等比数列的通项公式(教案)
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等比数列的通项公式（教案）
一、教学目标
1
、
掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。
2
、
掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。
二、教学重点、难点
各种结论的推导、理解、应用。
三、教学过程
1
、
导入
复习
等比数列的定义：
a
n
1
q
n
N
*
a
n
*
通项公式：
a
n
a
1
q
n
1
n
N
用归纳猜测的方法得到，用累积法证明
2
、
新知探索
例
1
在等比数列
a
n
中，
（
1
）
已知
a
1
3,
q
2,
求
a
6
；
（
2
）已知
a
3
20,
a
6
160,
求
a
n
.
，
分析
（
1<
/p>
）根据等比数列的通项公式，得
a
6
a
1
q
5
96
（
2
）
可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组
2
a
1
5
a
3
a
1
q
20
n
1
n
1
解得
所以
a
<
/p>
a
q
5
2
n
1
5
q
2
a
6
a
1
q
16
0
问：上面的第（
2
）题中，可以不求
a
1
而只需求得
q
就得到
a
n
吗
?
分析
在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：
a
2
a
1
q
,
a
3
a
2
< br>q
a
1
q
2
,
a
4
a
3
q
a
2
q
2
a
1
q
3
,
< br>a
n
a
n
1
q
a
n
2
q
2
a
n
3
q
3
...
a
2
q
n
< br>
2
a
1
q
n
1
注意观察等式右边各项的下标与
q<
/p>
的次方的和，可以发现，
a
n
的表达式中，始终满足
*
a
n
a
m
q
n
m
n
,
m
N
结论
1
<
/p>
数列
a
n
是等比数列，则有
a
n
a
m
q
n
m
*<
/p>
n
,
m
N
。
再来看一下例
1
中（
2
）的另一
种解法：
a
6
a
3
q
3
，
所以
q=2
，所以
a
< br>n
a
1
q
n
1
5
2
n
1
习题
2.3
（
1
）
P
49
2
、在等比数列
a<
/p>
n
中，
（
1
）
已知
a
4
4,
a
9
972,
求
a
n
；
（
2
）已知
a
2
6,
a
6
分析
（
1
）可以根据定义和结论
1
给出两种解法。
< br>
3
a
4
a
1
q
4
方法一
8
a
9
a
1
q
972
32
,
求
a
n
.
27
方法二
a
9
a
4<
/p>
q
5
，所以
q=
3
，所以
a
n
a
4
q
n<
/p>
4
4
3
n
4
。
（
2
）
a
6
a
2
q
4
，所以
q
2
3
2<
/p>
2
当
q
时
,
a
n
a
2
q
n
2
6
(
)
n
2
3<
/p>
3
2
2
当
q
时
,
a
n
a
2
q
n
2
6
(
<
/p>
)
n
2
3
3
例
2
在
243
和
3
中间插入
3
个数，使这
5
个数成等比数列。
分析
设此
三个数为
a
2
，
a
3
，
a
4
，
公比为
q
，
则由题意得
243
，
< br>a
2
，
a
3
，
a
4
，
3
成等比数列；
1
3
243
q
4
，所以得
q
< br>
3
1
当
q
时
，
a
2
81
，
a
3
27
，
a
4
9
3
1
当
q
时，
a
2
< br>
81
，
a
3
27
，
a
4
9
3
故插入的三个数为
81
，
27
，
9
或
-81
，
27
，
-9.
问：观察一下
例
2
中，当
q
时，这
5
个数分别为
243
，
-81
，
27
，
-9
，
3
，可以发现什么
规律
？
答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号
，偶数项同号。
习题
2.3
（
1
）
P
49
6
、在等比数列
a
n
中，
a
1
0
，
a
2
a
4
2
a
3
a
5
a
4
a
6<
/p>
25
，求
a<
/p>
3
a
5
的值。
分析
1
3
a
3
a
4
得
a
3
2
a
2
a
< br>4
，同理得
a
5
2
a
4
a
6
a
2
a
3
a<
/p>
1
0
a
3
0,
a
5
0
a
3
< br>a
5
0
2
2
a
2
a
4
2
a
3
a
5
a
4
a
6
a
3
< br>2
a
3
a
5
a
5
(
a
3
a
5
)
2
25
a
3
a
5
5
例
3
已知等比数列
a
n
的通项公式为
a
n
3
2
n
，求首项和公比
q
.