(整理)天才数学家欧拉.
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天才数学家欧拉
（
Leonhard Euler
公元
< br>1707-1783
年）
欧拉<
/p>
1707
年出生在瑞士的巴塞尔（
Bas
el
）城，
13
岁就进巴塞尔大学读<
/p>
书，
得到当时最有名的数学家约翰·
伯努
利
（
Johann Bernoulli
，
1667-1748
年）
的精心指
导．
欧拉渊博的知识，
无穷无尽的创作精
力和空前丰富的著作，
都是令人惊
叹不已的！
< br>他从
19
岁开始发表论文，
直到
76
岁，
半个多世纪写下了浩如烟海的
书籍和论文．
到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，
从初等几何的欧
拉线，
多面体的欧拉定
理，
立体解析几何的欧拉变换公式，
四次方程的欧拉解法
到数论中的欧拉函数，
微分方程的欧拉方程，
级数论的欧拉常数，
变分学的欧拉
方程，
复变函数的欧拉公式等等，
数也数不清．
他对数学分析的贡献
更独具匠心，
《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为
分析学
的化身
．
欧拉是科学史上最多产的一位杰出
的数学家，据统计他那不倦的一生，
共写下了
886
本书籍和论文，其中分析、代数、数论占
40%
，
几何占
18%
，物理
和力学占
28%
，天文学占
11%
，弹道学、航海学、建筑学等占
3%
，彼得堡科学院
为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．
欧拉著
作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，
他常常抱着孩子在膝上完
成论文，
也不顾孩子在旁边喧哗．
他那顽强的毅力和孜
孜不倦的治学精神，
使他在双目失明以后，
也没
有停止对数学的研究，
在失明后
的
17
年间，
他还口述了几本书和
400
篇左右的论文．
19
世纪伟大数学家高斯<
/p>
（
G
auss
，
1777-1855
年）曾说：
研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．
欧拉的父亲保罗·欧拉（
Paul Euler
）也是一个数学家，原希望小欧拉
学神学，同时教他一点教学．由于小欧拉的才
人和异常勤奋的精神，又受到约
翰·伯努利的赏识和特殊指导，当他在
< br>19
岁时写了一篇关于船桅的论文，获得
巴黎科学院的奖
的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了．
172
5
年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林
一世推荐了欧拉，这样，在
1727
年
5
月
17
日欧拉来到了彼得堡．
1733
年，年
仅
26
岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．
1735
年，欧拉解决了一个天文学
的难题
（计算慧星轨
道）
，
这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，<
/p>
而欧拉却用自己发明的方法，
三天便完成了．
然而过度的工作使他得了眼病，
并
且不幸右眼失明了，这时
他才
28
岁．
1741
年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，
到柏林担任科学院物理数学所所长，直到<
/p>
1766
年，后来在沙皇喀德林二世的诚
恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．不幸的事
情接踵而
来，
1771
年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的<
/p>
64
岁的欧拉
被围困在大火中，
虽然他被别人从火海中救了出来，
但他的书房和大量研究成果
全部化为灰烬了．
沉重的打击，
仍然没有使欧拉倒下，
他发誓要把损失夺回来．
在他完全<
/p>
失明之前，
还能朦胧地看见东西，
他抓紧
这最后的时刻，
在一块大黑板上疾书他
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发现的公式，然
后口述其内容，由他的学生特别是大儿子
A·欧拉（数学家和物
理学家）笔录．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和
心算进行
研究，直到逝世，竟达
17
年之久．
欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，
心算并不限于简单的运算，
高等数学一样可以用心算去完成．
有一个例子足以说
明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的
17
项加起来，算到第
50
位
数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最
后把错误找
了出来．欧拉在失明的
17
年中；还解决了使牛顿头痛的月离问
题和
很多复杂的分析问题．
欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从
19
岁起和欧拉通
信，
讨论等周问题的一般解法
，
这引起变分法的诞生．
等周问题是欧拉多年来苦
心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，
1759
年
10
月
2
日欧拉
在回信中盛称拉格朗日的成就，
并谦虚地压下
