数列通项公式的求法(较全)-精选.
-
常见数列通项公式的求法
公式：
1
、
定义法
若数列是等差数列或等比数列
,
求通公式项时
,
只需求出
a
1
与
< br>d
或
a
1
与
q
,
再代入
公式
a
n
a
1
n<
/p>
1
d
或
a
n
a
1
q
n
1
中即可
.
例
1
、成等差数列的三个正数的和等于
15
，并且这三个数分别加上
2
，
5
，
13
后成为等比数列
b
n
的
b
3
< br>,
b
4
,
b
5
,
求数列
b
n
的
的通项公式
.
练习：数列
a
n
是等差数列
,
数列
b
n
是等比数列
,
数列
< br>
c
n
中对于任何
n
N
< br>*
都有
1
2
7
c
n
a
n
b
n<
/p>
,
c
1
0,
c
2
,
c
3
,
c
4
< br>,
分别求出此三个数列的通项公式
.
6
9
54
word.
2
、
累加法
形如
a
n
1
<
/p>
a
n
f
n
已知
a
1
型的的递推公式均可用累加法求通项公式
.
（
1
）
当
f
n
d
为常数时，
a
n
为等差数列，则
a
n
a
1
n
1
d
；
（
2
）
当
f
n
为
n
的函数时，用累
加法
.
方法如下：由
a
n
1
< br>a
n
f
n
得
当
n
2
时，
a
n
a
n
1
f
n
1
，
a
n
1
a
n
<
/p>
2
f
n
2
L
，
，
a
3
a
2
f
2
a
2
a
< br>1
f
1
，
以
上
n
1<
/p>
个等式累加得
a
n
a
1
f
n
1
+
f
n
2
L
< br>
f
2
f
1
a
n
a
1
f
n
1
+
< br>f
n
2
L
f
2
f
1
（
3
）已知
a
1
，
a
n
1
< br>
a
n
f
n
，
其中
f
n
可以是关于
n
的一次函数、二次函数、
指
数函数、分式函数，求通项
.
①若
f
n
可以是关于
n
的一次函数，累加后可转化为
等差数列求和；
②若
f
n
可以是关于
n
的二次函数，累加后可分组求和；
③若
f
n
可以是关于
n
的指数函
数，累加后可转化为等比数列求和；
④若
f
n
可以是关于
n
的分式函数，累加后可裂项求和求和
.
例
2
、数列
a
n
中已知
a
1
1,
a
n
< br>1
a
n
2
n
3
,
求
a<
/p>
n
的通项公式
.
word.
练习<
/p>
1
：已知数列
练习<
/p>
2
：已知数列
练习<
/p>
3
：已知数列
a
n
满足
a
n
1
a
n
3
n
2
且
a
1
2,
求
a
n
.
a
n
n
中，
a
1
1,
a
n
1
a
n
3
< br>
2
n
,
求
a
n
的通项公式
.
< br>a
n
满足
a
1
1
2
,
a
1
n<
/p>
1
a
n
n
2
n
,
求求
a
n
< br>的通项公式
.
word.
3
、
累乘法
a
n
1
f
n
形如
a
n
已知
a
1
型的的递推公式
均可用累乘法求通项公式
.
给递推公式
式子：
< br>a
n
1
f
n
,
n
N
中的
n
依次取
a
n
1,2,3
，
……，
n
1
,
可得
到下面
n
1
个
a
2
a
a<
/p>
a
f
1
,
3
f
2
,
4
f
3
,
L
,
n
<
/p>
f
n
1
.
a
1
a
2
a
3
a
n
1
利用公式
a
< br>n
a
1
a
2
a
3
a
4
a
L
n
,
a
n
0,
n
N
可得：
a
1
a
2
a
3
a
n
1
a<
/p>
n
a
1
f
1
f
2
f
3
L
f
n<
/p>
1
.
例
3
、已知数列<
/p>
a
n
满足
a
1
2
n
,
a
n
1
a
n
,
求
a
n
.
3
n
1
练习
1
：数列
< br>a
n
中已知
< br>a
1
1,
a
n
1
n
2
,
求
a
n
的通项公式
.
a
n
n
word.
