等差、等比数列的性质总结
-
等差数列的性质总结
1.
等差数列的定义：
a
n
a
n
1
d
（
< br>d
为常数）
（
n
2
）
；
2
．等差数列通项公式：
a
n
a
1
(<
/p>
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
*
)
，
首项
:
a
1
，公差
:d
，末项
:
a
n
推广：
a
n
a
m
(
n
m
)
d
．
从而
d
3
．等差中项
（
1
）如果
a
，
A
，
b
成
等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A<
/p>
a
b
或
2
a
n
a
m
；
n
m
2
A
a
b
（
2<
/p>
）
等
差
中
项
：
数
列
a
n
是
等
差
数
列
2
a
n
a
n
-<
/p>
1
a
n
1
(
n
2
)
2
a
n
1
a
n
a
n
2<
/p>
4
．
等差数列的前
n
项和公式：
< br>
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
d
1
na
1
d
n
2
(
< br>a
1
d
)
n
An
2
Bn
2
2
2
2
（其中
A
、
B
是常数
，所以当
d
≠
0
时，
S
n
是关于
n
的二次式且常数项为
0
）
特别地，当项数为奇数
2
< br>n
1
时，
a
n
1
是项数为
2n+1
的等差数列的中间项
S
2
n
1
2
n
1
a
1
a
2
n
1
2
2
n
1
<
/p>
a
n
1
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数
乘以中间项）
5
．
< br>等差数列的判定方法
（
1
）
定义法：
若
a
n<
/p>
a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
(
常数
n
N
)
a
n
是等差数列．
（
2
）
等
差
中
项
：
数
列
a
n
是
等
差
数
列
< br>2
a
n
a
n
-
1
a
n
1
(
n
2
)
2
a
n
1
< br>a
n
a
n
2
．
⑶数列
a
n
是等差数列
a
n
kn
b
（其中
k
,
b
是常数）。
（
4
）数列
a
n
是等差数列
S
n
An
2
Bn
,
（其中
A
、
B
是常数）。
6
．
等差数列的证明方法
定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
(
常数
n
N
)
a
n
是等差数列．
7.
提醒
：
（
1
）
等差数
列的通项公式及前
n
和公式中，涉及到
5
个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，
其中
a
1
、
d
称作为基本元
素。只要已知这
5
个元素中的任意
3<
/p>
个，便可求出其余
2
个，即
知
3
求
2
< br>。
（
2
）设项技巧：
①一般可设通项
a<
/p>
n
a
1
(
n
1)
d
②
奇数个数成等差，可设为„，
a
< br>2
d
,
a
d
,
a
,
a
d
,
a
2
d
„（公差为
d
）
；
③
偶数个数成等差，可设为„，
a
3
d
,
a
d
< br>,
a
d
,
a
3
d
,
„（
注意；公差为
< br>2
d
）
8..
等差数列的性质：
（
1
）当公差
d
0
时，
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(<
/p>
n
1)
d
dn
a
1
d
是关于
n
的一次函数，且斜
率为公差
d
；
前
n
和
S
n
na
1
为
0.
（
2
）若公差
d
0
，则为递增等差数列，若公差
d
<
/p>
0
，则为递减等差数列，若公差
d
0
，则为常数列。
（
3
）当<
/p>
m
n
p
q
时
,
则有
a
m
a
n
< br>a
p
a
q
，特别地，当
m
n
2
p
时，则有
n
(
n
< br>
1)
d
d
d
n
2
(
a
1
<
/p>
)
n
是关于
n<
/p>
的二次函数且常数项
2
2
2
a
m
a
n
2
a
p
.
注：
a
1
a
n<
/p>
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
，
（
4
）若
a
n
、
b
n
为等差
数列，则
a
n
b
，
1
a
n
2
b
n
都为等差数列<
/p>
(5)
若
{
a
n
}
是等差数列，则
S
n
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n
，„也成等差数列
（
6
）数列
{
a
n
}
为等差数列
,
每隔
k(k
N
)
项取出一项
(<
/p>
a
m
,
a
m
k
,
a
m
2
k
,
a
m
3
k
,
)
仍为等差数
列
（
7
）设数列
a
n
< br>
是等差数列，
d
为公差，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项项的和，
S
n
是
前
n
项的和
1.
当项数为偶数<
/p>
2
n
时，
*
S
奇
a
1
a
3
a
5
< br>
a
2
n
1
n
a
1
a
2
n
<
/p>
1
na
n
2
n
a
2
a
2
n
< br>S
偶
a
2
a
4
a
6
a
2
n
<
/p>
na
n
1
2
S
偶
S
奇
na
n
1
na
n
< br>
n
a
n
1
a
n
=
nd<
/p>
S
奇
na
n
a
n
S
偶
na
n
1
a
n
1
2
、当项数为奇数
2
n
1
时，则
S
奇
n
1
S
2
n
1
S
奇
<
/p>
S
偶
(2
n
1)
a
n+1
S
奇
(
n
1)
a
n+1
S
奇
< br>
S
偶
a
n+1
S
偶
n
S
偶
na
n+
1
（其中
a
n+1
是项数为
2n+1
的等差数列的
中间项）
．
（
8
）
a
n
、
{
b
n
}
的前
n
和分别为
A
n
、
B
n
，且
则
A
n
f
(
n
)
，
B
n
a
n
(2
n
1)
a
n
A
2
n
<
/p>
1
f
(2
n
1)
.
b
n
(2
n
1)
b
n
B
2
n
1