用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法
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用构造法求数列的通项公式
重庆市綦江县东溪中学
任德辉
求数列的通项公式是近几年高
考重点考察的内容，
两类特殊数列等差数列和等比数列可以
根据
公式直接求解，
还有些特殊数列可用累加法、
累乘法等来直接求
解，
但有些数列却不能直
接求解，
它们
往往要转化为等差、
等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，
从而体
现化归思想在数列中的运用，
此时可用构造法求
解。
所谓构造法就是在解决某些数学问题中通
过对条件和结论的
充分剖析，
有时会联想出一些适当的辅助模型，
以促成命题的转
换，
产生新
的解题方法。下面就构造法求数列的通项公式的分类
和解题方法分别进行论述。
一、用构造法求数列的通项公式依
照构造目标数列的不同可以分为构造等差数列、构造等比
数列和构造其他数列。
1.
构造等差数列
例
1
、
（
2009
湖北）已知数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和
S
n
a
n
(
)
1
2<
/p>
n
1
，令
2
(
n
为正整数）
b
n
2
n
a
n
，求证数列
{
b
n
}
是等差数列，并求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：
a
1
1
,
b
1
2
1
a
1
1
2
1
2
n
1
∵<
/p>
S
n
a
n
(
)
1
2
，
∴
S
n
1
a
n
<
/p>
1
(
)
n
2
2
n
n
1
∴
2
a
n
1
a
n
(
)
等式两边都乘以
2
得
2
1
2
n
a
n
1
2
< br>n
a
n
1
，
n
即
b
n
1
b
n
1
，∴数列
{
b
n
}
是以
1
为首项公差为
1
的等差数列，
< br>b
n
2
a
n
=
n
∴
a
n
n
2
n
a
n
，则
a
4
（
）
1
3
a
n
例
2
、数列
a
n
中，若
a
1
2
，
a
n
1
A
．
2
16
8
3
B
．
C
．
D
．
19
1
5
5
4
解：
a
n
1
a
n
1
3
a
n
1
1
,
< br>
3
1
3
a
n
a
n
1
a
n
a
n
又
1
1
1
1
,
< br>
是首项为
公差
3
的等差数列。
2
a
1
2
a
n
1
1
5
6
n
5
2
(
n
1<
/p>
)
3
3
n
,
a
n
a
n
2
2
2
6
n
5
a<
/p>
4
2
2
所以选
A
6
4
5
19
2.
构造等比数列
例
3
、
(2010
上海
)
< br>已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
且
< br>S
n
n
5
a
n
85
,
n
<
/p>
N
。
证明：
{<
/p>
a
n
1
}
是等比数列并求
{
a
n
}
的通项公式
证明：当
n
1
时，
a
1
S
1
< br>
1
5
a
1
85
，
a
1
<
/p>
14
,
a
1
1
15
当
n
2
时，<
/p>
S
n
1
n
1
5
a
n
1
85
< br>,
∴
a
n
S
n
S
n
1
1
5
a
n
5
a
n
1
6
a
n
5
a
n
1
1<
/p>
，
a
n
1
5
(
a
n
1
1
)
6
5
的等比数列。
6
∴
{
a
n
1
}
时首项为
-15
< br>，公比为
n
1
a
n
1
=
15
.(
)
5
6
< br>a
n
=
15
.(
)
3
、构造其他数列
5
6
n
1
+1
例
4
、
（
2009
全国）在数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
,
a
n
< br>1
(
1
{
b
n
}
的通项公式。并求出
a
n
解：由已知得
b
1
a
1
1
，
∴
b
2
b
1
a
1
n
1
)
a
n
< br>n
.
设
b
n
n
，求数列
n
n
2
a
n
1
a
n<
/p>
1
1
n
，即
b
n
1
b
n
n
< br>n
1
n
2
2
1
1
1
，
b
3
b
2
2
，…
.
，
b
n
b
n
1
n
2
2
2
以上各式相加可得
b
n
b
1
1
1
1
，即
b
2
n
n
1
n
1
2
2
小结：本题构造了一个数列
{
b
n
}
，虽然不是等差、等比数列但可以用累加法并用等比数列求
和公式求出通项公式。本
题还可以用参数法进一步构造另一个等差或等比数列：由
b
n<
/p>
1
b
n
n
1
n
1
n
n
n
2
b
2
.
2
b
2
c
<
/p>
2
b
n
得
c
n
1
2
c
n
2
再用后面例
5
的
，
得
，
令
n
1
n
n
2
解法求得
< br>c
，进而求得
b
n
和
a
n
二、构造法求数列通项公式的解题方法
由题目给出目标数列与否这个标准来判断，用构造法求数列的通项公式的方法可以分为以
下几类：
1
、如果数列明确要证明
一个与原数列有关的新数列是等差或等比数列，此时可以用拼凑法来
求解
。
n
n
1
例
5
、设数列
a
n
的前项和为
S
n
< br>,
若
2
a
n
2
S
n
成立，
(1)
求证：
a
n
n
2
是
等比
数列。
(2)
求这个数列的通项公式
证
明：
(1)
当
n
1
,
2
a
1
2
S
1
a
1
,
a
1
2
< br>
n
又
2
a
n
2
S
n
……①
2
a
n
1
2
n
1
S
n
1
……②
n
②—①
2
a
n
1<
/p>
2
a
n
2
a
n
1
a
n
1
2
a
n
2
n
<
/p>
a
n
1
(
n
1
)
2
n
2
a
n
2
n
(
n
<
/p>
1
)
2
n
2
(
a
n
n
2
n
1
)
又
a
1
2<
/p>
1
1
1
a
n
n
2
n
1
为首项为
1
，公比为
2
的等比数列，
n
1
2
n
1
,
a
n
(
< br>n
1
)
2
n
1
(2)
a
n
n
2
n
小结：本题在求出
a
n
1
2
a
n
2<
/p>
后的构造过程非常巧妙，在明确题目要证明的数列是等比
数列的前提下，
结合等比数列的概念，
我们只需证明这个数列的后项与前项的比值为常数
n
n
1
就可，所以我们只需在
a
n
1
2
a
n
2
的左边拼凑出数列
a
n
n
<
/p>
2
的第
n+1
项
，在