(完整版)数列通项公式常用求法及构造法
-
数列通项公式的常用求法
构造法
求数列通项公式
一、构造等差数列求数列通项公式
运
用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推
公式变形成为
f
(
n
1)
f
(
n
)
=A
（其中
A
为常数）形式，根据等差数列的定义
知
f
(
n
)
是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出
f
(
n
)
的通项公式，再
< br>根据
f
(
n
)
与
a
n
，从而求出
a
n
的通项公式。
3
a
n
1
例
1
< br>在数列
{
a
n
< br>}
中，
a
1
=
，
a
n
1
（
n<
/p>
N
）
，
求数列
{
a
n
}
通项公式
. <
/p>
a
n
3
2
解析
：由
a
n
1
1
a
n
1
a
3
n
a
n
3
得，
a
n+1
a
n
=3
a
n+1
-3
a
n
=0
，两边同除以
a
n+1
a
n
得，
a
1
n
1
3
，
1
设
b
n
=
a<
/p>
n
，则
b
n+1
- b
n
=
1
3
，根据等差数列的定义知，
数列｛
b
n
｝是首项
b
1
=2
，公
差
d=
1
3
的
等差数列，
5
1
根据等差数列的通项公式得
b
n
=
2
＋
1
3
（
n-1
）
=
3
n
＋
3
∴数列通项公式为
a
n
=
n
5<
/p>
例
2
在数列
｛
a
n
｝中，
S
n
是其前
n
项和，且
S
n
≠
0
，
a
1
=
1
，
a
n
=<
/p>
求
S
n
与
a
n
。
解析
：当
n
≥
2
时，
a
n
=S
n
-S
n-1
代入
a
n
=
2
2
S
S
n
n
1
得，
S
n
-S
n-1
=
2
2
S
S
n
n
<
/p>
1
，变形整理
得
S
n
-S
n-1
= S
n
S
n-1
< br>？
两边除以
S
n
S
n-1
得，
S
1
n
-
S
< br>n
1
1
=2
，∴｛
S
1
n
｝是首相为
1
，公
差为
2
的等差数列
∴
S
1
n
=1+2
（
n-1
）
=2n-1,
∴
S
n
=
2
n
1
1
(n
≥
2),n=1
也适合，∴
S
n
=
2
n
1
1
(n
≥<
/p>
1)
当
n
≥<
/p>
2
时，
a
n
=S
n
-S
n-1
=
2
n
1
1
-
2
n
1
3
=-
4
n
2
2
8
n
3
，
n=1
不满足此式，
∴
a
n
={
二、构造等比数列求数列通项公式
1
2
2
3<
/p>
2
S
n
2
2
S
n
1
(n
≥
2)
，
1
2
4
n
8
n
3
2
n
1
n
<
/p>
2
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公
式变形成为
f
（
n+1
）
=Af
（
n
）
（其中
A
为非零常数）形
式，根据等比数列的定义
知
f
(
n
)
是等比数列，根据等比数列的通项公式，
先求出
f
(
n
)
的通项公式，再根
据
f
(
n
)
与
< br>a
n
，从而求出
a
n
的通项公式。
例
3
在数列｛
a
n
｝中，
a
1
=2<
/p>
，
a
n
=a
n-1
2
(n
≥<
/p>
2)
，求数列｛
a
n
｝通项公式。
解析
：∵
a
1
=2
，
a<
/p>
n
=a
n-1
2
(n
≥
2)
＞
0
，两边同时取对数得，
lg
a
n
=2lg a
n-1
lg
a
n
∴
lg
=2
，
根据等比数列的定义知，数列｛
lg
a
n
｝是首相为
lg2
，公比为
a
n
1
2
的等比数列，根据等比数列的通项公式得
lg a
n
=2
lg
2=
lg
2
∴数列通项公式为
a
n
=
2
2
n
1
< br>n-1
2
n
< br>1
评析
：本例通过两边取对数，变形成
log
a
< br>n
2
log
< br>a
n
1
形式，构造等比数列
log
a
n
}
，先求出
lo
g
a
n
的通项公式，从而求出
a
n
的通项公式。
<
/p>
例
4
在数列｛
a
n
｝中，
a
1
=1
，
a
n+
1
=4a
n
+3n+1
，求数列｛
a
n
｝通项公式。
解析
：设
a
n+1
+A
（
n+1
）
+B=4
（
< br>a
n
+An+B
）
，
（
A
、
< br>B
为待定系数）
，展开得
a
n+1
=4a
n
+
3An+3B-A
，与已知比较系数得
{
3
A
3
3
B
A
1
∴
{
A
1
2
B
< br>3
2
∴
a
n+1
+
（
n+1
< br>）
+
2
，根据等比数列的定义知
，
3
=4
（
a
n
+n+
3
）
8
2
数列｛
a
n
+n+
2
3
｝是首项为
3
，公比为
q=3
的等比数列，∴
a<
/p>
n
+n+
3
=<
/p>
8
3
×
3
n-1
∴数列通项公式为
< br>a
n
=
8
3
×
3
n-1
-n-
2
3
例
5
在数列｛
a
n
｝中
，
a
1
=1
，
a
n+1
a
n
=4
n
，
求数列｛
a
n
｝通项公式。
n
1
解析
：∵
a
n+1
a
n
=4
n
∴
a
n
a
n-1
=4
n-1
两式相除得
a
=4
，
a
n
1
∴
a
1
，
a
3
，
a
5
……与
a
2
，
a
4
，
a
6
……是首相分别为
a
1
，
a
2
，公比都是
4
的等比数列，
又∵
a
1<
/p>
=1
，
a
n+1
a
n
=4
n<
/p>
，∴
a
2
=4
∴
a
n
={<
/p>
4
n
1
2
n
2
n
n
4
三、等差等比混合构造法
数列有形如
f
(
a
n
,
a
n
1
,
a
n
a
n
1
< br>)
0
的关系，
可在等式两边同乘以
1
,
先求
出
a
n
a
n<
/p>
1
2
1
,
再求得
a
n
.
a
n
例
6
．
设数列
{
a
n
}
满足
a
1
2
,
a
n
1
a
n
(
n
N
),
求
a
n
.
a
n
3
解
：
原
条
件
变
形
为
< br>a
n
1
a
n
3
a
n
1
a
n
.