练习
2:
设
a
n
<
/p>
是首项为
1
的正项数列，且
(
n
1)
a
n
2
1
na
n
2
a
n
1
a
n
0
，求
a
n
的通项公
式
.
4
、
(1)
奇偶分析法
对于形如
a
n
1
a
n
f
n
型的
递推公式求通项公式
①当
a
n
1
a
n
d
< br>
d
为常数
< br>时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期
为
2
，其通项分奇数项和偶数项来讨论
.
②
当
f
n
为
n
的
函
数
时
，
由
a
n
1
a
n
< br>
f
n
，
a
n
a
n
1
f
n
1
两
式
相
减
，
< br>得
到
a
n
+1
a
n
1
f
<
/p>
n
f
n
1
，分奇偶项来求通项
.
例
4
、数列
a
n
满足
a
1
1,
a
n
1
a
n
4
，求
a
n
的通项公式
.
练习：
数列
a
n
满足
a
1
<
/p>
6,
a
n
1
a
n
6
，求
a
n
的通项公式
.
例
5
、数列
a
n
满足
a
1
0,
a
n
1
a
n
< br>2
n
，求
a
n
的通项公式
.
word.
练习
1:
数列
a
n
满
足
a
1
<
/p>
1,
a
n
1
a
n
n
1
，求
a
n
的通项公式
.
练习
2
：数
列
a
n
<
/p>
满足
a
1
2,
a
n
1
a
n
3
n
1
，求
a
< br>n
的通项公式
.
(2)
对于形如
a
n
1
a
n
f<
/p>
n
型的递推
公式求通项公式
①当
a
n
1
< br>a
n
d
d
为常数
时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为
word.
2
，其通项分奇数项和偶数项来讨论
.
②
当
f
n
为
n
的
函
数
时
，
由
a
n
< br>
1
a
n
f
n
，
a
n
a
n
1
f
n
1
< br>两
式
相
除
，
得
到
f
n
a
n
+1
，分奇偶项来求通项
.
a
n
< br>1
f
n
1
例
6
、已知数列
a
n
满足
a
1
2,
a
n
1
a
n
4
，求
a
n
的通项公式
.
练习：已知数列
a
n
满足
a
1
例
word.
2
,
a
n
1
a
n
<
/p>
2
，求
a
n
的通项公式
.
3
1
7
、已知数列
a
n
满足
a
1<
/p>
3,
a
n
1
a
n
2
< br>n
，求
a
n
的通项公式
.
练习
1:
数列
a
n
满
足
a
1
2,
a
n
1
a
n
3
n
，求
a
n
的通项公式
.
练习
2
：数
列
a
n
<
/p>
满足
a
1
1,
a
n
1
a
n
2
n
，求
a
n
< br>的通项公式
.
5
、
待定系数法（构造法）
若给出条件直
接求
a
n
较难
,
可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列
,
word.
从而根据等差或者等比数列的定义求出通项
.
常见的有
:
(1)
a
n
1
pa
n
q
p
,
< br>q
为常数
< br>a
n
1
t
p
a
n
t
,
构造
a
n
t
为等比数列
.
(2)
(3)
两边同时除以
p
a
n
1
pa
n
tp
n
1
t
,
p
为常
数
< br>n
1
a
n
1
a
n
n
t
n
1
p
p
a
n
1
p
a
< br>n
t
,
再参考类型
1
< br>
q
n
1
q
q
n
两边同时除以
p
a
n
1
pa
n
tq
n
1
t<
/p>
,
p
,
q
为常数
n
1
(
4)
a
n
1
pa
n
<
/p>
qn
r
p
,
q
,
r
是常数
a
n
1
< br>n
1
p
a
n
n
(5)
a
n
2
pa
n
1
+
qa
n
a
< br>n
2
ta
n
1
p
a
n<
/p>
1
t
a
n
,
构造等比数列
a
n
1
t
a
n
例
8
、已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
练习：
已数列
a
n
中
，
a
1
1<
/p>
且
a
n
1
1
a
n
1,
则
a
n
____.
2
例
9
、
已知数列
a
n
中，
a
1
3,
a
n
1
3
a
n
3
n
1
,
求
a
n
的通项公式
.
word.