常见数列通项公式的求法(较全)
-
常见数列通项公式的求法
公式：
1
、
定义法
：
若数列是等差数列或等比数列
,
求通
公式项时
,
只需求出
a
1
与
d
或
a
1
与
q
,
再代入公式
a
n
a
1
n
1
<
/p>
d
或
a
n
a
1
q
n
1
中即可
.
例
1
、
成等差数列的三个正数的和等于
15
，并且这三个数
分别加上
2
，
5
，
13
后成为等比数列
b
n
的
b
3
,
b
4
,
b
5
,
求数列
b
n
的的通项公式
.
练习：
数列
a
n
是等差数列
,
数列
b
n
是等比数列
,
数列
c
n
中对于任何
n
N
都有
*
1
2
7
c
n
a
n
b
n
,
c
1
0,
c
2
,
c
3
,
c
4
,
分别求出此三个数列的通项公式
.
6
9
54
2
、
累加法：
形如<
/p>
a
n
1
a
n
f
n
已知
a
1
< br>
型的的递推公式均可用累加法求通项公式
.
（
1
）
当
f
n
d
为常数时，
a
n
为等差数列，则
a
n
a
1
n
1
d
；
（
2
）
当
f
n
为
n
的函数时，用累
加法
.
（
3
）已知
a
1
，
a
n
1
<
/p>
a
n
f
n
，
f
n
可以是关于
n
的一次函数、二次函数、指数函数、分式
函数，求通项
.
①若
f
n
可以是关于
n
的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
②若
f
n<
/p>
可以是关于
n
的二次函数，累加后可分组求和；
③若
f
n
可
以是关于
n
的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
④若
f
n
可以是关于
n
的分式函数，累加后可裂项求和求和
.
1
不同的信念，决定不同的命运
例
2
、
数列
a
n
中已知
a
1
1,
a
n
1
a
n
2
n
< br>
3
,
求
a
n
的通项公式
.
练习
1
：
已知数列
a
n
满足
a
n
1
a
n
3
n
2
且
a<
/p>
1
2,
求
a
n
.
练习
2
：已知数列
<
/p>
a
n
中，
a
1
1,
a
n
1
a
n
3
n
2
n
,
求
a
n
的通项公式
< br>.
练习
3
：
< br>已知数列
a
n
满足
a
1
< br>
1
1
,
a
n
1
a
n
2
,
求求
a
n
的通项公式
.
2
n
n
a
n
1
f
n
a
3
、
< br>
累乘法：
形如
a
n
已知
a
1
型的的递推公式均可用累乘法求通项公式
.
给递推公
a
n
1
f
n
,
n
N
n
式中的
n
依次取
1,2,3
，
……，
n
1
,
可得到下面
n
1
个式子：
2
f
1
,
a
a
1
a
3
a
< br>a
f
2
,
4
f
3
,
,
n
f
n
1
.
< br>a
2
a
3
a
n
1
利
用公式
a
n
a
1
a
2<
/p>
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
n
,
a
n
0,
n
N
可得：
a
n
a
1
f
1
f
2
f
< br>
3
f
n
1
.
a
n
1
例
3
、
已知数列
a
n
满足
a
1
2
n
,
a
< br>n
1
a
n
,
求
a
n
.
3
n<
/p>
1
a
n
1
n
2
,
求
a
n
< br>的通项公式
.
a
n
n
练习
1
：数列
a
n
中已知
a
1
1,
2
2
练习
2:
设
a
n
是首项为
1
的正项数列，且
(
n
1)
a
n
1
na
n
a
n
1
a
n
< br>0
，求
a
n
的通项公式
.
4
、
奇偶分析法
(1)
对于形如
a
n
1
a
n
f<
/p>
n
型的递推
公式求通项公式
①当
a
n
1
< br>a
n
d
d
为常数
时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周
期为
2
，其通项分奇数项和偶
数项来讨
论
.
②当
f
n
为
n<
/p>
的函数时，由
a
n
1
a
n
f
n
，
a
n
a
n
1
f
< br>n
1
两式相减，得到
a
n
+1
a
n
1
f
n
f
n
<
/p>
1
，分奇偶项来求通项
.
例
4
、
< br>数列
a
n
满足
a
1
1,
a
n
1
a
n<
/p>
4
，求
a
n
的通项公式
.
练习：
数列
a
n
满
足
a
1
6,
a
n
1
a
n
6
，求
a
n
的通项公式
.
例
5
、
数列
a
n
满足
a
1
0,
a
n
1
a
n
2
n
，求
a
n
的通项公式
.
练习
1:
数列
a
n
满
足
a
1
<
/p>
1,
a
n
1
a
n
n
1
，求
a
n
的通项公式
.
2
不同的信念，决定不同的命运
练习
2
：<
/p>
数列
a
n
满足
a
1
2,
a
n
1
a
n
3
n
< br>
1
，求
a
n
的通项公式
.
(2)
对于形如
a
n
1
a
n
f
n
型的递推公式求通项公式
①当
a
n
1
a
n
d
d
为常数
时，则数列为“等积数列”，它是一个
周期数列，周期为
2
，其通项分奇数项和偶
数项来讨论
.
②当
f
n
为
n
的函数时，由
a
n
1
a
n
f
< br>n
，
a
n
a
n
1
f
n
1
两式相除，得到
来求通项
.
< br>例
6
、
已知数列
a
n
满足
a
1
2,
a
n
1
a
n
<
/p>
4
，求
a
n
的通项公式
.
练习：
已知数列
a
n
满足
a
1
f
n
a
n
+1
，分奇偶
项
a
n
<
/p>
1
f
n
1
2
,
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
的
通项公式
.
3
n
1
例
7
、
已知数列
a
n
满足
a
1
3,
a
n
1
a
n
，求
a
n
的通项公式
.
2
n
练习
1:
数列
a
n
满足
a
1
2,
a
n
1
a
n
3
，求
a
n
的通项公式
< br>.
n
练习
2
< br>：数列
a
n
< br>
满足
a
1
1,
a
n
1
a
n
2
，求
<
/p>
a
n
的通项公
式
.
5
、
待定系数法（构造法）：
若给出条件直接求
a
n
较难
,
可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列
,
从
而根据等差或者等比数列的定义求出通项
.
常见的有
:
(1)
< br>a
n
1
pa
n
q
p
,
q
为常
数
a
n
<
/p>
1
t
p
a
n
t
,
构造
a
n
< br>
t
为等比数列
.
两边同时除以
p
a
n
1
pa
n
tp
n
1
t
,
p
为常数
n
1
(2)
a
n
1
a
n
t
p
n
1
p
n
a
n
1<
/p>
p
a
n
t
,
再参考类型<
/p>
1
n
1
n
q
q
q
(3)
两边同时除以
p
a
n
1
pa
n
tq
n
1
t
,
p
,
q
< br>为常数
n
1
(4)
a
n
1
pa
n
qn
r
p
,
q
,
r
是常数
a
n
1
n
1
<
/p>
p
a
n
n
(5)
a
n
2
pa
n
1
+
qa
n
a
n
2<
/p>
ta
n
1
p
a
n
1
t
a
n
< br>
,
构造等比数列
a
n
1
t
a
n
例
8
、
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a<
/p>
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
练习：
已数列
a
n
中，
a
1
1
且
a
n
1
1
a
n
<
/p>
1,
则
a
n
____.
2
n
1
例
9
、
已知数列
<
/p>
a
n
中，
a
1
3,
a
n
1
3
a
n
3
,
求
< br>
a
n
的通项公式
.
3
不同的信念，决定不同的命运