数列的通项公式列
-
数列的通项的求法
1.
定义法
：①等差数列通项公式；②
等比数列通项公式。
例
1
．等差数列
a
n
是递增数列，前
n
项和为
S
n
，且
a
1
,
a
3
,
a
9
成等比
数列，
2
S
5
a
5
．求数列
a
n
的
通项公式
.
解：设数列
a
n
公差为
d
(
d
0
)
2
∵
a
1
,
a
3
,
a
9<
/p>
成等比数列，∴
a
3
a
1
a
9
，
即
(<
/p>
a
1
2
d
)
a
1
(
a
1
8
d
)
d
a
1
d
∵
d<
/p>
0
，
∴
a
1
d
………………………………
①
2
∵
S
5
a
5
∴
5
a
1
2
2
5
4
d
(
< br>a
1
4
d
)
2
…………
②
2
3
3
，
d
<
/p>
5
5
3
3
3
∴
a
n
(
n
1
)
n
5
5
5
由①②得：
a
1
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设
法求出首项与公差（公比）
后再写出通项。
练一练：已知数列
3
1
1
1
1
,
5
,
7
,
9
,
试写
出其一个通项公式：
__________
；
< br>
4
8
16
32
S
,(
n
1)
a
n
1
2.
公式法
：
已知
S
n
（即
a
1
a
2
L
<
/p>
a
n
f
(
n
)
）
求
a
n
，
用作差法：
。
S
n
S
n
1
,(
n
< br>
2)
n
例
2
．
已知数列
< br>a
n
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
2
a
n
(<
/p>
1
)
,
n
1
．
求数列
a
n
的通
项公式。
解：由
a
1
S
1
2
a
1
1
a
1
1
n
a
S
S<
/p>
2
(
a
a
)
2
(
1
)
,
n
n
n
1
n
n
1<
/p>
n
2
当
时，有
a
n
2
a
n
1
2
(
1)
< br>n
1
,
a
n
1
2
a
n
2
2
(
1
)
n
2
< br>,
……
，
a
2
2
a
1
2
.
<
/p>
a
n
2
n
1
a
1
2
n
1
(
1)
2
n
2
(
1)
2<
/p>
L
2
(
1)
n
1
2
n
< br>1
(
1
)
n
[(
2
)
n
<
/p>
1
(
2
)
n
2
(
2
)]
< br>
2
n
1
2
[
1
(
2
)
n
1
]
(
1
)
3
n
2
< br>
[
2
n
2
(
1
)
n
1
].
3
经验证<
/p>
a
1
1
也满足上式，所以
a
n
2
n
2
[
2
(
1
)
n
1
]
3
S
< br>n
n
1
点评：利用公式
a
n
求解时，要注意对
n
分类讨论，但若
S
S
n
2
n
1
n
能合写时一定要合并．
练一练：①已知
{
< br>a
n
}
的前
n
项和满足
log
2
(
S
n
< br>1)
n
1
，求
a
n
；
1
②数列
{
a
n
}
满足
a
1
4,
S
n
<
/p>
S
n
1
5
a
n
1
，求
a
n
；
3
f
(1)
,(
n
1)
f
(
n<
/p>
)
L
g
a
n
f
(
n
)
求
a
n
，用作商法：
a
n
3.
作商法：
已知
a
1
g
a
2
g
。
,(
n
2)
f
(
n
1)
< br>2
如数列
{
a
< br>n
}
中，
a
1
1
,
对所有的
n
2
都有
a
1
a
2
a
3
a<
/p>
n
n
，则
a
3
a
5
______
；
4.
累加法
：
若
a
n
1
a
n
f
(
n
)
求
a
n
< br>：
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
< br>
L
(
a
2
a
1
)
a
1
(
n
2)
。
1
1
例
3.
