故知
x
n
n
。
=
n
而当
x
n
1
n
<
/p>
n
n
=
n
1
1
,
时：
x
n
2
x
n
1
=
2
2
1
n
< br>
n
n
=
n
-1=
n
n
x
当
n
=
n
n
时：
< br>x
n
2
x
n
n
2
2
故知
:
n
j
=
2
n
< br>
n
2
.
（引理一获证）
j
n
n
）
，
由孙子定理（亦称中国剩余定理）和欧拉（
Euler
）定理易
得：
...
、
m
n
两
两
互
素
，
x
r
i
(mod
m<
/p>
i
)
（
0
r
i
m
i
）
.
.
,
引
理
二
．
若
< br>m
1
、
m
2
、
（
i
1
,
2
,
m
(
m
i
)
)
2
.
.
.
,
< br>n
）
(mod
m
)
（
0
r
i
m
i
）
（
i<
/p>
1
,
,
．
m
i
1
i
最大筛除的段
D
b
n
，必受
p
i
（
i
2
,
< br>3
,...,
n
）的实筛．
引理三
.
受
n
m
m
1
m
2
.
m
n
．则
x
r
i
(
n
，且其段内的第
a
0
a
项
b
n
a
为
n
．<
/p>
个
n
最大筛除的段
D
b
n
是
D
B
n
中含
n
个数最少的段，
证明：
由定义５知，
< br>受
n
现设其段内仅含
u
1
4 / 10
受
p
i
2
i
n
虚筛．则在
D
e
n
1
D
< br>
b
n
(mod
现假设
D
b
n
D
e
n
1
的第
a
项时，有
n
)
内有
且仅有
u
个
p
i
p
i
<
/p>
n
n
)
，则当
p
i
实筛
x
n
1
X
n
1
＝
< br>{
x
n
1
|
(
x
n
1
,
)
1
}
，且其第<
/p>
a
项
e
n
1
a
b
n
a
X
n
1
(mod
p
i
p
i
)
(0
e
n
1
＜
n
n
D
b
n
< br>
D
e
n
1
mod
p
i
D<
/p>
b
n
D
a
mod
p
i
由引理二及（１）
、
（２）式可知，在
D
B
n
中必
存在
D
b
n
a
e
n
1
a
p
i
其第
a
项即
b
n
< br>(
n
p
i
)
(
n
)
p
i
D
e
< br>n
1
a
p
i
a
mod
n
，且
必为
p
i
实筛，
故
D
b
n
< br>
内最多仅有
u
1
个
< br>n
，
与题设受
mod
n
最大筛除的段内仅含
u<
/p>
个
n
相矛盾．故知引理三成立．
文档收集自网络，仅用于个人学习
n
'
p
n
< br>
1
1
)
n
1
n
p
n
(
n
]
D
n
[
]
< br>内有且仅有二个
n
引理四
.
若
n
2
，则
D
n
[
．
2
2
2
< br>
(
2
i
1
)
p
1
p
n
1
，
所
以
,
0
< br>i
n
}
D
n
[
n
]
，
因
为
2
,
n
证
明
：
令
E
{
e
i
|
e
i
n
2
2
2
2
e<
/p>
i
,
n
2
i
1
,
n
．则
d
i
e
i
,
n
p
n
1
)
p
n
．
时，因为
3
2
i
1
p
n
，所以
3
d
i
(
2
i
1
,
<
/p>
n
2
1
．
（
2
）
当
i
0
时，
d
0
1
,
n
（
1
）
当
0
i
故由（
1
）
，
（
2
）知
,
E
内即
D
n
[
< br>p
n
n
2
2
图
四
.
D
5
572
D
5
2
2
,
2
3
,
5
4
,
0
5
< br>.
的四维图
n
]
内有且仅有二个
n
'
n
1
.
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
5
p
2
p
3
p
4
p
5
< br>
3
5
7
11
1155
,
例
:
当
n
5
时
:
p
n
p
5
11
,
n
1155
11
]
D
5
D
5
572
D
5
2
2
,
2
3
,
5
4
,
0<
/p>
5
.
n
2
2
D
5
572
D
5
2
2
,
2
3
,
5
4<
/p>
,
0
5
.
n
572
,
573
,
574<
/p>
,
575
,
57
6
,
577
,
578
,
579
,
580
,
581
,
582
,
583
.
D
n
[
p
n
n
<
/p>
同理可证引理五
,
引理六
:
引理五
.
若
n
2
，则
D
n
1
(
p
n
1
n
2
)
内有且仅有二个
，即
'
n
1
n
2
1
)
(
n
1
p
n
)<
/p>
p
n
(
n
p
(
1
)
．
]
D
n
[
n
n
1<
/p>
]
mod<
/p>
n
引理六
.
D
n
[
2
2
1
n
1
< br>
1
，所以
p
< br>n
1
)
，所以
1
(mod
n
证：因为
p
n
,
n
5
/ 10