数学建模关于优化问题的论文
-
暑期数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了暑期数学建模竞赛规则
.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网
上
咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的
,
如果引用别人的成果或其他公开的
资料（包括网上查到的资料）
，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参
考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平
性。如有违反竞赛规
则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从
A/B<
/p>
中选择一项填写）
：
A
参赛队员
(
打印并签名
)
：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人
(
打
印并签名
)
：
教练组
日期：
11
年
8
月
12
日
评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
暑期数学建模竞赛
编
号
专
用
页
评
阅
人
评
分
备
注
评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
评阅记录（可供评阅时使用）：
统一编号：
评阅编号：
多因素条件下作物施肥效果分析
摘要
本文是关于作物施肥数量与结构
的优化问题，
根据不同目标对施肥量与肥料搭配比
例进行调整，
达到各目标的最优。
首先，
基于一元
线性回归模型，
以一种肥料作为自变量，
另外两种肥料固定在第
七
水平，
建立了六个一元回归方程，
分
别研究某一种肥料变化时，
该肥料施肥量与产量的
关系。根据散
点图趋势，初步选取适当的一元函数，为了使散点图更直观准确，将原数
据进行无量纲化
处理，得到
0
到
1
间的值。利用
eviews
软件进一步对一元函数进行拟<
/p>
合，选取显著性最高的拟合结果，求解时，对非线性的回归方程，通过取对数将其线性
化，
得到结果后再将其转换成原函数形式，
最终得到六个反映施肥量与产量关系的一元
回归模型。
为了提高
六个回归方程整体的显著性，
本文以三种肥料的施肥量同时作为自
变量，建立三元二次回归模型，检验均通过，并具有高度的显著性，拟合效果较好。
其次，基于问题一中的一元线性回归模型与三元二次回归模型分别求解回归方程的
最大值，即产量最大值。比较两个模型的结果，看出，由三元二次回归模型得到的产量
更大，其中土豆与生菜产量的最大值分别为
44.95t/ha
，
23.04t/ha
。土豆对应的
N
、
P
、
K
肥料的施肥量分别为
293.13kg/ha
，
250.0kg/ha
，
< br>540.0kg/ha
。生菜对应的
N
< br>、
P
、
K
肥料的施肥量分别为
212.06kg/ha
，
426.91kg/ha
，
665.69kg/ha
。
再次，
考
虑到施肥的经济性，
以产值和施肥费用作为自变量，
以总收益作
为因变量，
建立收益最大化模型。
分别基于反映产量与施肥量关
系的一元回归模型与三元二次回归
模型，进行求解。由一元回归模型得到结果，当生菜<
/p>
K
肥施肥量无穷大时，收益也趋近
于无穷
大，
显然不合理，
本文以一元二次函数对六个回归方程重新进行
拟合，
检验看出，
显著性不高，
但基于
新的回归方程得到的结果更加合理，
更符合实际情况，
具有较高
的
实用性。基于三元二次回归模型进行求解时，通过（
0,0,
0,0
）点的引入，增加了三种
肥料交互影响产生的交叉项，<
/p>
避免了肥料搭配不合理造成的大量浪费。
比较两种模型的
结果看出，
基于三元二次回归方程得到的收益更大，
土豆与生菜的最大值分别为
102500
元
/
公顷，
52023
元
/
公顷。
再次，引
入环保因素时，通过两种方法实现，一是基于收益最大化模型，将污染指
数作为限制条件
，
以收益最大为目标，
建立线性规划收益最大化模型。
二是引入目标偏
差变量，以偏差变量之和最小为目标，以污染指数，肥料
搭配比例作为约束条件，建立
多目标规划模型，以环境指数小于
25
为前提，追求收益尽量大。比较两种模型的结果
看出，多目
标规划的的结果更符合本问的要求，土豆与生菜的最大收益值分别为，环
境指数为
25
，属于轻度污染，
K
< br>肥施肥量超过满意值，但
K
肥适当增加能够增大
收益，对土地没有造成污染，收益实际值与满意值相差不大，结果比较合理，符
< br>合本问的要求。
最后对
模型应用效果作量化估计，
难点在于如何对优化模型进行改进，
得到评价模
型。
本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差
值占满意值的比例作为单目标的满
意度，
利用层次分析法得到单
目标权重值，
根据单目标的权重值与满意度求和可以得到
多目标
满意度，
根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。
从而建立基于层
次分析法与多目标规划的评价模型。
最后对模型
的推广作初步讨论，
验证了模型较高的
应用价值。
1
1.
