椭圆焦点三角形的周长
绝世美人儿
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2021年02月11日 04:54
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2017-2018
学年高二数学——直线与椭圆的位置关系（
4
）
椭圆焦点三角形的周长、面积公式的应用：
< br>x
2
y
2
定理
在椭圆
2
< br>
2
1
（
a
＞
b
＞
0
）中，焦点分别为
F
1
、
F
2
，点
P
是椭圆上任意一
a
b
点，
F
1
PF
2
，则
S
F
PF
b
< br>2
tan
.
1
2
y
P
P
2
证明：
记
|
PF
1
|
r
1
,
|
PF
2
|
r
2
，由椭圆的第
一定义得
r
1
r
2
2
a
,
(
r
1
r
2
)
2
4
a
2
.
< br>
2
在△
F
1
PF
2
中，由余弦定理得：
r
1
r
2
2
r
1
r
2
cos
(
2
< br>c
)
.
2
2
F
1
O F
2
x
配方得：
(
r
1
r
2
)<
/p>
2
r
1
r
2
2
r
1
r
2
cos
4
c
.
即
4
a
2
r
1
r
2
(<
/p>
1
cos
<
/p>
)
4
c
.
2
2
2
2
2
(
a
2
c
2
)
2
b
2
r
1
r<
/p>
2
.
1
cos
1
cos
由任意三角形的面积公式得：
S
F
1
PF
2
1
< br>sin
r
1
< br>r
2
sin
< br>
b
2
b
2
2
1
cos
2
sin
2
2
b
2
tan
.
2
2
cos
2
2
cos
S
F
1
PF
2
b
2
tan
.
2
y
2
x
2
同理可证，在椭圆
2
2
1
（
a
＞
b
＞
0
< br>）中，公式仍然成立
.
a
b
例题讲解：
x
2
y
2
1
上的一点，
F
1
、
F
2
是其焦点，且
F
1
PF
2
6
0
，求
1
、
若
P<
/p>
是椭圆
100
64
△
F
1
PF
2
的面积
.