自己在这方面较不成熟的作品暂不
发表，
使年青的拉格朗日的工
作得以发表和流传，
并赢得巨大的声誉．
他晚年的
时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（
Lapla
ce
）曾
说过：
欧拉是我们的导师．
欧拉充沛的精力保持到最后一刻，
1783
年
9
月
1
8
日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升
定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王
星刚发现不久，
欧拉写出
了计算天王星轨道的要领，
还和他的孙子逗笑，
喝完茶
后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：
< br>我死了
，欧拉终于
停
止了生命和计算
．
欧拉的一生，
是为数学发展而奋斗的一生，
他那杰出的智慧，
顽强的毅<
/p>
力，
孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，
永远是值得我们学习的．
欧拉在数
学上的建树很多，
对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。
欧拉还
发现
，不论什么形状的凸多面体，其顶点数<
/p>
v
、棱数
e
、面
数
f
之间总有
v-e+
f=2
这个关系。
v-e+f
被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。在数论中，
欧拉首先引进了重要的欧拉函数
φ
(n)
，用多种方法证明了费马小定
理。以欧拉
的名字命名的数学公式、
定理等在数学书籍中随处可
见
,
与此同时，
他还在物理、
天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。
［欧拉还创设了许
多数学符
号，例如
π
（
1736
年），
i
（
1777
年），
e
（<
/p>
1748
年），
sin
< br>和
cos
（
1748
年），
tg
（
1753<
/p>
年），△x（
1755
年），
Σ
（
1755
年），
f(x)
（
1734
年）等．
在数学领域内，
18
世纪可正确地称为欧拉世纪。欧拉是
18
世
纪数学界的中心人
物。
他是继
I
．
牛顿
（
Newto
n
）
之最重要的数学家之一。
在他的数
学研究成果中，
首推第一的是分析学。
欧拉把由伯努利家族继承
下来的莱布尼茨学派的分析学内
容进行整理，为
19
世纪数学的发展打下了基础。他还把微积分法在形式上进一
步发展到复数范
围，
并对偏微分方程，
椭圆函数论，
变
分法的创立和发展留下先
驱的业绩。在《欧拉全集》中，有
17
卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为
“分析的化身”。
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1
．数论
欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。
欧拉的著作有很大
一部分同数的可除性理论有关。欧拉在数论中最重要的发现是二次反
律。
2
．代数
欧
拉《代数学入门》一书，是
16
世纪中期开始发展的代数学的一
个系统总结。
3
．无穷级数
欧拉的《微分学原理》
（
Introductio
calculi differentialis
，
1755<
/p>
）是有限
差演算的第一部论著，
他第一个
引进差分算子。
欧拉在大量地应用幂级数时，
还
引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。
1777
年
，为了把一个给定函数展成
在（
0
，“
180”）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式。欧拉还把
函数展开式引入
无穷乘积以及求初等分式的和，
这些成果在后来的解析函数一般
理论中占有重要的地位。
他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。
他还
提出了两种求和法。这些丰富的思想，对
19<
/p>
世纪末，
20
世纪初发散级数理论中
的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。
4
．函数概念
18
世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自已的工作。它们
系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、
《微分学原理》和《积分学原
理》组成
的分析学三部曲中。这三部书是分析学发展的里程碑四式的著作。
5
．初等函数
《无穷分析引论》第一卷共
18
章，主要研究初
等函数论。其中，第八章研究圆
函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣
莫佛（
de Moivre
）公
式的一
个推导。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出
著名的表达式（
这里
i
表示趋向无穷大的数；
1777
年后，欧拉用
i
表示
< br>
），但
仅考虑了正自变量的对数函数。
1751
年，欧拉发表了完备的复数理论。
6
．单复变函数
通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在
1747
－
1751
年间先后得到了（用现
代数语表达
的）
复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。