问题的重述
农作物生长所需的营养素主要是氮
(N)
、磷
(P)
、钾
(K)
。某作物研究所在某地区
对土豆与生菜做了一定
数量的实验，实验数据如下列表所示，其中
ha
表示公顷，
t
表
示吨，
kg
表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持
在第七个水
平上，如对土豆产量关于
N
的施肥量做实验时，
P
与
K
的施肥量分别取为
196kg/ha
与
372kg/ha
。
(1)
试分析施肥量与产量之间关系；
(2)
试以作物产量最大化为目标，建立作物施肥数量与结构的
优化模型，并求解每
公顷土豆和生菜的施肥量的数量和结构；
(3)
作物产量最大化，不一定是最经济的，请考虑施肥的经济
性，建立作物施肥数
量与结构的优化模型，
并根据主要肥料的营
养素含量、
市场价格情况，
以及农产品的价
格情况等，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构；
(4)
有研究表明，我国大部分地区作物生产的施肥量超过了土地承受能力，除加重<
/p>
农民负担外，
土壤退化、
江河湖海的富营
养化正在成为农业和环境可持续发展的严重障
碍。
由于施肥给蔬
菜带来的污染有两个途径，
其一是通过肥料中所含有的有毒有害物质，
< br>如重金属、
病原微生物等直接对蔬菜或土壤的污染；
其二
是通过不合理施入大量氮素肥
料造成蔬菜体内硝酸盐的过量积累，
导致蔬菜品质和口感较差。
鉴于以上情况，
请在问
题
(3)
的优化模型的基础上，进一步改进你的模
型，根据实验数据，并进行合理的数值
假定，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结
构。
(5)
对所得模型与结果从如何
改进与应用价值与效果等方面做出量化估计。
2.
问题的假设
1.
假设本文搜到的数据是科学准确的，不会在短期内变动。
2.
假设
N
、
P
、
K
三
种肥料都是农作物生长的基本肥料要素，本文近似认为如果三
种肥料都不施用，农作物没
有产量。
3.
假设生产的农作物可以
以标准价格售出，并且其他因素的支出暂时算入收益考
虑。
<
/p>
4.
假设土壤中含有
N
< br>、
P
、
K
元素标准，对模型影响忽略不计。
3.
符号的说明
主要符号
N
、
P
、
K
符号意义
氮、磷、钾肥
表示施用
N
肥的产量
表示施用
P
肥的产量
表示
施用
K
肥的产量
2
Y
N
Y
P
Y
K
Y
表示总产量
表示蔬菜售价
表示
< br>N
、
P
、
K
肥的售价
表示施用
N
、
P
、
< br>K
肥的是施肥量
施肥量
表示施用
N
、
P
、
K
肥时的收益
总体满意度
为最满意产量值、最满意效益值
S
b
N
、
b
P
、
b
K
n
、
p
、
k
< br>
Q
m
N
、
m
P
、
m
K
M
m
1
、
m
2
4.
