数学建模优秀优秀论文A题
-
2011
高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则
.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网
上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的
,
如果引用别人的成果或其他公开的
资料（包括网上查到的资料）
，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参
考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平
性。如有违反竞赛规
则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从
A/B/
C/D
中选择一项填写）
：
我
们的参赛报名号为（如果赛区设置
报名号的话）
：
所属学校（请填写完整的全名）
：
参赛队员
(
打印并签名
)
：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人
(
打印并签名
)
：
日期：
年
月
日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011
高教社杯全国大学生数学建
模竞赛
编
号
专
用
页
评
阅
人
评
分
备
注
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
基于系统综合评价的城市表层土壤重金属污染分析
摘要
本文针对城市表层土壤重金属污
染问题，首先对各重金属元素进行分析，然后对各
种重金属元素的基本数据进行统计分析
及无量纲化处理，
再对各金属元素进行相关性分
析，最后针对各
个问题建立模型并求解。
针对问题一，
我们首先利用
EXCEL
和
SPS
S
统计软件对各金属元素的数据进行处理，
再利用
Matlab
软件绘制出该城区内
8
种重金属元素的空间分布图最后通过内梅罗污染
2
2<
/p>
P
平均
P
max
模型：
P
综
2
1
/
2
，其中
P
平均
为所有单项污染指数的平均值，
P
m
ax
为土壤环境中
各单项污染指数中的最大值。得到
各区内梅罗综合污染指数，进而求得污染程度为：
功能
区
P
综
生活区
工业区
山区
主干道路区
公园绿地区
2
.
0904
9
.
2769
土壤、作物受
严重污染
0
.
8242
尚清洁
6
.
4625
土壤、作物受
严重污染
1
.
8688
超标
污染
土
壤、作物受
程度
中度污染
针对问题二
,
我们首先利用
EXCELL
软件画出
8
种元素在各个区内相对含量的柱状
< br>图，由图可以明显地看出各个区内各种元素的污染情况，然后再根据重金属元素污染来
源及传播特征进行分析，
可以得出工业区及生活区重金属的堆积和迁移是造成污染的
主
要原因，
Cu
、
Hg
、
Z
n
主要在工业区和交通区如公路、铁路等交通设施的两侧富集，随
时间的推移，
工业区、
交通区的土壤重金属具有很强的叠加性
，
受人类活动的影响较大。
同时城市人口密度，土地利用率，机
动车密度也是造成重金属污染的原因。
针对问题三，我们从两
个方面考虑建模即以点为传染源和以线为传染源。针对以点
为传染源我们建立了两个模型
：无约束优化模型
D
m
x
< br>i
x
2
y
i
y
2
，得到污染
源的位置坐标
5567
,
6782
；有衰减的扩散过程模型得位置坐标（
8500,5500
），模型为：
2
2
2
u
2
u
2
< br>u
2
u
a
b
c
k
2
u
，
2
2
2
h
x
y
z
针对以线为传染源我们建立了
Y
u
0
be
c
l
模型，
并通过线性拟合分析线性污染
源
的位置。
针对问题四，我们在已有
信息的基础上，还应收集不同时间内的样点对应的浓度以
及各污染源重金属的产生率。根
据高斯浓度模型建立高斯修正模型，得到浓度关于时间
和空间的表达式
< br>C
C
0
e
ut
。
在本题求解过程中，
我们所建立的模型与实际紧密联系，
有很好的通用性和推广性。
但在求点污染源时，我们假设只有一个污染源，而实际上可能有多个点污染源，从而使
得误差增大，或者使污染源的位置够不准确。
关键词
内梅罗污染模型
无量纲化
相关性
回归模型
高斯浓度模型
一、问题重述
俗话说：
“一方水土养一方人”
。城市是人类活动最密集的地区，但在废物处理设施<
/p>
仍不发达的绝大多数地区
,
城市及其周边土壤依然发挥着重要的容纳和净化污染物的功
能
,
在强烈的环境负荷冲击下
,
土壤的服务功能面临极大的威胁
,
换言之
,
土壤的缓冲净化
功能将接近极限并有被超过的危险
,
因而将导致严重土壤污染的产生
,
而其结果将是长远
和危险的。随着城市经济的快速发展和城市人口的不断
增加，人类活动对城市环境质量
的影响日显突出。
人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。我们将城区
< br>分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区五个部分，分别进行土壤地质环
境的调查，对城市环境质量做出评价，希望能有效控制重金属污染物的排放及扩散，制
定相关措施保护好我们赖以生存的周边环境，根据题意，本文需要解决的问题有：
(1)
给出
8
种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金
属的污染程度。
(2)
通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3)
分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污
染源的位置。
(4)
为更好地研究城
市地质环境的演变模式，
还应收集什么信息？有了这些信息，
如
何建立模型解决问题？
二、
模型假设
⑴不考虑元素间的相互作用的影响
⑵
短期内重金属元素的物理、化学变化及迁移对周围环境影响不大
⑶假设附录中所给
8
种重金属元素的背景值真实
⑷不考虑历史沉积的重金属的影响
三、符号说明
x
i
第
i
种元素在第
j
个采样点的浓度（
i
1
,
2
,...
