等比数列及其性质
-
§
6.3
等比数列
一．课程目标
1.
< br>理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前
n
项
和公式；
2.
能在具体的问题情境中
识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.
了解等比数列与指数函数的关系
.
二．知识梳理
1.
等比数列的概念
(1)
如果一个数列从第
2
项
起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数
列叫做等比数列，这个常
数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
q
(
< br>q
≠0)
表示
.
a
n
＋
1
< br>a
n
数学语言表达式：
＝
q
(
n
≥2
，
q
为非零常数
)
，或
＝
q
(
n
∈
N
*
，
q
为非零常数
). <
/p>
a
n
a
n
－
1
(2)
如果三个
数
a
，
G
，<
/p>
b
成等比数列，那么
G
< br>叫做
a
与
b
的等比中项，其中
G
＝
±
ab
.
2.
等比数列的通项公式及前
n
项和公式
(1)
若等比数列
{
a
n
}
的首
项为
a
1
，公比是
q
，则其通项公式为
a
n
＝
a
1
q
n
1
；
< br>－
通项公式的推广：
a
n
＝
a
m
q
n
m
.
－
a
1
（
1
< br>－
q
n
）
a
1
－
a
n
q
(2)
等比数列的前
n
项和公式：当
q
＝
1
时，
S
n
＝
na
1
；当
q
≠1
时，
S
n
＝
＝
.
1
－
q
1
－
q
3.
等比数列的性质
已知
{
a
n
}
是
等比数列，
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和
.
< br>(1)
若
k
＋
< br>l
＝
m
＋
n
(
k
，
l
，
m
，
n
∈
N
*
)
，则有
a
k
·
a
l
＝
a
m
·
a
n
< br>.
2
(2)
数列
{
c
a
< br>n
}(
c
0
),
{
a
n
},
{
a
n
b
n
}<
/p>
（
{
b
n
}
是等比数列）
，
{
a
n
}
，
{
1
}
等也是等比
数列。
a
n
(3)
相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
a
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
< br>＋
2
m
，
…
仍是等比数列，公比
为
q
m
.
(4)
当
q
≠
－
1
，或
q
＝－
1
且
n
为奇数时，
S
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
n
－
S
2
n
仍成等比数列，其公比为
q
n
.
(5)
等比数列
{
a
n
}
的单调性：
当
q
＞
1
，
a
1
＞<
/p>
0
或
0
＜
q
＜
1
，
a
1
＜
0
时，数列
{
a
n
}
是递增数列；
当
q
＞
1
，
a
1
＜
0
或
0
＜
q
＜
1
，
a
1
＞
0
时，
数列
{
a
n
}
是递减数列；
当
q
＝
1
时，数列
< br>{
a
n
}
是常数列
.
(6)
当
n
是偶数时，
S
偶
S
奇
q
;
当
n
为奇数时，
S
奇
a
1
S
偶
q
三．考点梳理