五年级奥数题因数与倍数
-
因数与倍数相关习题（
1
）
一、填空题
1
．
28
的所有因数之和是
_____.
2.
用
105
个大小相同的正方形拼成一个
长方形
,
有
_____
种不同的拼法
.
3.
一个两位数
,
十位数字减个位数字的差是
28
的因数
,
十位数字与个位数
字的积是
24.
这个两位数是
_____.
4.
李老师带领一班学生去种树
,
学生恰好被平均分成四个小组
,
总共种树
667
棵
,
如果师生每人种的棵数一样多
,
那么这
个班共有学生
_____
人
.
5.
两个自然数的和是
50,
它们的最大公因数是
5,
则这两个数的差是
_____.
6.
现有梨
36
个
,
桔
108
个
,
分给若干个小朋友
,
要求每人所得的梨
数
,
桔数相
等
,
最多可分给
_____
个小朋友
,
每个小朋友得梨
_____
个
,
桔
< br>_____
个
.
7.
一块长
48
厘米、宽
42
厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形
布片
_____
块
.
8.
长
180
厘米
,
宽
45
厘米
,
高
18
厘米的木料
,
能锯成尽可能大的正方体木块
(
不余料
)_____
块
.
9.
张师傅以
1
元钱
3
<
/p>
个苹果的价格买苹果若干个
,
又以
2
元钱
5
个苹果的价
格将这些苹果卖出
,
如果他要赚得
10
元钱利润
,
那么他必须卖出苹果
_____
个
.
10.
含有
6
<
/p>
个因数的两位数有
_____
个
.
11
．写出小于
20
的三个自然数，使它们的最大公因数是
1
，但两两均不互
质，请问有多少组这种解
12
．和为
1111
的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少
1
3
13
．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳
4
米，黄鼠狼每次跳
2
米，
2
4
3
它们每秒钟都只跳一次
.
比赛途中
,
从起点开始
每隔
1
2
米设有一个陷井
,
当它们
8
之中有一个掉进陷井
时
,
另一个跳了多少米
14.
已知
a
与
b
的最大公因数是
12,
a
与
c
的最小公倍数是
300,
b
与
c
的最
小公倍数也是
300,
那么满足上述条件的自然数
a
,
b
,
c
共有多少组
(
例如
:
a<
/p>
=12
、
b
=3
00
、
c
=300
，与
a
=300
、
b
=12
、
c
=300
是不同的两个自然数
组
)
———————————————
答
案
——————————————————————
答
案
:
1
．
56
28
的因数有
1,2,4,7,14,2
8,
它们的和为
1+2+4+7+14+28=56.
2.
4
因为
105
的因数有
1,3,5,7,15,21,35,105
能拼成的长方形的长与宽分别是
105
和
1,35
和
3,21
与
5,15
与
7.
所以能拼成
4
种不同的长方形
.
3.
64
因为
28=2
2
7,
所以
28
的因数有
6
个
:1,2,4,7,14,28.
在
数字
0,1,2,…
，
9
中，只有
6
与
4
之积，或者
8
与
3
之积是
24
，又
6
-4=2
，
8-3=5.
故符合题目要求的两位数仅有
64.
4.
28
因
为
667=23
29,
所
以
这
班
师
生
每
人
种
的
棵
数
只
能
是
667
的
因
数
:1,23,29,667.
显然
,
每人种
667
棵是不可能的
.
当每人种
29
棵树时
,
全班人数应是
23-1=22,
但
22
不能被
4
整除
,<
/p>
不可能
.
当每人种
23
棵树时
,
全班人数应是
29-1=28,
且
28
恰好是
4
的倍数
,
符合题
目要求
.
当每人种
1
棵树时
,
全班人数应是
667-1=666,
但
666
不能被
4
整除
,
不可能
.
所以
,
一
班共有
28
名学生
.
5.
40
或
20
两个自然数的和是
50,
最大公因数是
5,
这两个自然数可能是
5
和
45,15
和
35,
它
们的差分别为
(45-5=)40,(35-15=)20,
所
以应填
40
或
20.
[
注
]
这里的关键是依最大公因数是
5
的条件
,
将
50
分拆为两数之和
:50=5+45=15+35.