< br>8
）
；
；
x
第
i
种元素浓度的平均值（
i
1
,
2
,...
8
）
x
i
第
i
种元素在第
j
个采样点无量纲化后的数值（
j
1
,
2
,..
.
5
）
；
P
i
第
j
个功能区重金属
i
的单项污染指数（
j
1
,
2
,...
5
）
；
C
i
第
j
个功能区重金属
i
含量的实测值（
j
1
,
2
,...
5
）
；
D
污染距离积；
h
污染源位置与已知采样点的距离；
x
i
,
y
i
给定采样点的坐标；
四、
数据处理
4.1
对重元素的分析
城市工业“三废”排放，金属采矿和冶炼，家庭燃煤，生活垃圾，汽车尾气排放都
< br>增加了城市土壤重金属的负荷。重金属污染环境的主要有汞、铅、铬、锌镉、铜等。其
中汞的毒性最大，铬、铅、锌等也有相当大毒性。此外还有砷，砷虽不属于金属
.<
/p>
但它
的毒性与重金属相似，因此归于重金属一类阐述，称为类金属
。目前对我国土壤污染比
较普遍的重金属有汞、铬、砷。根据该城区重金属污染的情况，
下面对重金属在土壤污
染中的来源及传播途径作简要介绍。
4.1.1
砷元素
< br>该元素毒性很低，水体中含砷污染物主要来自砷和含砷金属矿的开采、冶炼，以及
和砷化物为原料的玻璃、颜料、药物、纸张的生产都可产生含砷的废水，造成水体的砷
污
染。砷及砷化物在水中会在水生物体内累积，但累积程度比其他重金属要低。砷和砷
化物
，一般可通过水、大气和食物进入人体。
4.1.2
镉元素
< br>当环境受到镉污染后，镉可在生物体内富集，通过食物链进入人体引起慢性中毒。
镉的主要污染源是电镀、采矿、冶炼、染料、电池和化学工业等排放的废水。相当数量
的
镉通过废气、废水、废渣排入环境，造成污染。镉对土壤的污染主要有气型和水型两
种。
气型污染主要来自工业废气。镉随废气扩散到工厂周围并自然沉降，蓄积于工厂周
围的土
壤中，可使土壤中的镉浓度达到
40ppm
。
< br>水型污染主要是铅锌矿的选矿废水和有
关工业（电镀、碱性电池等）废水排入地面
水或渗入地下水引起。
4.1.3
铬元素
< br>对水体污染的铬主要来源于电镀、制革、铝盐生产以及铬矿石开采所排放的废水。
是我国水体中一种普遍的污染物。水体中铬污染主要是三价铬和六价铬，它们在水体中
的
迁移转化有一定的规律性。
4.1.4
铜元素
< br>铜
(Cu)
及其化合物在环境中所造成的污染称为铜污染
。主要污染来源是铜锌矿的开
采和冶炼、金属加工、机械制造、钢铁生产等。冶炼排放的
烟尘是大气铜污染的主要来
源。世界铜的年迁移量为
:
岩石风化
20
万吨
,<
/p>
河流输送
11
万吨
4.1.5
汞元素
汞是在常温下唯一呈液态的金属元素。人类活动造成水体汞污染，主要来自氯碱、
塑料、电池、电子等工业排放的废水。由于天然本底情况下汞在大气、土壤和水体中均
有分布，所以汞的迁移转化也在陆、水、空之间发生。
4.1.6
镍元素
< br>镍污染是由镍及其化合物所引起的环境污染。大部分煤含有微量镍
,
通过燃烧过
程被释放出来
,
这是大气中镍的主要来源。镍可以在土壤中富集。土壤中的镍主要
来源于岩石风化，大气
降尘，灌溉用水（包括含镍废水）
，农田施肥，植物和动物
残体
的腐烂等。全世界每年镍的迁移状况是：岩石风化量为
320
000
吨，河流输送量
为
19 000
吨
,
开采量为
560 000
吨，矿物燃料燃烧排放
5
600
吨。
4.1.7
铅元素
< br>铅对环境的污染，一是由冶炼、制造和使用铅制品的工矿企业，尤其是来自
有色金
属冶炼过程中所排出的含铅废水、废气和废渣造成的。二是由汽车排出的
含铅废气造成的
，汽油中用四乙基铅作为抗爆剂（每公斤汽油用
1
～
3
克）
，在汽
油燃烧过程
中，铅便随汽车排出的废气进入大气，成为大气的主要铅污染源
4.1.8
锌元素
< br>锌在土壤中富集，会使植物体中也富集而导致食用这种植物的人和动物受害。
金属
锌本身无毒，但在焙烧硫化锌矿石、熔锌、冶炼其他含有锌杂质的金属的过
程中
,
以及在铸铜过程中产生的大量氧化锌等金属烟尘，对人有直接的危害。
其他
如橡胶轮胎的磨损以及煤的燃烧也是大气锌污染的原因。各种工业废水的排放是引<
/p>
起水体锌污染的主要原因。
4.2