已知数列
a
n
满足
a
1
，
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
。
2
n
n
解：由条件知：
a
n
1
a
n
1
1
1
1
n
2
n
n
(
n
1
)
n
n
1
分别令
n
1
,
2
< br>,
3
,
,
(
n
1<
/p>
)
，代入上式得
(
n
1
)
个
等式累加之，即
(
a
2
a
1
)
(
a
3
a
2
)
<
/p>
(
a
4
a
3
)
(
a
n
a
n
1
)
<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
(
1
)
(
)
(
)
<
/p>
(
)
2
2
3
3
4
n
1
n
1
所以
a
n
a
1
1
n
1
1
1
3
1
a
1
，
a
n
< br>
1
2
2
n
2
n
如已知数列
{
a
n
}
满足
a
1<
/p>
1
，
a
n
a
n
1
1
n
1
n
(
n
2)
，则
a
n
=________
；
a
n
1
a
a
a
f
(
n
)
求
a
< br>n
，用累乘法：
a
n
n
n
1
L
2
a
1
(
n
2)
。
a
n
a
n
1
a
n
2
a
1
2
n
< br>例
4.
已知数列
a
n
满足
a
1
，
< br>a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3<
/p>
n
1
5.
累乘法：
已知
解：由条件知
a
n
1
n
，分别令
n
< br>
1
,
2
,
3
,
,<
/p>
(
n
1
)
，代入上式得
a
n
n
1
(
n
1
)
个等式累乘之，即
a
a
a
2
a
3<
/p>
a
4
1
1
2
3
n
1
•
•
•
•
n
<
/p>
n
a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
3
4
a
1<
/p>
n
n
又
a
1
2
2
，
a
n
3
3
n
2
2
如已知数列
{
a
n
}
中
，
a
1
2<
/p>
，前
n
项和
S<
/p>
n
，若
S
n
n
a
n
，求
a
n
6.
已知
递推关系求
a
n
，用构造法（构造等差
、等比数列）
。
n
< br>（
1
）形如
a
< br>n
ka
n
1
b
、
a
n
ka
n
1
b
（
k
,
b
为常数）的递推数列都可以用待定系数法
转化
为公比为
k
的等比数列后，再求
a
n
。
①
a
n
ka
n
1
b
解
法
：
把
原
递
推
公
式
转
化
为<
/p>
：
a
n
1
t
p
(
a
n
t
)
，
其
中
t
例
5.
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
解
：
设
递
推
< br>公
式
a
n
1
2
a
n
3
可
以
转
化
为
a
n
1
t
2
< br>(
a
n
t
)
即
q
，
再利用换元法转化为等比数列求解。
1
p
a
n
1
2
a
n
t
t
3
.
故
递
推
< br>公
式
为
a
n
1
3
2
(
a
n
3
)
,
令
b
n
a
n
< br>3
，则
b
1
a
1
3
4
,
且<
/p>
b
n
1
a
n
1
3
2
b
n
a
n
3
n
1
n
<
/p>
1
所以
b
n
是以
b
1
4
为首项，
2
为公比的等比数列，则
b
n
4
2
2
,
所以
a
n
2
n
1
3
.
②
a
n
ka
n
1
b
n
解法
：该类型较类型
3<
/p>
要复杂一些。一般地，要先在原递推公
式两边同除以
q
n
1
< br>，得：
a
n
< br>1
p
a
n
1
a
n
b
•
b
引入辅助数列
（其中
）
，
n
n
q
n
1<
/p>
q
q
n
q
q
n
得：
b
n
1
p
1
b
n
< br>
再应用
a
n
< br>
ka
n
1
b
的方法解决
.
。
q
q
5
1
1
n
1
,
a<
/p>
n
1
a
n
(
)
，求
a
n
。
6
3
< br>2
1
1
n
1
2
n
n
1
n
1
解：在
a
n
1
a
n
(
)
两边乘以
2
得：
2
•
a
n
1
(
2
< br>•
a
n
)
1
3
2
3
2
2
n
n
令
b
n
2
•
a
n
，则
b
n
1
b
n
1
,
应用例
7
解法得：
b
< br>n
3
2
(
)
3
3
b
1
n
1
n
3
(
)
2
(
)
所以
a
n
n
2
3
2
n
练一练①已知
a
1
< br>1,
a
n
3
a
n
1
2
，求
a
n
；
例
6.
已知数列
a
n
中，
a
1
3