幂函数教案(第一课时)
-
幂函数教案
（第一课时）
教材分析：
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数
函数之后研究
的又一类基本的初等函数。
本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性质，
难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。
幂函数
模型在生活中是比较常见的，
学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数
y
x
,
y
x
,
< br>y
x
,
y
x
2
3
1
,
y
x
1
2
。组织学生画出他们的图
象，
根据图象观察
、总结这
几个常见幂函
数的性质
。对于幂函数
，只需重
点掌握
y
x
,
y
x
2
,<
/p>
y
x
3
,
y
x
1
,
y
x
1
2
这五个函数的图象和性
质。
学习中
学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织
学生对两类
不同函数的表达式进行辨析。
学生已经有了学习幂函数和对象函
数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准
备。因此，学习过程中，引入幂函数的
概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
教学目标：
㈠知识和技能
1
．
了解幂函数的概念，
会画幂函数
1
2
y
x<
/p>
,
y
x
,
y
x
，
y
x
，
y
x
1
2
3
的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。
2
．了解几个常见的幂函数的性质。
㈡过程与方法
1
．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。
2
．使学生进一步体会数形结合的思想。
㈢情感、态度与价值观
1
．
通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发
学生的学习兴
趣。
2
．
利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，
使学生充分认识到现代技术在
人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲
望。
教学重点
常见幂函数的概念和性质
教学难点
幂函数的单调性与幂指数的关系
1
教学过程
一、创设情景，引入新课
问题
1
：如果张红购买了每千克
1
元的水果
w
千克，那么她需要付的钱数
p
（元）和购买
的水果量
w<
/p>
（千克）之间有何关系？
（总结：根据
函数的定义可知，这里
p
是
w
的函数）
问题
2
：如果正方形的边长为
a
，那么正方形的面
积
S
a
2<
/p>
，这里
S
是
a<
/p>
的函数。
问题
3
：如果正方体的边长为
a
，那么正方
体的体积
V
a
,
这里
V
是
a
的函数。
问题
4
：如果正方形场地面积为
S
，那
么正方形的边长
a
S
1
2
3
,
这里
a
是
S
的函数
问题
5
：如果某人
t
s
内骑车行进了
1
km
，那么他骑车的速度
V
t
1
km
/
s
，这里
v
是
t
的函
数。
以上是我们生活中经常遇
到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共
同点吗？
(
右边指数式，且底数都是变量
)
这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的
话，你将会给他们起个什么名字呢？
（变量在底数位置，解析式右边
都是幂的形式）
（适当
引导：从自变量所处的位置这个角度）<
/p>
（引入新课，书写课题）
二、新课讲解
（一）幂函数的概念
如果设变量为<
/p>
x
,
函数值为
y
，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数
式？
这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函
数的一般式吗？
这就是幂函数的一般式，
你能根据指数函数、
对数函数的定义，
给出幂函数的定义吗
？
幂函数的定义：
一般地，
我们把形如
y
x
的函数称为幂函数
（
power func
tion
）
，
其中
x
是
自变量，
< br>是常数。
【
探究一
】
幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）
结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本
初等函数，从
它们的解析式看有如下区别：
对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数
对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数
试一试
：判断下列函数那些是幂函数
3
2
（
1
）
y
0
.
2
（
2
）
< br>y
x
（
3
）
y
x
（
4
）
y
x
x
1
5
我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数
、对数函
2
数的学习经历，你认为
我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质）
（二）几个常见幂函数的图象和性质
在初中我们已经学习了幂函数
y
x<
/p>
,
,
y
x
,
y
x
的图象和性质，
请同学们在
同
一坐标系
中画出它们的图象。
根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数
y
x
,
y
x
的图象吗？
1
【
探究二
】
观察函数
y
x
,
y
x
,
y
< br>x
,
y
x
,
y
x
的图象，将你发现的结论写在
2
3
1
2
3
1
2
1
2
下表内。
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
图象范围
y
x
y
x
2
y
x
3
y
x
1
2
y
x
1
2
3
【
探究三
】
根据上表的内容并结合图象，试总结函数：
y
x
,
y
x
,
y
x
,
y
< br>
x
的共
1
2
同性质。
（
1
）
函数
y
x
,
y
x
,
y
x
,
y
x
的图象都过点
(
1
,
1
),
(
0
,
0
)
（
2
）
函数
y
x
,
y
x
,
y
x
,
y
x
在
0
,
上单调递增；
2
3
1
2
2
3
1
2
归纳：
幂函数
y
x
图象的基本特征是，当
0
是，图象过点
(
1
,
1
),
(
0
,
0
)
，且在第一象
限随
x
的增大而上升
,
函数在区间
0
,
上是单调增函数。
(
演示几何画板制作课件：幂
函
数
.asp)
请同学们模仿我们探
究幂函数
y
x
图象的基本特征
0
的情况探讨
0
时幂函数
y
x
图象的基本特
征。
（利用
drawtools
软件作
图研究）
归纳：
< br>
0
时幂函数
y
x
图象的基本特征：过点
(
1
,
1
)
，且在第一象限随
x
的增大而下
降，函数在区间
(
0<
/p>
,
)
上是单
调减函数，且向右无限接近
X
轴，向上无限接近
Y
轴。
3