(完整版)高考等差等比数列知识点总结
-
高考数列知识点
等差数列
1.
等差数列的定义
：
a
n
a
n
< br>
1
d
（
d
为常数）
（
n
2
）
；
*
2
．
等差数列通项公式：
a
n
a
1
(
n
1)
d
< br>
dn
a
1
d
(
n
N
)
，
首项
:
a
1
，公差
:
d
，末项
:
a
n
推广：
a
n
a
m
(
n
m
)
d
．
<
/p>
从而
d
a
n
a
m
；
n
m
a
b
< br>或
2
A
a
b
2
3
．等差中项
（
1
）如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
<
/p>
（
2
）等差中
项：数列
a
n
是等差数列
2
< br>a
n
a
n
-
1
a
n
1
(
n
2
)
2
a
n
1
a
< br>n
a
n
2
4
．
等差数列的前
n
项和公式：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
d
1
na<
/p>
1
d
n
2
(
a
1
d
)
n
An
< br>2
Bn
2
2
2
2
（其中
A
、
B
是常数，所以当
d
≠
0
时，
S
n
是关于
n
的二次式且常数项为
0
）
特别地
S
2
n
1
2
n
1
a
1
a
2
n
1
2
2
n
1
a
n<
/p>
1
5
．
等差数列的判定方法
< br>
（
1
）
定义法：若
a
n
< br>
a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
(
常数
n
N
)
a
n
是等差数列．
（
2
）
等差中项：数列
a
n
是等差数列
< br>2
a
n
a
n
-
1
a
n
1
(
n
2
)
2
a
n
1
< br>a
n
a
n
2
．
（
3
）
数列
a
n
是等差数列
a<
/p>
n
kn
b
（其中
k
,
b
是常数）。
2
（
4
）
数列
a
n
是等差数列
S<
/p>
n
An
Bn
,
（其中
A<
/p>
、
B
是常数）
6
．
等差数列的证明方法
定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
(
常数
n
N
)
a
n
是等差数列
7.
等差数列的性质：
（
1
）
当公差
d
0
时，
等差数列的通项公式
a
n
<
/p>
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
是关于
n
的一次函
数，
且斜率为公差
d
；
n
(
n
1)
d
d
d
n
2
(
a
1
)
n
是关于
n
的二次函数且常
数项为
0.
2
2
2
（
2
）若公差
< br>d
0
，则为递增等差数列，若
公差
d
0
，
则为递减等差数列，若公差
d
0
，则为常数列。
（
3
）当
m
n
p
q<
/p>
时
,
则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
m
n
2
p
时，则有
a
m
a
n
2
a
p
.
前
n
和
S
n
na
1
（
4
）若
a
n
、<
/p>
b
n
为等差数列，则
a
n
b
<
/p>
，
1
a
n
2
b
n
都为等差数列
(5)
若
{
a
n
}
是等差数列，则
S
n
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n
，…也成等差数列
(6)
求
S
n
的最值
法一：因等差数列前
n
项和是关于
n
的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但
要
注意数列的特殊性
n
N
*
。
< br>
法二：
（
1
< br>）
“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和
即当
a
1
0
，
d
0
，<
/p>
由
a
n
0
可得
S
n
达到
最大值
时的
n
值．
a
n
1
0
a
n
0
可得
S
n
达到
最小值
时的
n
< br>值．
a
n
1
0
p
q
2
（
2
）
“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最
小值是所有非正项之和。
即
当
a
1
0
，
d
0
，
由
法三：
直接利用二次函数的对称性：
由于等差数列前
n
项和的图像是过原点的二次函数，
故
n
取离二次函数对
称轴最近的整数时，
S
n
取最大值（或
最小值）
。若
S
p
=
S
q
则其对称轴为
n
1