问题的分析及建模流程图
本问题涉及的是作物施肥数量与结构的优化问题，要解决的问题是如何建立及深
化模型，逐步引入限制因素，达到最优目标，其中如何分配施肥量的数量和结构，达到
< br>多目标最优，是需要解决的核心问题。
4.1
基本思路
根据
N
、
P
、
K
肥料施肥量与作物产量的数据，
构造函数可以拟合出施肥量与产量的
关系，
该拟合函数的最大值
即对应产量的最大值。
考虑到施肥的经济性时，
通过对产量
最大化模型进行改进，以收益最大化为目标，得到收益最大时肥料的使用数量与结构。
引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最大化模型的基础上改进，
将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度
,
收益作为目标，将污
染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标
规划模型，得到多目标最优解。
4.2
具体分析
问题一：分析施肥量与产量的关系，选取适当的拟合函数是关键，有两种方法。一
是
以一个肥料的施肥量作为自变量，
将另外两个肥料的施肥量保持在第七水平，
以产量
作为自变量构造六个一元函数，
表示三种肥
料分别作为自变量时，
两种作物施肥量与产
量的关系。二是以三
种肥料作为自变量，以产量作为因变量，构造三元函数，拟合施肥
量与产量的关系。具体
的函数拟合结果的求解通过
eviews,Matlab
软件实
现。
问题二：问题一中拟合函数的最大值即产量的最大值，基
于问题一中的模型，通
过求解其产量最大值，得到产量最大时各肥料的施肥量和结构。<
/p>
问题三：考虑到施肥的经济性，以收益最大化为目标，通过作
物产量与售价得到
产值，
求解产值时可以基于反映产量与施肥量
关系的一元函数，
也可以基于三元二次函
数。
< br>通过施肥量与肥料售价得到施肥成本，
以产值与施肥成本作为自变量。
以施加肥料
产生的收益作为因变量（因其它成本产生的收益为定值，近似忽
略不计）
，构造二元函
数。该函数的最大值即为收益的最大值，
由此时自变量的值得到肥料使用数量与结构。
3
问题四：
引入环保因素时，
有两种方法可以考虑实
现，
第一是在收益最大化模型的
基础上改进，将污染指数作为限
制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度
,
收益作
为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，得到多目标
最优解。
问题五：对模型应用效果作量化估计，
难点在于如何对优化模型进行改进，得到
评价模型。
本文利用多
目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目
标的满意度，
利用层次分析法得到单目标权重值，
根据单目标的权重值与满意度求和可<
/p>
以得到多目标满意度，
根据多目标总体的满意度对模型应用效果作
量化估计。
从而建立
基于层次分析法与多目标规划的评价模型。
最后对模型的推广作初步讨论，
验证了模型
较高的应用价值。
4.3
流程图
作物施肥数量
与结构的优化
曲
线
拟
合
数
据
施肥量与产量
无
量
一元线性回归模型
钢
化
收
益
最
大
三
元
化
二
次
回
归
模
型
三
化
最
大
量
型
产
< br>归
模
回
次
元
二
定
义
合
理
权
重
系数
氮
磷
钾
最大满意度
调
多目标规划模型
配
比
例
引入产量条件
层次分析法
与多目标规划
评价模型
5
．模型的建立与求解
5.1
模型的准备
< br>在长期的实践中，农学家们已经总结出关于作物施肥效果的经验规律，并建立了相
应的理论
[1]
4
1.
公理
1
（
Nickla
和
Miller
理论）
：
设
h
为达到最高产量时的施肥量，
边际产量
(
h
x
)
成正比例关系。即
dW
a
(
h
<
/p>
x
)
，从而有
dx
dW
与
d
x
W
b
0<
/p>
b
1
x
b
2
x
2
.
2.