6.
36,1,3.
要把梨
36
个、桔子
108
个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子
相等，小朋友的人数一定是
36
的因数，又要是
108
的因数，即一定是
36
和
108
的公因数
.
因为要求最多可分给多少个小朋友
,
可知小朋友的人数是
36
和
108
的
最大公因数
.36
和
108
的最大公因数是
36,
也就是可分给
36
个小朋友
.
每个小朋友可分得梨
:
36
<
/p>
36=1(
只
)
每个小朋友可分得桔子
:
108
36=3(
只
)
所以
,
最多可分得
36
个小朋友
,
每个小朋友可分得梨
1
只
,
桔子
3
只
.
7.
56
剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长
48
厘米及宽
42
厘米
,
所以
它是
48
与
42
<
/p>
的公因数
,
题目又要求剪出的正方形最大
,
故正方形的边长是
48
与
42
的最大公因数
.
因为
48=2
2
2
2
3,42=2
3
7,
所以
48
与
42
的最大公因数是
6.
这样
,
最
大正方形的边长是
6
厘米
.<
/p>
由此可按如下方法来剪
:
长边每排剪
8
块
,
宽边可剪
7
块
,
共可剪
(48
6)
(42
6)=8
7=56(
块
)
正方形布片
.
< br>
8.
200
根据没有余料的条件可知长、
宽和高分别能被正方体的棱长整除
,
即正方体
< br>
的棱长是
180,45
和
18
<
/p>
的公因数
.
为了使正方体木块尽可能大<
/p>
,
正方体的棱长应是
180
、
45
和
18
的最大公因数
.180,45
和
18
的最大公因数是
9,
所以正方体的棱长
是
9
厘米
.
这样
,
长
180
厘米可公成
20
段
,
宽
45
厘米可分成
5
段
,
高
18
厘米可分
成
2
段
.
这根木料共分割成
(180
9)
(45
9)
(18
9)=200
块棱长是
9
厘米的正
方体
.
9.
150
根据
3
与
5
的最小公倍数是
15,
张老师傅以
5
元钱买进
15
个苹果
,
又以
6
元
钱卖出
15
个苹果
,
这样
,
他
15
个苹果进与出获利
1
元
.
所以他获利
10
元必须卖出
150
个苹果
.
10.
16
含有
6
<
/p>
个因数的数
,
它的质因数有以下两种情况
:
一是有
5
个相同的质因数连
乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用
M
表示含有
6
个因数
的数，用
a
和
b
表示
M
的质因数，那么
M
a
5
或
M
a
2
b
因为
M
是两位数，所以
M
=
a
5
只有一种可能
M
=2
5
，而
M
=
a
2
b
就有以下
15
种情况：
M
2
2
3,
M
2
2
5,
M
2
2
7
，
M
2
2
1
1,
M
2
2
1
3,
M
2
2
1
7
，
M
2
2
1
9,
M
2
2
23,
M
3
2
2
，
M
3
2
5,
M
3
2
7,
M
3
2
1
1
，
M
5
2
2,
M
5
2
3,
M
7
2
2
.
所以
,
含有
6
个因数的两位数共有
15+1=16
(
个
)
11.
三个数都不是质数
,
至少是两个质数的乘积
,
两两之间的最大公因数只
能分别是
2,3
和
5,
这种自然数有
6,10,15
和
12,10,15
及
18,10,15
三组
.
12.
四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和
,
也就是说它们的最大
公因数应该是
1111
的因数
.
将
1111
作质因数分解
,
得
1111=11
101
最大公因数不可能是
1111,
其次最大可能数是
101.
若为
101,
则将这四个数分别
除以
101,
所得商的和应为
11.
现有
1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
101,101
2,101
3,101
5,
它们的和恰好是
101
(1+2+3+5)=101
11=1111,
它们的最大公因数为
101.
所以
101
为所求
.
3
3
99
13.
黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是
2
与
12
的
“
最小公倍数
”
，
4
8
4
99
11
1
3
即跳了
=9
次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是
4
和
12
的
4
4
2
8
99
99
9
“
最小公
倍数
”
，即跳了
=11
次掉进陷井
.
