曲边梯形的面积与定积分
-
22
、定积分
22
．
1
曲边梯形的面积与定积分
【
知识网络
】
1
．
了解定积分的实际背景。
2
．
初步了
解定积分的概念，并能根据定积分的意义计算简单的定积分。
【
典型例题
】
1
p
2
p
3
p
[
例
1]
（
1
）已知和式
n
P
1
则
A
可用定积分表示为
A
．
n
p
(
p
0)
当
n
→
+
∞时，无限趋近于一个常数
A
< br>，
C
．
（
）
1
0
x
dx
1
B
．
1
0
x
p
dx
1
p
(
0
x
)
dx
1
D
．
x
p
(
0
n
)
dx
1
（
2
）下列定积分为
1
是
A
．
（
）
1
0
x
dx
B
．
(
x
1
)
dx
0
1
C
．
1
dx
0
1
D
．
1
0
2
dx
1
（
3
）求由
y
e
x
,
x
2
,
y
1
围成的曲边梯形的面积时，若选
择ｘ为积分变量，则积分区间
为
（
）
A
．
［
0
，
］
B
．
［
0
，
2
< br>］
C
．
［
1
，
2
］
D
．
［
0
，
1
］
（
4
）
由
< br>y=cosx
及
x
轴围成的介于
0
与
2
π
之间的平面图形的面积，
利用定积分应表达为．
（
5
）计算
1
0
1
x
2
dx
=
。
[
例
2]
①利用定积分的几何意义，判断下列
定积分的值是正是负？
（
1
）
3
π
4
0
sin
x
d
x
；
< br>
（
2
）
1
e
d
x
；
（
3
）
ln
x
d
x
．
0
x
1
2
1
3
②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小
．
1
0<
/p>
x
d
x
，
1
0
x
2
d
x
，
1
0
x
3
d
x
。
[
例
3]
计算下列定积分：
< br>1
1
(1)
< br>(
x
1)d
< br>x
；
(2)
2
3
2
4
1
(
x
3)d
x
；
(3)
cos
x
d
x
；
(4)
x
3
d
x
。
0
2
2
[
例
4]
利用定积分表示图中四个图形的面积：
y
y
【
课内练习
】
y
=
x
2
y
=
x
2
1
．
下列定
积分值为
1
的是
A
．
tdt
0
1
y
1
y
=(
x
-1)
2
-
1
y
D
。
1
（
y
= 1
）
B
。
(
x
1)
dx
0
1
C
。
dx
0
1
dx
0
2
O
(4)
b
x
O
(1)
a
x
–
1
O
(2)
2
x
–
1
O
2
x
a
(3)
2
．
1
1
(
x
3
tan
x
x
2
sin
x
)
dx
=
0
1
（
）
A
．
0
B<
/p>
。
2
(
x
3
tan
x
x
2
sin
x
)
dx
0
C
．
2
(
x
< br>3
tan
x
< br>
x
2
sin
< br>x
)
dx
1
D
。
2
|
x
3<
/p>
tan
x
<
/p>
x
2
sin
x<
/p>
|
dx
0
b
a
1
3
．
设连续函数
f
(
x
)
＞
0
，则当
a
＜
b
时，定积分
f
(
x
)d
x
的符号（）
A
．一
定是正的
B
．当
0<
< br>a
<
b
时为正，当
a
<
b
<0
时为负
C
．一定是负的
D
．当
0<
a
<
b
时为负，当
a
<
b
<0
时为
正
4
．
<
/p>
由直线
y
x<
/p>
,
y
x
1
，及ｘ轴所围
成平面图形的面积为
A
．
C
．
（
）
1
y
y
dy
0
1
B
。
< br>
x
1
x
dx
1
2<
/p>
0
1
y
y
dy
1
1
< br>
n
1
n
2
1
2
0
D
。
x
x
1
dx
1
0
5
．
和式
1
当
n
→
+
∞
时，
无限趋近于一个常数
A
，
则
A
用定积分可表
2<
/p>
n
示为。
6
．
曲线<
/p>
y
x
2
,
x
0
,
y
1
，所围成的图形的面积可用定积分表示为．
7
．
计算曲
边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计
算由直线<
/p>
x=0
，
x=1
，
y=0
和曲线
y=x
2
所围成的曲边三角形的面积。
（下列公式可供使
用：
1
2
+2
2
+
…
+n
2
=
n
(
n
1)(2
n
1)
）
8
．
求由曲
线
y
x
<
/p>
1
与
x
1,
x
3,
y
0
所围的图形的
面积
.
2
2
x
,
0
<
/p>
x
1,
9
．
计算
f
(
x
)
dx
，其中
,
f
(
x
)
0
1
< br>x
2.
5,
1
6
10
．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力
F(x)
=kx
（
k
是正的常数，
x
是伸长量）
，
求弹簧从平
衡位置拉长
b
所做的功。
22
、定积分
22
．
1
曲边梯形的面积与定积分
A
组
1
．
若
f
(
x
)
是
[
a
,
a
]
上的连续偶函数，则
f
(
x
)d
x
a
a
（
）
A
．
f
(
x
)d
x
B
．
0C
．
2
f
(
< br>x
)d
x
D
．
f
(
x
)d
x
a
a
0
0
0
a
2
．
变速直线运动的物体的速度为
v(t)
，初始
t=0
时所
在位置为，则当秒末它所在的位置
为
A
．
t
1
t
1
0
0
（
）
t
1
0
v
< br>(
t
)
dt
B
．
s
0
t
1<
/p>
0
v
(
t
)
dt
C
．
v
(
t
)
dt
s
0
D
．
s
0
v
(
t
)<
/p>
dt
（
）
3
．
由直线
y
x
,
y
x
1
，及ｘ轴所围成平面图形的面积为
A
．
C
．
< br>
1
y
y
dy
0<
/p>
1
2
0
1
B
．
1
2
0
x
1
x
dx
1
y
y
dy
D
．
x
x
1
dx
1
0
b
c
h
(
x
)
0
a
x
b
,
4
．
< br>设
f
(
x
)
且
h
(
x
)
dx
A
，
g
(
x
)
dx
B
，给出下列结论：
a
b<
/p>
g
(
x
)
0,
b
x
c
.
①
A
＞
< br>0
；
②
B
＞
0
；
③
f
(
x
)
dx
A
B
；
a
c
④
|
f
(
x
)
|
dx
A
B
。
a
c
其中所有正确的结论有。
5
．
设函数
f
(x)
的图象与直线
x =a, x =b
及
x
轴所围成图形的面积称为函数
f(x)
在
[a
，
b]
上
的面积。已知函数
y
＝
sinnx
在
[0
，
①
y
＝
sin3x
在
[0,
2
]
（
n
∈
N
*
）上的
面积为
。
n
n
2
]
上的
面积为；
3
4
②
y
＝
sin
（
3x
－
π
）＋
1
在
[
，
]
上的面
积为。
3
3
6
．
求由曲线
y
1
x
与
x
0,<
/p>
x
3,
y
0
所围的图形的面积。
< br>
7
．
试根据定积分的定义说明下列两个事实：
①
cf
(
x
)
dx
c
f
(
x<
/p>
)
dx
；
a
a
b
b
②
(
f
(
x
)
< br>g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x<
/p>
)
dx
。
a
a
a
b
b
b
8
．
物体按规律
x
4
t
（
m
）作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于
10
（
m/s
）时阻力为
2
（
N
）
，求物体从<
/p>
x=0
到
x=2
阻力所做的功的积分表达式．
2
22
、定积分
22
．
1
曲边梯形的面积与定积分
B
组