对基本数据的分析
用
EXCELL
软件和
SPSS
统计软
件处理数据如表
1
所示：
表
1
功
能
区
生
活
区
元素
平均值
最大值
最小值
标准差
变异系数
平均值
工
业
区
最大值
最小值
标准差
变异系数
平均值
山
区
最大值
最小值
标准差
变异系数
平均值
交
通
区
公
园
绿
最大值
最小值
标准差
变异系数
平均值
最大值
最小值
As
Cd
Cr
Cu
(μg/g)
(ng/g)
(μg/g)
(μg
/g)
6.27
11.45
2.34
2.15
0.34
7.25
21.87
1.61
1.61
0.22
4.04
10.99
1.77
1.80
0.44
5.71
30.13
1.61
3.24
0.57
6.26
11.68
2.77
289.96
86.80
183.68
0.63
393.11
114.50
114.50
0.29
152.32
407.60
40.00
78.38
0.51
360.01
50.10
243.39
0.68
280.54
1024.90
97.20
69.02
18.46
107.89
1.56
53.41
15.40
15.40
0.29
38.96
173.34
16.20
24.59
0.63
58.05
15.32
81.61
1.41
43.64
96.28
16.31
49.40
248.85
9.73
47.16
0.95
127.54
12.70
12.70
0.10
17.32
69.06
2.29
10.73
0.62
62.21
12.34
120.22
1.93
30.19
143.31
9.04
Hg
(ng/g)
93.04
550.00
12.00
102.90
1.11
642.36
11.79
11.79
0.02
40.96
206.79
9.64
27.85
0.68
446.82
8.57
2180.27
4.88
114.99
1339.29
10.00
Ni
Pb
Zn
(μg/g)
(μg/g)
(μg/g)
18.34
32.80
8.89
5.66
0.31
19.81
41.70
4.27
4.27
0.22
15.45
74.03
5.51
10.43
0.67
17.62
6.19
11.79
0.67
15.29
29.10
7.60
69.11
24.43
72.33
1.05
93.04
31.24
31.24
0.34
36.56
113.84
19.68
17.73
0.49
63.53
22.01
32.53
0.51
60.71
26.89
237.01
43.37
443.64
1.87
277.93
56.33
56.33
0.20
73.29
229.80
32.86
30.94
0.42
242.85
40.92
384.78
1.58
154.24
37.14
1044.50
744.46
472.48
2893.47
1092.90
285.58
2528.48
13500.00
434.80
1626.02
1619.80
920.84
1364.85
16000.00
142.50
181.48
3760.82
227.40
1389.39
地
标准差
区
变异系数
2.02
0.32
235.84
0.84
14.84
0.34
22.68
0.75
224.28
1.95
4.97
0.33
45.84
0.76
230.92
1.50
4.3
元素浓度的无量纲化处理
<
/p>
在利用
SPSS
统计软件数据进行聚类分
析的时候，因为单位不统一需要进行无量纲
化处理，我们采用均值化方法，即每一个变量
除以该变量的平均值，即
x
i
x
i
，
(1)
x
标
准化以后各变量的平均值都为
1
，标准差为原始变量的变异系数
。该方法在消除量纲
和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息，差异程
度越大的变量对综
合分析的影响也越大。
4.4
重金属元素间的相关性分析
研究土壤中重金属的相关性可以推测重金属的来源是否相同
,<
/p>
若重金属含量有显著
的相关性
,
说明有相同来源的可能性较大
,
否则来源可能不
止一个
.