两
边
同
乘
以
1
1
< br>
.
a
n
a
n
1
1
,
得
a
n<
/p>
a
n
1
1
3
3
∵
（
1
1
1
1
1
1
)
,
<
/p>
3
n
1
a
n
2
a
n
1
2
a
n
2
2
.
n
1
2
<
/p>
3
1
四、辅助
数列法
有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当
的变形，构造出一个
新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。
2
1
例
7.
在数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
2
2
< br>，
a
n
2
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
3
2
1
1
解析
：在
a
n
2
a
n
1
a
n
两边减去
a
n
1
，得
a
n
2
a
n<
/p>
1
(
a
n
1
a
n
)
3
3
3
1
∴
a
n
1<
/p>
a
n
是以
a
2
a
1
1
为首项，以
为公比的等比数列，
< br>
3
1
∴
a
n
1
a
n
(
)
n
1
，由累加法得
3<
/p>
∴
a
n
a
n
=
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n<
/p>
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
1
1
=
(
)
n
2
(
)
n
< br>3
3
3
1
1
(
)
n
1
1
3
1
3
=
[
1
(
)
n
< br>1
]
1
…
(
)
1
1
=
1
3
4
3
1
3
=
7
3
1
n
1
(
)
4
4
3
练习
1
、在
数列｛
a
n
｝中，
a
1
=1
，
a
n+1
=3a
n
< br>+2
n
（
n
∈
N
*
）
，求数列｛
a
n
｝通项公式。
解
：由
a
n+1
=3a
n
+2
n
（
n
∈
N
*
）得，
a
n+1
+2
n+1
=3
（
a
n
+2<
/p>
n
）
（
n
∈
N
*
）
，
n
1
设
b
n
= a
n
+2
n
则
b
n+1
=3b
n
，∴
b
b
=3
，根据等比数列的定义知，
< br>n
数列｛
b
n
< br>｝是首相
b
1
=3
，公比为
q=3
的等比数列，
根据等比数列的通项公式得
b
n<
/p>
=3
n
，即
a<
/p>
n
+2
n
=3<
/p>
n
，
3
∴数列通项公式为
a
n
=3
n
-2
n
注意：
2
n+1
-2
n
=2
n
2
、在数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，
a
n
1
a
n
2
n
3
，求数列
{
a
n
}
的
通项公式。
解：
、由
a
n
1
a
n
2
n
3
得，
(
a
n
1
2
n
1
)
(
a<
/p>
n
2
n
)
3
，根据等差数
列的
定义知，数列
{
a
n
2
n
}
是首项为
3
，公差为
3
的等差数列，所以
a
n
2
n
3
n
，所以
a
n
3
n
2
n
3
< br>、已知数列
a
n
满足
a
1
解：
由条件知
2
n
，
a
n
1
a
n
，求
a
n
3
n
1
a
n
1
n
，
分别令
n
1
,
2
,
3
,
< br>
,
(
n
1
)
，
代入上式得
(
n
1
)
个
a
n
n
1
等式
累乘之，即
a
a
a
2
a
3
a
4
1
1
2<
/p>
3
n
1
•
•
•
•
n
<
/p>
n
a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
3
4
a
1
n
n
又
a<
/p>
1
2
2
，
a
n
3
3
n
1
4.
数列
{a
n
}
满足
a
1
=1
，
a
n
=
a
n
1
+1
（
n
≥
2
）
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
< br>2
1
1
解：由
< br>a
n
=
a
n
1
+1
（
n
≥
2
）得
a
n
－
2=<
/p>
（
a
n
1
－
2
）
，而
a
1
－
2=1
－
2=
－
1
，
2
2
1
∴数列
{
a
n
－
2}
是以
为公比，－
1
为首项的等
比数列
2
1
1
∴
a
n
－<
/p>
2=
－（
）
n<
/p>
1
∴
a
n
=2
－（
）
n
1
2
2
5.
数
列
a
n
<
/p>
中，
a
1
1
,
a
2
2
,
3
a
n
2
< br>
2
a
n
1
a
n
，求数列
a
n
的通项公式。
< br>2
1
a
n
1
a
n
,
设
a
n
2
ka
n
1
h
(
a
n
1
ka
< br>n
)
3
3
1
1
2
1
kh
，解
得
k
1
,<
/p>
h
或
k
,
h
1
比较系数得
k
h
，
3
3
3
3
1
1
若取
k
1
,
h
，
则有
a
n
2
a
n
1
(
a
n
1
a
n
)
< br>
3
3
1
∴
{
a
n
1
a
n
}
是以
为公比，
以
a
2
a<
/p>
1
2
1
1
为首项的等比
数列
3
1
∴
a
n
1
a
n
(
)
n
1
3
< br>解：由
3
a
n
< br>
2
2
a
n
1
a
n
得
a
n
2
4