等比数列常考题型归纳总结很全面
-
等比数列及其前
n
项和
教学目标：
1
、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前
n
项和；性质
。
2
、能熟练的使用公式求等比数列
的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关
的简单问题。
知识回顾：
1
．定义：
一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等
于同一个常数，那么这个
数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用
字母
q
表示。用递推公式
a
a
表示为
n
q
(
n
2
)
或
n
1
q
。
注意：等比数列的公比和首项都不为零。
（证明数列是
a
n
1
a
n
等比数列的关键）
2
．通项公式：
等比数列的通项为：
a
n
a
1
q
n
1
。推广：
a
n
a
m
q
n
m
< br>
3
．中项：
如果
a
，
G
< br>，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项；其中
G
2
ab
。
4
．等比数列的前
n
项和公式
na
1
(
q
1
)
S
n
a
1
(
1
q
n
)
< br>(
q
1
)
1
q
5
．等比数列项的性质
（
1
）
< br>在等比数列
a
n
中，
若
m
，
n
，
p
，
q
N
且
m
n<
/p>
p
q
，
则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
特别的，
若
m
，
< br>p
，
q
N
且
2
m
p
q
，则
a
m
a
p
a
q
。
（
2
）除特殊情况外，
S
n
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
< br>2
n
,...
也成等比数列。<
/p>
q
'
q
n
。
（其中特殊情
况是当
q=-1
且
n
< br>为偶数时候此时
S
n
=0
，但是当
n
为奇数是是成立的）。
4
、证明等比数列的方法
a
n
1
2
a
n
1
·
a
n
1
（
n<
/p>
2
）
.
q
（常数）；（
2
）证：
a
n
a
n
2
（
1
）证：
考点分析
快乐每一天，收获多一点。
考点一：等比数列基本量计算
例
1
、
已知
为
例
2
、
成等差数列的三项正数的和等于
15
，
且这三个数加上
2
、
5<
/p>
、
13
后成等比数列
b
n
中
的
b
3
,<
/p>
b
4
,
b
5
。
（
1
）求数列
b
n
的通项公式；
<
/p>
（
2
）求数列
b
n
的前<
/p>
n
和为
S
n
。
练习：
1
、
设
a
n
是有正数组成的等比数列，
S
n
为其前
n
项和。
已知
a
2
a
4
< br>
1
,
S
3
7
,
则
S
5
A
．
a
n
为等比数列，
S<
/p>
n
是它的前
n
项
和。若
a
2
a
3
2
a<
/p>
1
，
且
a
4
与
2
a
7
的等差中项
5
，求
S
5
。
4
15
31
33
17
B
．
C
．
D
．
2
4
4
2
2
、在等比数列
{
a
n
}
中，若
a
4
－
a
2
＝
6
，
a
5
－
a
1
＝
15
，则
a
3
＝
________.
3
、已知
正项数列
{
a
n
}
为等比数列，且
5
a
2
是
a
4
< br>与
3
a
3
的等差中项，若
a
2
＝
2
，则该数列的前
5
项的和
为
(
)
33
31
A.
B
．
31 C.
D
．以上都不正确
12
4
4
、设
{
a
n
}
是首项为
a
1
，公差为－
1
的等差数列，
S
n
为其
前
n
项和．若
S
1
，
S
2
，
S
4
成等比数
列，则
a
1
的值为
________
．
5
、（
4
）、已知
a
n
是首项为<
/p>
1
的等比数列，
S
n
是
a
n
的前
n
项和
，且
9
S
3
S
6
，则数列
1
<
/p>
的前
5
项和为（
）。
a<
/p>
n
A
．
15
31
31
15<
/p>
或
5
B
．
或
5
C
．
D
．
8
16
16
8
考点二：等比数列性质应用
快乐每一天，收获多一点。
例
2
、设
S
n
为等比数列
a
n
的前
n
项和，已知
3
S
3<
/p>
a
4
2
，
3
S
2
a
3
2
，则公比
q
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
练习
：
1
、在等比数列
< br>a
n
中，
a
2010
8
< br>a
2007
，则公比
q
的值为
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
8
<
/p>
例
3
、等比数列
a
n
满足
：
a
1
a<
/p>
6
11
，
a
3
a
4
（
1
）数列
a
n
的通项公式；
（
2
）若该数列的前
n
项和
S
n
21
，求
n
的值。
2
练习：
1
、已知
正项等比数列
a
n
< br>
满足
a
3
a
9
2
a
5
，
a
2<
/p>
2
，则
a
1
。
32<
/p>
，且公比
q
0
,
1
9
2
2
、已知等比数列
a
n
满足
a
3<
/p>
a
9
2
a
5
，
a
2
2
，则
a
1
。
3
、已知等比数列
a
n
满足
a
1
2
,<
/p>
a
5
18
，则
a
2
a
3
a
4
___________
。
4
、在等比数列
{
a
n
}
中，各项均为正值，且
a
6
a
10
＋
a
3
a
5
＝
41
，
a
4
a
8
＝
5
，则
a
4
＋
a
8
＝
< br>________.
例
4
、等
比数列
a
n
满足
a
n
0
，
n
N
*
，且
a
3
a
7
4
，则当
n
1
时，
log
2
a
1
log
2
a
2
log
2
a
3
...
log
2
a
9
.
S
10
31
例
5
、等比数列
{
a
n
}
的首项
a
1
＝－
1
，前
n
项和为
S
n
，若
＝
，则公比
q
＝
________.
S
< br>5
32
练习：
1
、已知正项等比数列
a
n<
/p>
满足
a
1
a
2
a
3
5
，
a
7
a
8
a
< br>9
10
，则
< br>a
4
a
5
a
6
_______
。
2
、在等比数列
{
a
n
}
中，若
a
1
a
2
a
3
a
4
＝
1
，
a
13
a
14
a
15
a
16
＝
8
，则
a
41
a
42
a
43
a
44
＝
________.
例
6
、设等比
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
6
∶
S
3
＝
1
∶
2
，则
S
9
∶
S
3
＝
________.
练习：
1
、设等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
6
S
3
，则
9
< br>＝
________.
S
3<
/p>
S
6
考点三：等比数列的证明
快乐每一天，收获多一点。