我们用积差法来计算各重金属之间的相关系数，
所谓积差法就是用两个变量的协方
差与两个变量的标准差的乘积之比
：
2
xy
r
x
y
x
x
y
y
x
x
y
y
<
/p>
2
2
x
xy
x
y
2
x
2
y
< br>2
y
2
Ni
表
2
重金属元素间的相关系数
重金属
As
Cd
Cr
Cu
Hg
Ni
Pb
Zn
As
1
0.255
**
**
**
Cd
1
**
*
*
**
**
**
**
Cr
1
**
Cu
1
0.417
**
**
**
**
Hg
1
**
**
Pb
1
**
**
Zn
1
**
1
0.189
0.352
0.064
**
**
**
0.160
0.397
0.532
0.265
0.103
**
**
**
0.317
0.329
0.716
0.495
0.103
0.290
0.660
0.383
0.520
0.298
0.307
0.247
0.431
0.424
0.387
0.196
0.436
0.494
由元素间的相关系数（见
表
2
）我们对这些元素进行粗略的分组，大致分为以下两组：<
/p>
A
组：
Cr<
/p>
，
Ni
，
Cu
B
组：
Pb
，
Cd
，
Zn
而对于
As
、
Hg
由相关系数表可见，其相关系数较小，我们认为相关参数小的元素间没
有关系，所以
将其各自单独一组。
下面我们建立回归模型图像验证它们之间的函数关系：
2
1.5
1
0.5<
/p>
0
P
b
N
i
1.5
1
0.5<
/p>
0
0.5
1
1.
5
图
1 Cr
与
Ni
2
0
0
0.5
1
图
2 Cd
< br>与
Pb
1.5
2
1.5
Z
n
2
1.5
C
u
1
0.5
0
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
图
3 Pb
与
Zn
2
0
0.5<
/p>
1
1.5
图
4
Cr
与
Cu
2
显然
Cr
，
N
i
和
Cu
及
P
b
，
Cd
和
Z
n
显示属于适度空间相关性，
反映区域因素
（土壤母质）
对其含量的影响较大
，
而
As
、
Hg
元素则属于低空间相关性，
说明其受到人为因素
（工
业布局
施肥
灌溉和土地利用方式等
）作用较强。
五、模型的分析、建立与求解
5.1
问题一
5.1.1
重金属的空间分布
由附件中所给的数据，我们考虑将各采样点的坐标和重金属的浓度建立对应关系，
利用
Matble
软件画出等高线来体现该城区
8
种重金属的空间分布。
15000
1
0
10
5
5
5
15000
0
0
5
0
1
0
5
y
5
y
10000
5
0
0
0
5000
1
0
5
5
1
1
0
5
5
0
5000
5
0
1
2
4
< br>征
图
1
城
市
土
壤
As
的
空
间
分
布
特
x 10
0
-
0
5
0
1<
/p>
0
0
-
0
0
0
0
5
5
0
0
1
2
4
征
图
2
城
市
土
壤
Cd
的
空
间
分
布
特
x
10
0
5
0
5
0
0
5
5
0
0
1
0
2
0
5
5
5
1
5
5
< br>5
-
5
0
5
5
10000
5
< br>0
0
0
5
0
0
0
15000
< br>0
15000
0
0
0
4
0
-
< br>2
0
0
2
0
0
0
0
y
y
10000
0
10000
5000
0
6
0
0
5000
5
0
0
5
0
0
0
0
1
< br>2
4
征
图
3
城
市
土
壤
Cr
的
空
间
分
布
特
x 1
0
0
1
2
4<
/p>
征
图
4
城
市
土
壤
Cu
的
空
间
分
布
特
x 10
0
0
0
5
0
0
5
5
1
< br>0
5
0
0
0
0
1
0
0
从图中可以看出：该城市土壤中
As
元
素的分布没有出现明显的富集，整体有从西
向东递减的趋势
(<
/p>
见图
1)
。
说明
人类活动对
As
元素的分布影响不大。
所以可以推断城市
土壤中这种元素主要是自然来源
,
另外它的浓度在中国土壤背景值范围内
