构造法求数列通项公式讲解学习
-
构
造
法
求
< br>数
列
通
项
公
式
构造法求数列通项公式
求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列
通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。
一、构造等差数列求数列通项公式
运
用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为
f
(
n
1)
f
(
n
)
=A
（其中
A
为常数）形式，根据等差数列的定义知
f
(
n
)
是等差数列，根
据等差数列的通项公式，先求出
f
(
n
)
的通项公式，再根据
f
(
n
)
与
a
n
，从而求出
a
n
的通项
公式。
例
1
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
=
3
a
n
3
a
n
1
，
a
n
1
=
（
n
N
），求数列
{
a
n
}
通项公式
< br>.
a
n
3
2
1
解析
：由
a
n+1
=
a
n
3
得，
a
n+1
a
n
=3
a
n+1
-3 a
n
< br>=0
，两边同除以
a
n+1
a
n
得，
a
n
1
设
b
n
=
a
，则
b
n+1
- b
n
=
1
3
，根据等差数列的定义知，
n
< br>数列｛
b
n
｝是首相
b
1
=2
，公差
d=
1
3
的等差数列，
5
1
根据等
差数列的通项公式得
b
n
=
2
＋
1
3
（
n-1
）
=
3
n
＋
3
a
1
n
1
3
，<
/p>
1
∴数列通项公式为
< br>a
n
=
n
5
3
评
析
：
本例通过变形，将递推公式变形成为
1
a
n
1
1
A
形式，应用等差数列的通
a
n
项公式，先求出
1
的通项公式，从而求出
a
n
的通项公式。
a
n
2
例
2
在数列｛
a
n
｝中，
S
n
是其前
n
项和，且
S
n
≠
0
，
a
1
=1
，
a
n
=
2
2
S
S
n
n
1
(n
< br>≥
2)
，求
S
< br>n
与
a
n
。
解析
：当
n
≥
2
时，
a
n
=S
n
-
S
n-1
代入
a
n
=
1
两边除以
2
S
n
< br>2
2
S
n
1
得，
S
n
-S
n-1
=
2
S
n
2
2
S
n
1
，变形整理得
S
n
-S
n-1
= S
n
< br>S
n-
S
n
S
n-1
得，
1
< br>S
n
-
S
1
=2
，∴｛
n
1
1
S
n
｝是首相为
1
，公差为
2
的等差数列
也适合，∴
S
n
=
1
2
n
1
(n
≥
1)
∴
1
S
n
=1+2
（
n-1
）
=2n
-1,
∴
S
n
< br>=
1
2
n
1
(n
≥
2),n=1
当
n
≥
< br>2
时，
a
n
=S
n
-S
n-1
=
1
1
2
n
1
-
2
n
3
=-
2
4
n
2
8
n
3
，
n=1
不满足此式
，
∴
a
n<
/p>
=
{
1
2
4
n
2
8
n
3
n
1
n
2
评析
：本例将所给条件变形成
f
(
n
1
)
f
(
n
)
A
，先求出
f
(
n
)
的通项公式，再求
出原数列的通项公式，条件变形是难点。
二、构造等比数列求数列通项公式
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为
f
（
n+1
）
=Af
（
n
）（其中
< br>A
为非零常数）形式，根据等比数列的定义知
f
(
n
)
是等比数列，根
据等比数列的通项公式，先求出
f
(<
/p>
n
)
的通项公式，再根据
f
(
n
)
与
a
n
，从而求出
a
n
的通项公
式。
例
3
在数列｛
a
n
｝中，
a
1
=2
，
a
n
=a
n-1
2
(n
≥
2)
，求数列｛
a
n
｝通项公式。
解析
：∵
a
< br>1
=2
，
a
n
=a
n-1
2
< br>(n
≥
2)
＞
< br>0
，两边同时取对数得，
lg
a
n
=2lg a
n-1
∴
lg
a
n
=2
，
根据等比数列的定义知，数列｛
lg a
n
｝是首相为
lg2
，公比为
2
的等比数
n
1
lg
a
列，根据
等比数列的通项公式得
lg a
n
=2
n-1
lg2=
lg
< br>2
∴数列通项公式为
a
n
=
2
2
n
1
2
n
1
评析
：本例通过两边取对数，变形成
log
a
n
2
log
a
n
1
形式，构造等比数列
log<
/p>
a
n
}
，先求出
log
a
n
的
通项公式，从而求出
a
n
的通项公式。
例
4
在数列
｛
a
n
｝中，
a
1
=1
，
a
n+1
=4a
n
+3n+1
，求数列｛
a
n
｝通项公式。
解析
：
设
a
n+1
+A
（
n+1
）
+B=4
（
a
n
+An+B
），（
A
、
B
为待定系数），展开得
a
n+1
< br>=4a
n
+3An+3B-A
，
与已知比较系数得
{
A
1
3
A
< br>3
∴
2
3
B
A
1
B
<
/p>
3
{
∴
a
n+1
+
（
n+1<
/p>
）
+
数列｛
a<
/p>
n
+n+
2
3<
/p>
2
3
=4
（
a
n
+n+
2
3
），根据等比数列的定义知，
8
3
2
｝是首项为
8
3
，公比为
q=
3
的等比数列，∴
a
n
+n+
3
=
8
3
×
3
n-1
∴数列通项公式为
a
n
=
×
3
-n-
2
3
n-1
评析
：待定系数法是构造数列的常用方法。
例
5
在数
列｛
a
n
｝中，
a
1
=1
，
a
n+1
a
n
=4
n
，求数列｛
a
n
｝通项公式。
解析
：∵
a
n+1
a
n
=4
n
∴
a
n<
/p>
a
n-1
=4
n-1
两式相除得
a<
/p>
n
1
a
n
1
=4
，
∴
a
1
，
a
3
，
a
5
……与
a
2
，
a
4
，
a
6
……是首相分别为
a
1
，
a
2
，公比都是
4
的等比数列，
又∵
a
1<
/p>
=1
，
a
n+1
a
n
=4
n<
/p>
，∴
a
2
=4