公里
2
（米采利希学说）
：只增加某种养分时，引起产量的增量与该种养分供应充足
dW
c
(
A
<
/p>
W
)
，从而有
时达到的最高产量
A
与现在产量
W
之差正比。即
dx
W
A
(1
exp(
cx
))
5.2
问题一
5.2.1
一元线性回归模型的选择与建立
为分析施肥量与产量之间的关系，本文以产量
y
作为因
变量，以施肥量
x
作为自变
量，
建立一元线性回归模型研究两者间的关系，
根据散点图的趋势，
构造适当的一元函
数进行求解。
设
y
与
x
的函数为：
f
Y
i
a
bx
i
< br>cx
i
2
（
1
）
其中
a
，
b
为回归系数，
为随机误差。
利用最小二乘法求下式成立的函数
y
(
y
y
)
i
i
1
n
2
min
（
2
）
综上建立如下一元线性回归模型：
y
i
a
bx
i
i
,
i
1,
2,
,
n
2
E
(
)
0,
D
(
)
i
i
a
,
b
(
回归系数
)
，<
/p>
2
未知
（
3
）
n
(
y
y
)
2
min
i
i
< br>
1
5.2.2
一元线性回归模型的求解
为了使散点图更直观、准确，将施肥量的数据进行量纲化处理，得到（
< br>0
，
1
）间的
< br>值。利用
Matlab
软件处理数据得到
N
，
P
，
K
的施肥量与土豆和生菜产量的散点图。
5
图
1<
/p>
土豆施肥量与产量的散点图
图
2
生菜施肥量与产量的散点图
根据散点图趋势，利用
eviews
软件进行多次拟合，通过
P
、
R<
/p>
2
、
F
、
DW
的检验值
进行判定，选取最优的一元函数
。得到如下
N
，
P
，
K
的施肥量与土豆和生菜产量的回归
模型：
Y
N
a
bn
cn
2
i
<
/p>
Y
N
a
bn
cn
2
i
（
4
）
生菜
Y
P<
/p>
bp
t
（
5
）
土豆
Y
P
a
bp
1
i
< br>
Y
a
bk
t
Y
bk
i
K
K
式（
4
）中的<
/p>
Y
Ki
与式（
5
）中的
Y
Pi
为一元非线性回归方程，分别对
Y
K
，
Y
P
等式两边
取对数，使之线性化：
ln
Y
K
<
/p>
ln
b
t
ln
k
（
7
）
（
8
）
ln
Y
P
ln
b
t
ln
p
利用
eviews
软件计算得到
:
ln
Y
K
ln16.61
0.152ln
k
ln
Y
P
ln
2.545
0.353ln
p
将对数形式化为指数形式计算得到土豆的
Y
Ki
与生菜的
Y
Pi
结果。
Y
< br>K
16.61
k
0.152
Y
P
2.545
p
0.353
式（
4
）与式（
5
）中的其余方程为一元线性回归
方程，可直接利用
eviews
软件进
行计算，综上得到如下结果：
6
Y
N
14.
75
0.197
n
< br>
0.00034
n
2
土豆
Y
P
42.388
252.6
p
1
0.152
Y
16.61
k
< br>
K
Y
N
10.23
< br>0.101
n
0.00024
n
2
生菜
Y
P
2.545
p
0.
353
Y
16.271
0.0047
k
K
结果分析：从回归方程可看出，
Y
N
为一元二次方程，二次项系数为负数，方程
有
最大值。随着
N
肥用量的增加，农作
物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大，然
后当
N
肥用量继续增加时，
农作物的产量反而会降低。
在一定范围内，
农作物产量随着
P
肥
和
K
肥的用量的增加一直增加。
5.2.3
一元线性回归模型的检验
利用
eviews
软件处理数据，得到
六组回归方程的检验值如下：
表
1
一元回归方程的检验值
作物
肥料
a
(
p
)
N
土豆
P
K
N
生菜
P
K
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0012
0.0000
x
(
p
)
x
2
(
p
)
R
2
DW
P
(<
/p>
F
)
0.0000
0.0001
0.0005
0.0000
