等差数列与等比数列的基本运算
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一．课题：
等差数列与等比数列的基本运算
<
/p>
二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前
n
项和的公式，并能利用这些知识
解决有关问题，培养学生的化归
能力．
三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公
式和前
n
项和的公式的应用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1
．
等差数列的概念及其通项公式，等差数列前
n
项和公式；
2
．等
比数列的概念及其通项公式，等比数列前
n
项和公式；
3
．等差中项和等比中项的概念．
（二）主要方法：
1
．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量
a
1
,
d
(
q
)
来处理；
2
．使用等比数列前
n
项和公式时，必须弄清公比
q
是否可能等于
1
还是必不等于
1
，如果
不能确定
则需要讨论；
3
．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为
a
< br>
d
,
a
,
a
d
；
若偶数个成等差数列且和
为定值时，
可设中间两项为
a
d
,
a
d
，
其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．
若干个数
个
成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．
4
．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．
（三）例题分析：
例
1
．
（
1
）设数列
{
a
n<
/p>
}
是递增等差数列，前三项的和为
12<
/p>
，前三项的积为
48
，则它的首项为
2
．
（
2
）已知等差数列
{
a
n
}
的公差
d
0
，且
a
1
,
a
3
,<
/p>
a
9
成等比数列，则
a
1
a
3
a
9
13
．
a
2
a
4
a
10
16
例
2
．
有四个数，
其中前三个数成等差数列，
后三个数成等比数列，
< br>且第一个数与第四个数的和是
16
，
第二个数与第三个书的和是
12
，求这四个数．
(
a
d
)
2
(
a
d
)
16
a
d
解：设
这四个数为：
a
d
< br>,
a
,
a
d
,
，则
a
a
<
/p>
2
a
d
12
a
4
a
9
解得：
或
，所以所求的四个数
为：
4,4,12,36
；或
15,9,3,1
．
d
8
d
6
2
例
3
．由正数组成的等比数列
{
a
< br>n
}
，若前
2
< br>n
项之和等于它前
2
n
项中的偶数项之和的
11
倍，第
3
项与第
4
项之和为第
2
项与第
4
项之积的
11
倍，求数列
{
a
n
}
的通项公式．
解：当
q
1
时，得
2
na
1
11
na
1
不成立，∴
q
1
，
a
1
(1
q
2
n
)
< br>11
a
1
q
(1
q
2
n
)
①
1
q
2
∴
1
q
a
q
2
< br>a
q
3
11
a
q
a
q
3
②
<
/p>
1
1
1
1
1
由①得
q
，代入②得
a
1<
/p>
10
，
10
1
n
2
∴
a
n
(
)
．
10
说明：用等比数列前
n
项和公式时，一定要注意讨论公比是否为
1
．
例
4
．已知等差数列
110,116,122,
，
< br>