高一专题一.求数列通项公式的常用方法及例题
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求数列通项公式的常用方法及例题
一、
公式法：
已知或根据题目的条件能够推出数列
a
n
为等
差或等比数列，
根
据通项公式
a
n
a
1
n
1
d
或
a
n
a
1
q
n
1<
/p>
进行求解
.
例
1
：
已知
a
n
是一个等差数列，且
a
2
1
< br>,
a
5
5
，求
a
n
的通项公式
.
解：
设数列
a
n
的公差为
d
，则
a
1
d
1
a
1
3
解得
d
2
a
1
4
d
5
a
n
a
1
n
1
d
< br>
2
n
5
二、
s
n
与
a
n<
/p>
的关系式法：
已知数列
a
n
的前
< br>n
关系式，求
项和
s
n
与通项
a
n
的
a
n
.
,<
/p>
n
1
S
1
a
n
S
S
,
n
2
n
n
1
例
2
：
已知数列
a
n
< br>
的前
n
项和
< br>s
n
2
n
1
，求通项
a
n
.
解：
当
n
1
时，
S
1
2
1
1
a
1
当
n
2
时，
a
n
s
n
s
n
1
=
2
1
2
n
n
< br>
1
1
=
2
n
1
n
1
而
a
1
s
1
1
符合上式，
a
n
2
例
3
：
已知数列
a
n
的前
n
项和
s
n
满足
a
n
< br>1
1
s
n
，其中
a
1
1
，求
a
n
.
3
解：
s<
/p>
n
3
a
n
1
①
s
n
1
3
a
n
n
2
②
①
-
②
得
a
n
3
a
n
1
3
a
n
4
a
n
3
a
n
1
即
a
n
1
4
1
1
1
n
2
又
a
2
s
1
a
1<
/p>
不适合上式
a
n
3
3
3<
/p>
3
数列
a
n
从第
2
项起是以<
/p>
4
为公比的等比数列
3
a
n
a
2
4
3
< br>
n
2
1
4
3
3
n
2
1
n
1
< br>
n
2
a
n
1
4
n
2
< br>
3
3
n
2
注：
解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”
，由
s
n
与
a
n
的关系式，类
比出
a
n
1
与
s
n
1
的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验
a
1
是否适合用上面的方
法求出的通项
.
三、累加法：
a
n
a
n
<
/p>
1
f
n
，
f
n
是一个关于
n
的函数
例
4
：
解：
a<
/p>
1
0
,
a
n
1
a
n
2
n
1
，求通项
a
n
< br>
a
n
1
a
n
2
n
1
a
n
a
n
1
2
(
n
< br>
1
)
1
2
n
3
(
n
2
)
a
3
a
2
2
2
< br>
1
3
a
2
a
1
2
1
1
1
(
2
)
(
1
)
(
n
1
)
(
1
)
(
2
)
< br>
(
n
1
)
a
n
a
1
1
3
5
(
2
n
< br>3
)
a
1
0
a
n
1
3
5
(
2
n
3
)
< br>(
n
1
)(
1
2
n
3
)
2<
/p>
(
n
1
)
2
(
n
2
)
a
1
0
也符合上式
a
n
(
n
1
)
2
四、累乘法：
a
n
f
n
<
/p>
，
f
n
是一个关于
n
的函
数
a
n
<
/p>
1
例
5
：
a
1
1,
a
n
解：
n
a<
/p>
n
1
n
2,
n
N
求通项
a
n
n
1
n
a
n
1
n
1
a
n
n
< br>(
n
2)
(
n
1)
a
n
1
n
1
a
n
a
n
1
n
1
a
n
< br>2
n
2
a
3
3
a
2
2
a
2
2
a
1
1
(1)
(2)
a
n
a
n
1
a
n
1
a
< br>n
2
a
n
n
a
1
(
n
1)
a
3
a
2
3
2
a
2
a
1
2
a
1
1
n
1
n
<
/p>
n
2
n
1
(
n
2)
(2)
(1)
a
n
n
(
n
2)
a
1
1
也符合上式
a
n
n
五、构造法：
㈠、两
边加常数：
在数列
a
n
中有
a
< br>n
ka
n
1
b
（
k
,
b
均为
常数且
k
0
）
，从表面形
式上来看
a
n
是关于
a
n
1
的“一次函数”的形式，这时用下面的方法
:
处理方
法
：设
a
n
ka
n<
/p>
1
b
则
a
n
k
(
a
n
1
b
)<
/p>
k
b
b
令
k
k
1