,
这说明它
的
含量可能主要受成土母质影响。
该
城市土壤中
Cd
元素的分布没有出现明显的富集，整体浓度偏差
不大（见图
2
）
。
对比数据可以看出，整个城市除边缘部分外
Cd
的浓度都明
显高于背景值的范围。可知
该城市
Cd
污染很严重。
该城市土壤中
Cr
和
Cu
两种元素含量的空间分布规律比较相
似
(
见图
3
、
图
4),
表现
为
,
在西南部形成一个明显峰值
,
并且西部
Cr
和
C
u
的浓度远远超出背景值的范围。
从整
体上看，两种元素的浓度在东部和中部都为零，显然西部高于中东部。
5
1
5
5
5
1
0
-400
< br>-6
0
0
-
8
0
0
-500
< br>-
1
0
0
0
0
0
0
0
15000
0
15000
2
0
2
< br>0
2
0
2
0
2
0
20
40
0
0
-
2
2
0
0
2
0
0
0
0
y
0
y
0
6
0
0
0
< br>0
0
0
0
0
0
4
0
0
2
0
2
0
1
2
4
征
图
5
城
市
土
壤
Hg
的
空
间
分
布
< br>特
x 10
2
0
0
1
2
4
征
图
6
城
市
土
壤
Ni
的
空
间
分
布<
/p>
特
x 10
0
2
0
5
0
2
5
2
3
0
0
0
0
0
0
1
0
5
< br>0
5
0
15000
5
0
15000
y
y
10000
5
0
0
5
1
5000<
/p>
5
0
2
0
5
0
0
1
0
0
0
1
150
0
0
2
5
5
0
2
5
0
0
0
0
0
0
0
0<
/p>
1
3
1
5
2
5
0
5
5
0
0
1
2
4
征
图
7
城
市
土
壤
Pb
的
空
间
分
布
特
x
10
10000
0
5
< br>0
0
5
0
5
0
3
5
0
5
0
1
0
0
0
5000
0<
/p>
0
0
5
0
0
5
0
0
0
0
5
0
5
0
0
0
1
2
4
征
图
8
城
市
土
壤
Zn
的
空<
/p>
间
分
布
特
x 10
0
2
0
5000
5000
2
0
8
0
2
0
0
-
2
-
8
-
4
-
0
6
0
0
0
6
4
0
< br>0
2
0
10000
2
0
0
0
< br>0
0
0
10000
20
0
0
2
0
0
0
5
0
2
0
2
0
0
2
0
2<
/p>
0
0
5
0
0
-5
00
0
0
-
1
0
0
1
0
0
该城市土壤中
Hg
和
Zn<
/p>
两种元素含量的空间分布规律比较相似
(
见图
5
、
图
8
),
表现
为
,
一个峰值区出现在西南部，一个峰值区出现在中南部，另外一个峰值区出现在中部。
当然
，两图也存在着不同之处。
Hg
元素除峰值区外，其他部分的浓
度大都为零，而
Zn
元素除峰值区外，还有整个的西部浓度远远
超出背景值的范围，其余部分的浓度为零。
该城市土壤中
Ni
和
Pb
两种元
素含量的空间分布规律比较相似
(
见图
6
、图
7)
，虽
然
Pb
比
Ni
多出一个明显峰值区，但可以看到两种元素的峰值区都分布在西南部。并且
两元素在西
部的浓度明显高出背景值范围，而在东部的浓度都非常接近背景值的范围，
整体有从西向
东递减的趋势。
同时，
土壤中重金属
元素的空间分布还显示出各元素的异常分布区具有地理趋势的
相似性，指示其可能受共同
的污染源影响
5.1.2
不同功能区的污染程度
<
/p>
为了求得各功能区的污染程度，我们建立了内梅罗多因子污染综合评价模型，我们
首先求得单项污染指数式为
:
P
i
C
i
< br>, (2)
S
i
式中
:
P
i
为区域
重金属
i
的单项污染指数；
C
i
为重金属
i
含量的实
测值；
S
i
为重金属
i
含量的起始评价值，其中起始评价值为所给重金属元
素的背景值加上两倍的标准差，即
S
i
a
i
2<
/p>
；若
P
i
1
，则表示该区域受到污染。
多项污染综合指数式为
:
2
2
P
平均
P
m
ax
P
综
2
1
/
2
0
0
1
0
, (3)
0