0.0000
0.0332
0.0000
0.986290
2.141965
0.000000
0.911479
2.745148
0.000062
0.838049
1.200879
0.000532
0.0001
0.924907
1.849664
0.000116
0.946020
0.951693
0.000011
0.451954
2.456193
0.033204
其中
a
(
p
)
、
x
(
p<
/p>
)
、
x
2
(
p
)
分别表示方程
常数
a
、
x
前
系数
b
、
x
2
前系数
c
的检验值。
< br>土豆的
Y
K
与生菜的
Y
P
为非线性方程，
a<
/p>
(
p
)
、
x
(
p
)
对应其线性形式即式（
7
）
、式（
8
）
中常数
< br>ln
b
、
ln
< br>p
前系数
t
的检验值。
检验均通过，说明模型的拟合度较高，能够较好地反映施肥量与产量之
间关系。
利用
Matlab
软件处理原数据与回归方程，得到六组回归方程的实际值与拟合值的
对比
图，实际值与拟合值基本一致，进一步验证了模型的准确性。
7
图
3<
/p>
土豆
N
肥对比图
图
4
土豆
P<
/p>
肥对比图
图
5
土豆
K
肥对比图
图
6
生菜
N
肥对比图
图
7
< br>生菜
P
肥对比图
图
8
生菜
K<
/p>
肥对比图
5.2.4
模型的改进
表
1
中回归方程的检验值均通过，六个回归方程并不
都具有高度的显著性，
生菜
Y
K
中
R
2
值为
0.451954
，与其它五个方程的检验值有较大差异，生菜
Y
P
中
DW
值为
0.951693
，与理想值相差较大。二次
函数能够较好地反映肥料施肥量与产量
的关系（公理
1
），为了提高回归方程整体的显著性，本文将三种肥料的施肥量
最为自变
量，以农作物的产量作为因变量，拟合成三元二次函数，建立多元回归
模型，进一步分析
施肥量与产量之间关系。
< br>Y
a
b
1
n
c
1
n
2
b
2
p
c
2
p
2
b
3
k
< br>
c
3
k
2
（
9
）
利用
eviews
软件处理数据计算得到土
豆与生菜的回归方程结果及检验值：
Y
1
12.0423
0.1876
n
0.00032
n
2
0.0805
p
< br>0.000161
p
2
0.0725
k
6
.76
10
5
k
2
Y
2
7.4514
0.0933
n
0.00022
n
0.0
454
p
3.41
< br>
10
p
0.0257
k
3.01
10
k
2
5
2
5
2
结果分析：
一元回归方程只能反映一种肥料与产量的关系，改进后的模型能
够反映出三种肥料搭配情
况的不同对农作物产量造成的影响，避免了多个回归方
程显著性的不一致。
由
Y
1
< br>，
Y
2
中一次项前的系数可反映
各肥料对产量的影响程度，
0.1876
0.0805
0.0725
，<
/p>
0.0933
0.0454
0.0257
。此三种肥料的影响程度
N
P
K
。
8
表
2<
/p>
三元二次回归方程的检验值
作物
a
<
/p>
n
(
p
)
n
2
(
p
)
p
(
p
)
p
2
(
p
)
k
(
p<
/p>
)
k
2
(
p
)
R
2
DW
P<
/p>
(
F
)
土豆
0.005
0.000
0.000
0.001
0.018
0.000
0.001
0.912
1.479
0.000
生菜
0.011
0.000
0.000
0.000
0.005
0.003
0.020
0.859
1.107
0.000
其中
p
表示系数的检验值，检验都通过
，从检验值看出两个回归方程均具有
高度的显著性，拟合效果较好。
5.3
问题二
:
模型的建立及求解
5.3.1
基于一元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解
本问只追求高产，则只要求出问题一中拟合出的函数的最大值
即可。
分别对问题一中拟合的
一元二次回归模型和改进后的三元二次回归模型进行
求解。
<
/p>
