等比数列的通项公式
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等比数列的通项公式
例
1
<
/p>
已知
{a
n
}<
/p>
为等比数列，
求证：当
m
＋
n=p
＋
l
时
a
m
·a
n
=a
p
·a
l
证明：
设等比数列的首项
a
1
，公比为
q
，
∵m＋
n
=p
＋
l
∴
a
m<
/p>
·a
n
=a
p<
/p>
·a
l
得证．
评注：
本题证
明过程并不难，但结论：等比数列中，下标之和相等则对应项之积相等，这
在解决有关等
比数列的问题时常使解决的过程变得很简捷．
例
2
<
/p>
在等比数列
{a
n
}
中
(1)
已知：
a
1
＋
a
2
＋
a
3
=6
，
a
2
＋
a
3
＋
a
4
=
－
3
，求
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＋
a
8<
/p>
的值；
(2)
已知
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
=31
，
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
< br>5
＋
a
6
=62
，求通项
a
n
．
分析：利用等比数列的定义和性质整体观察．
解
(1)
不难看出
a
1
＋
a
2
＋
a
3
，
a
2
＋
a
3
＋
a
4
，
a
3
＋
a
4
＋
< br>a
5
，
a
4
＋
a
5
＋
a
6
，
a
5
＋
a
6
＋
a
7
，
a
6
＋
a
< br>7
＋
a
8
成等比数列，且公比为
q(
即数列
{
a
n
}
的公比
)
．
<
/p>
设为
{A
n
}<
/p>
，即
A
1
=6<
/p>
，
A
2
=
－
3
，
(2)
由已知可以看到
∴a
1<
/p>
(1
＋
2
＋
4
＋
8
＋
16)
＝
31
，
a
1
=1
∴a
n
=2
n-1
．
评注：
以上二题均可用列方程和方程组解决，
但掌握等比数列有关性质整体考虑问题会使
运算更简捷．
例
3
在各项均为正数的等比数列
{a
n
}
中，若
a
5
a
6
=9
，则
log
3
a
1
＋
log
3
a
2
＋…＋
log
3
a
10
=
[ ]
A
．
12
B
．
10
C
．
8
D
．
2
＋<
/p>
log
3
5
解：
根据等比中项的性质，
a
5<
/p>
a
6
=a
1
a
10
=a
2
a
9
=a
3
a
8
=a
4
a
7
=9
．
∴a
5
1
a
2
< br>…a
9
a
10
< br>＝
(a
5
a
6
)
=9
5
．
∴
log
3
a
1
＋
log
3
a
2
＋…＋
log
3
a
10
=log
3
(a
1
a
2
…a
10
)
=log
5
3
9
=5log
3
9
=10
．
故正确答案为
(B)
．
评注：
(1)
应用等比中项求解某些等比数列问题，简便快捷．
(2)
对等比数列
{a
n
}
< br>，有以下结论：
例
4
<
/p>
若
{a
n
}
为等比数列，且
a
n
＞
0
，已知
a
5
a
6
=128
则
log
2
a
1
＋
log
2
a
2
＋…＋
log
2
a
10
的值为
A
．
5
B
．
28
C
．
35
D
．
40
[ ]