2
2
2
1
经过比较可知
,
黄鼠狼先掉进陷井
,
这时狐狸已跳的行程是
4
9=(
米
).
2
14.
先将
12
、
300
分别进行质因数分解：
12=2
2
3
300=2
2
3
5
2
(1)
确定
a
的值
.
依题意
a
只能取
12
或
12
5(=60)
或
12
25(=300).
(2)
确定
b
的值
.
当
a
=12
时
,
b
可取
12,
或
12
5,
或
12
25
；
当
a
=60,300
时，
b
都只能取
12.
所以
,
满足条件的
a
、
b
共有
5
组：
a
=12
a
=12
a
=12
a
=60
a
=300
b
=12,
b
=60,
b
=300,
b
=12,
b
=12.
(3)
确定
a
,
b
,
c<
/p>
的组数
.
对于上面
a
、
b
的每种取值，依题意，
c
均有
6
个不同的值：
5
2
，
5
2
2
，
5
2
2
2
，
5
2
3
，
5
2
2
3
，
5
2
2
2
3
，即
25
，
50
，
10
0
，
75
，
所
以满足条件的自然数
a
、
b
、
c
共有
5
6=30
（组）
，
300.
150
因数与倍数相关习题
（
2
）
一、
填空题
1
．把
20
个梨和
25
个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下
2
个，而苹果还
缺
2
个，一共有
_____
个小朋友
.
2.
幼儿园有糖
115
颗、饼干
148
块、桔子
74
个，平均分给大班小朋友；结
果糖多出
7
颗，饼干多出
4
块，桔子多出
2
个
.
这个大班的小朋友最多有
_____
人
.
3.
用长
16
厘米、宽
14
厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用
这样的木板
_____
块
.
4.
用长是
9
厘米、宽是
6
厘米、高是
7
厘米的长方体木块叠成一个正方体，
至少需要这种长方体木块
_____
块
.
5.
一
个公共汽车站
,
发出五路车
,
这五路车分别为每隔
3
、
5
、
9
、
15
、
10
分
钟发一次，第一次同时发车以后，
_____
分钟又同时发第二次车
.<
/p>
6.
动物园
的饲养员给三群猴子分花生
,
如只分给第一群
< br>,
则每只猴子可得
12
粒；如只分给第二群，则每只猴子可得
15
粒；如只分给第三群，则每只猴子
可得
20
粒
.
那么平均给三群猴子
,
每只可得
_____
粒<
/p>
.
7.
这样的自然数是有的
:
它加
1
是
2
的倍数
,
加
2
是
3
的倍数
,
加
3
是
4
的倍
数
,
加
4
是
5
的倍数
,
加
5
是
6
的倍数
,
加
6
是
7
的倍数
,
在这种自然数中除了
1
以外最小的是
_____.
8
．
能被
3
、<
/p>
7
、
8
、
11
四个数同时整除的最大六位数是
_____.
9.
把
26,33,34,35,63,85,91,143
分成若干组
,
要求每一组中任意两个数的
最大公因数是
1,
那么至少要分成
_____
组
.
10.
210
与
330
的最小公倍数是最大公因数的
_____
倍
.
二、解答题
11
．公共汽车总站有三条线路，第一条每
8
分钟发一辆车，第二条每
10
分
钟发一辆车，第三条每
16
分钟发一辆车，早上
6
：
00
三条路线同时发出第一辆
车
.
该总站发出最后一辆车是
< br>20:00,
求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻
.
12.
甲
乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数
,
商是
12.
如果甲乙两数
的差是
18,
则甲数是多少乙数是多少
5
15
1
、
1
分别去
除某一个分数，所得的商都是整数
.
这个分数
< br>
13.
用
、
28
56
20
最小是几
14.
有
15
位同学
,
每位同学都有编号
,
他们是
1
号到
15
号
,1
号同学写了一
个自然数
,2
号说：
这个数能被
2
整除
”<
/p>
，
3
号说：
这个数能被他的编号数整除
.1
“
“
号作了检验
:
只有编号连续的二位同学说得
不对
,
其余同学都对
,
问
:
(1)
说的不对的两位同学
,
他们的编号是哪两个连续自然数
(2)
如果告诉你
< br>,1
号写的数是五位数
,
请找出这个数
.