由原数据散点图及得到的拟合曲线知，
N
肥用量较少时，随着
N
肥用量增加，
农
作物产量会增加，到一定用量后达到最大，
N
肥继续增加，农作
物产量反而会
降低。
P
肥和
K
肥用量对农作物产量的影响随着其用量的增加而一直增加，但
P
和
K
用量少时，效果显
著，当
P
和
K
达到一定值时，产量增加将不明显，因此基
于一元二次回归方程求解产量最大化，可以简
化为
P
、
K
肥
固定在较高水平，求解
产量最大化时
N
肥的施肥量。
本文将
P
、
K
肥固定在第
7
水平，利用问题一中土豆与生菜的一元二次回归方
程
Y
Ni
进行求解。
Y
N
< br>a
bx
cx
2
i
(10)
求导，令其为零，有
Y
N
< br>0
b
b
时，
Y
Ni
取得最大值，即
N
肥使用量为
时，产
量最大。
2
c
2
c
综上得到如下模型：
则，当
x
i
Y
N
< br>a
bx
cx
2
i
Y
Ni
0
(11)
x
b
/
2
c
经计算得到
P
、
K
肥固定在第
7
水平时，产量最大化的结果。
表
3 P
、
K
肥施肥量固定最大产量与
N
肥施肥量
结果
作物
土豆
生菜
N
施肥量
2
89.70
kg
/
ha
210.42
kg
/
ha
P
施肥量
1
96
kg
/
ha
196
kg
/
ha
9
K
施肥量
3
72
kg
/
ha
372
kg
/
ha
最大产量
43.29
t
/
ha
20.86
t
/
ha
土豆
与生菜
N
的施肥量分别为
289.70
kg
/
ha
，
210.42
kg
/
< br>ha
产量最大，最大值分
别为
4
3.29
t
/
ha
，
20.86
t
/
ha
。此时
P
、
K
施肥量保持在第七水平，即
196
kg
/
ha
与
372
kg
/
ha
。
5.3.2
基于三元
二次回归方程产量最大化模型的建立及求解
根据改进后的反映三种肥料与产量关系的三元二次函数
Y
i
求解目标最大值。
Y
a
b
1
n
c
1
n
2
b
2
p
c<
/p>
2
p
2
b
3
k
c
3
k
2
对土豆与生菜的三元二次
Y
1
i
，
Y<
/p>
2
i
分别求解其产量最大值与对应的
x
1
i
,
x
2
i
,
x
3
i
，
< br>三种肥料的施肥量。
Y
1
i
12.04
23
0.1876
n
0.00032
n
2
0.0805
p
0.000161
p
2
0.0725
k
6.76
10
5
k
2
Y
2
i
7.4514
0.0933
n
0.00022
n
0.0454
p
3.41
10
p<
/p>
0.0257
k
3.01
10
< br>k
2
5
2
5
2
利用
Matlab
软件求解得到产量最
大时土豆与生菜
N
、
P
、
K
三种肥料的施肥量与最
大
值如下表：
表
4
基于三元二次回归方程最大产量与
施肥量的求解结果
作物
土豆
生菜
结果分析：以产量最大化为目标，比较两个模型得到的结果，
看出，基于三
元二次回归方程求解得到的产量最大值更优，因此本问采用表
4
的结果。
5.4
问题三：模型的建立及求解
5.4.1
收益最大化模型的建立
<
/p>
假设当考虑到经济性时，作物产量以收益最大化为目标。使用肥料所带来的收
入比用于购买肥料的费用多时，就应该施肥，否则就不应该多施肥。
（
元
/
吨）
设某蔬菜的售价分别为
S
，
N
、
P
及
K
化肥的售价分别为
b
N
,
b
P
,
< br>b
K
(
元
/
吨
)
，
N
施肥量
293.13
kg
/
ha
212.06
kg
/
ha
P
施肥量
250.0
kg
/
ha
665.69
kg
/
ha
K
施肥量
5
40.0
kg
/
ha
< br>
426.91
kg
/
ha
最大产量
44.95
t
/
h
a
23.04
t
/
ha
k
/
公顷）
施肥量为
n
、
p
、（吨
。
当施肥量为
Q
(
t
/
ha
)
时，对于该蔬菜的产量为：
w
f
(
Q
)
(12)
该蔬菜施用
N
肥料的费用是：
h
nb
N
p
b
P
k
b
K
(13)
10