A. Mie米散射理论基础 (2)
-
米散射（
Miescattering
）
;
又称“粗粒散射”。粒子尺度接近或大于入射光波长的粒子散射现象
。
德
国
物
理<
/p>
学
家
米
(
G
u
s
t
a
v
M
i
e
,
1
8
6
8
—
1
9
5
7
)
指<
/p>
出
,
其
散
射
光
强
在各方向是不对称的
,
顺入射方向上的前向散射最
强。粒子愈大
,
前向散射愈强。
米散射
当球形粒子的尺度与波长可比
拟时，必须考虑散射粒子体内电荷的三维分布。此散射情况下，
散射粒子应考虑为由许多
聚集在一起的复杂分子构成，它们在入射电磁场的作用下
,
形成
振荡的多
极子
,
多极子辐射的电磁波相
叠加，就构成散射波。又因为粒子尺度可与波长相比拟，
所以入射波
的相位在粒子上是不均匀的，
造成了各子波在空间和时间上的相位差。
在子波组合产生散射波的地
方，将出现相位差造成的干涉。这些干涉取决于入
射光的波长、粒子的大小、折射率及散射角。当
粒子增大时，造成散射强度变化的干涉也
增大。因此，散射光强与这些参数的关系
,
不象瑞利散射
那样简单
,
而用复杂的级数表达，该级数的收
敛相当缓慢。这个关系首先由德国科学家
G.
米得出，
故称这类散射为米散射。
它具有如下特点：
①散
射强度比瑞利散射大得多，
散射强度随波长的变化
不如瑞利散射
那样剧烈。
随着尺度参数增大，
散射的总能量很快增加，
并最后以振动的形式趋于一
定值。②散射光强随角度变化出现许多极大
值和极小值，当尺度参数增大时，极值的个数也增加。
③
当尺度
参数增大时，
前向散射与后向散射之比增大，
使粒子前半球散射
增大
。
当尺度参数很小时，
米散射结果
可以简化为瑞利散射；
当尺度参数很大时，
它的结果又与几何光
学结果一致；
而在尺度
参数比较适中的范围内，
只有用米散射才能得到唯一正确的结果。
所
以米散射计
算模式能广泛地描
述任何尺度参数均匀球状粒子的散射特点。
19
世纪末，英国科学家瑞利首先解释了天空的蓝色：在清洁大
气中，起主要散射作用的是大
气气体分子的密度涨落。
分子散射
的光强度和入射波长四次方成反比，
因此在发生大气分子散射的
日光中，紫、蓝和青色彩光比绿、黄、橙和红色彩光为强，最后综合效果使天穹呈现蓝色。从而建
立了瑞利散射理论。
20
世
纪初，德国科学家米从电磁理论出发，又称粗进一步解决了均匀球形粒子的散射问题，
建
立了米散射理论，
粒散射理论。质点半径与波长
接近时的散射，
特点：粗粒散射与波长无关，
对各波
长的散射能力相同，
大气较混浊时，大气中悬浮较多的的尘粒与水滴时，天空呈灰白色。
米散射理论是由麦克斯韦方程组推导出来的均质球形粒子在电
磁场中对平面波散射的精确解。
一般把粒子直径与入射光波长相当的微粒子所造成的散射
称为米散射。
米散射适合于任何粒子尺度
,
只是当粒子直径相对于波长而言很小时利用瑞利散射、
很大时利用夫琅和费衍射理论
就可以很方便
的近似解决问题。米散射理论最早是由
G
1
Mie
在研究胶体金属粒子的散射时建立的。
1908
年
,
米氏通过电磁波的麦克斯韦方程
,
解
出了一个关于光散射的严格解
,
得出了任意直径、
任意成分的均匀粒子的散射规律
,
这就是着名的米氏
理论
[4-6]
。
根据米散射理论
,
当入射光强为
I0,
粒子周围介质中波长为λ的自然光平行入射到直径为
D
的各
向同性真球形粒子上时
,
在散射角为θ
,
距离粒子
r
处的散射光和散射系数分
别为
:
从上式中可以看到
,
因为是各向同性的粒子
,
散射光强的分布和φ角
无关。同时
,
上式中
:
i1
、
i2
为散射光的强度
函数
;s1
、
s2
称为散射光的振幅函数
;a
为粒子的尺寸参数
(a=
π
D/
λ
);m=m1+im2
为粒子相对周围介质的折射率
,
当虚部不为零时
,
表示粒子有吸收
。
对于散射光的振幅
函数
,
有
:
式中
an
、
bn
为米散射系数
,
其表达式为
:
其中
:
是半奇阶的第一类贝塞尔函数
;