他们两人还在
分析
函数的一般理论方面取得了最初的进展。
7
．微积分学
欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、
最有系
统的解说，他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支。
8
．微分方程
《积分原理》
还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现。
他和其
他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。<
/p>
在常微分方程方面，
欧拉在
1743
年发表的论文中，
用代换
给出了任意阶常系数
线性齐次方程的古典解法，最早
引人了“通解”和“特解”的名词。
1753
年，
他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低。
欧拉在
18
世纪
30
年代就开始了对偏微分程的研究。他在这方面最重要的工作，
是关于二阶线性方程的。
9
．变分法
1734
年，他推广了最速降线问题。然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法。
1744
年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》
一书出版。这
是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。<
/p>
10
．几何学
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< br>
坐标几何方面，
欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换
里应用欧拉角，
彻底地研
究了二次曲面的一般方程。
微分几何方面，欧拉于
1736
年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线
弧长这一几何量作为曲线上点
的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。
1760
年，欧拉在
《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论。这本著作是欧拉对
微分几何最重要的贡
献，是微分几何发展史上的里程碑。
欧拉对拓扑学的研究也是
具有第一流的水平。
1735
年，欧拉用简化（或理想化）
的表示法解决了著名的歌尼斯堡七桥游戏问题得到了具有拓扑意义的河－桥图
的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理。
第二版本
如果把数学的历史比作一条连绵不绝的山脉，
那么欧拉，
绝对是一座可以让我
们仰止的山峰，
如果把数学的历史比作浩瀚苍穹，
那么欧拉，
绝对是一颗发出耀
眼光辉，让我们不得不仰望的明星。
欧拉（
Leonhard Eule
r)
，瑞士数学家。
1707
年
4
月
15
日出生於瑞
士的巴塞尔，
1783
年
9
月
18
日於俄国彼得堡去
逝。和很多数学家一样，欧拉很
小就显示了他的才华，不满
10
岁的时候，欧拉就开始自学《代数学》。这本书
是德国著
名数学家鲁道夫写的经典著作，
连欧拉的老师中，
也没有几个人
读过这
本书，小欧拉却读得津津有味。他
13
< br>岁时考入巴塞尔大学，成为全校年龄最小
的学生，不过秉其父志，学的是神学，<
/p>
15
岁大学毕业，
17
< br>岁凭借论文《试论笛
卡儿和牛顿的哲学思想》获哲学硕士学位。
< br>
说起欧拉，第一个形容字眼大概就是“著作等身了”，
他是数
学史上最多产的数学家，
他写了三十二部足本著作，其中有几部不止一卷，还
写下了许许多多
富有创造性的数学和科学论文。
他去世后，
人们整理出他的研究
成果多达
74
卷，
彼得堡科学院为了整理他的著作，
足足忙碌了四十七年，
他
的
*
*
直到
1
862
年才刊登完。更为难能可贵的是，由于不知疲倦的工作，他
28
岁时
右眼失明，
1766
年以后双眼几乎完全失明，
1771
年他所在
的彼得堡发生大火，
火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的
64
岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被家里
的保姆从火海中救了出来，
但他的书房和大量研究成果全部都化为灰烬。
其后两
年不到，
陪伴欧拉几十年的妻子柯黛琳娜去世。
沉
重的打击，
没有使这位巨匠悲
观，相反，他在盲人的
17
年里，凭心算，口授，学生抄录的方式发表了论文
40
0
多篇，论著多部，占了他生平著作的大半。
第二
个形容词为“数学全才”，数学家高斯曾说：
研究欧拉的
著作永远是了解数学的最好方法．
浏览一下数
学和物理教科书的索引就会找到
如下词汇：欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无穷级数）
、欧拉方程（流体动力
学）
、
欧拉公式
（复合变量）
、
欧拉数
（无穷级数）
、
欧拉多角曲线
（微分方程）
、
欧拉变换
（无穷级数）
、
伯努利—欧拉定律
（弹性力学）
、
欧拉—傅里叶公式
（三
< br>角函数）
等等等等。
此外还有我们习惯的符号：
π
，
e, i, sin
和
cos
，
△x，
< br>Σ
，
f(x)
等都是他的功劳。
他不但为数学界作出贡献，
更把数学推至几乎整个物理的
领域。
第三
个形容词应当来自另一位数学家拉普拉斯，他告诫我们：“读
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< br>