勒让德函数
;P(1)n(cos<
/p>
θ
)
是第一类缔合勒让德函数。
是第二类汉克尔函数
;Pn(cos
θ
)
是第一类
Mie<
/p>
散射理论
Mie
散射理论是麦克斯韦方程对处在均匀介质中的均匀颗粒
在平面单色波照射下的
严格数学
解。由
Mie
散射知道
,
距离散射体
r
处
p
点的散射光强为
式中
:
为光波波
长
;I0
为入射光强
;Isca
为散射光强
;
为散
射角
;
为偏振光的偏振角。
式中
:
S
1
(
)
和
S
2
(
)
是振幅函数
;an
和
bn
是与贝塞尔函数和汉克尔函数有关的函数<
/p>
;
n
和
n
是连
带勒让得函
数的函数
,
仅与散射角
有关。其中
式中
:
n
(
)
和
n
(
)
分别是贝塞尔函数和第
一类汉克尔函数
;
n
和
n
(
)
的导数
;
为无因次直径
,
(
)
< br>
(
)
和
n
是
n
(
)
D
,D
为颗粒的实际直径
;
是入射光的波长
;m
是散射
颗粒相对于周围介质的折射率
,
它是一个复数
,
虚部是颗粒对光的吸收的量化。
由以
上公式可见
,Mie
散射计算的关键是振幅函数
S
1
(
)
和
S
2
(
)
,
它们
是一个无穷求和的过程
,
理论上无法计算。
求解振
幅函数的关键是计算
an
和
bn,
所以
Mie
散射的计算难点是求解
an
和
bn
。
Mie
散射理论的数值计算
通过以上分析可知
,Mie
散射计算的核心是求
解
an
和
bn,
我们编制程序也是围绕它进行编写。在
an
和
bn
的表达式中
n
(
)
,
n
满足下列递推关系
:
这些函数的初始值为
;
与散射角有关
的
n
(
<
/p>
)
和
n
(
)
满足下列递推
公式
:
(
)
,
n<
/p>
(
)
和
n
(
)
有了这些递推公式
可以很方便地通过计算机程序求解。
但是对于
n
的大小
,
因为计算机不可能计
算无穷个数据
,
所以
n
在计算之前就要被确定。
散射理论基础与
Matlab
实现
<
/p>
若散射体为均匀球体
,
如图
1
所示
,
照射光为线偏振平
面波
,
振幅为
E,
光强
I0,
沿
z
< br>轴传播
,
其电场
矢量沿
x
轴振动。散射体位于坐标原点
O,P
为观测点。散射光方向
(OP
方向
)
与照射光方向
(z
轴
)
所组
成的平面称为散射面
,
照射光方向至散射光方向之间的夹角θ称为散射角
,
而
x
轴至
OP
在
xy
平面上投
影线
(OP
′
)
之间的夹角φ称为极化角。观测点与散射体相距
r
。根据经
典的
Mie
散射理论
,
散射粒子
的尺度参数为α
=2
π
a/
λ
,
其
中
a
为球形粒子的半径
,
散射粒子相对周围介质的折射率为
m=m1+i
*<
/p>
m2
。
则散射光垂直于散射面和平行于散
射面的两个分量的振幅函数
为
:
以上式
中：
Jn+1/2(z)
和
Yn+1/2(z)
分别为半整数阶的第一类
,
第二类贝塞尔函数。
P
(1)
n
(cos
θ
)
为一阶
n
次第一类缔合勒让德函数
;Pn(cos
θ<
/p>
)
为第一类勒
让德函数。在数值模拟过程中选取初始下
:
< br>微粒子对光的散射和吸收是电磁波与微粒子相互作用的重要特征
,
而微粒对电磁辐射的吸收与
散射与粒子的线度有密切关系
,
对于不同线度的粒子必须应用不同的散射理论。
Mie
散射理论主要用
于从亚微米至微米的尺寸段
;
在微米以下至纳米的光散射则近似为形式更明晰简单的瑞利散射定律
< br>,
散射光强烈依赖于光波长λ
(I
～λ
-4
)
;
而对大于微米至毫米的大粒子则近似为意义明确的夫朗和费
衍射规律了。
Mie
散射理论给出了球型粒子在远场条件下的散
射场振幅
an
、
bn
< br>以及粒子内部电磁场振幅
cn
、
dn
的计算表达式
,
通常称为
Mie
散射系数
式中
m
表示微粒子外部介质的相对折射率
,
x=
κ
a,a
为球的半径
,
κ
=2
π
/
λ称为波数
,
μ为相对