正弦定理的几种证明方法
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2021年02月11日 04:54
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正弦定理的几种证明方法
1.
利用三角形的高证明正弦定理
<
/p>
（
1
）
当
ABC
是锐角三角形时，
< br>设边
AB
上的高是
CD
，
根据锐角三角函数的定义，
C
有
CD
a
sin
B
,
CD
b
sin
A
。
由此，得
a
sin
A
a
sin
A
b
sin
B
，
同理可得
c
sin
C
b
sin
B
，
A
D
B
b
a
故有
b
sin
B
c
sin
C
.
从而这个结论在锐角三角形中成立
.
（
2
）当
A
BC
是钝角三角形时，过点
C
作
AB
边上的高，交
AB
的延长线于点
D
，
根据锐角三角函数
的定义，
有
CD
a
sin
CBD
a
sin
ABC
，
CD
b
sin
A
。
由此，
得
a
sin
A
b
sin
A
BC
，
同理可得
c
sin
C
.
c
sin
C
b
sin
A
BC
b
A
a
C
故有
a
sin
A
b
sin
ABC
由
(1)(2)
可知，在
ABC
中，
a
sin
A
b
sin
B
c
sin
C
B
D
成立
.
从
而
得
到
：
在
一
个
三
角
形
中
，
各
边
和
它
< br>所
对
角
的
正
弦
的
比
值
相
等
，
即
a
sin
A
b
sin
B
c
sin
C
. <
/p>
1
’
用知识的最近生长点来证明：
实际应用问题中，我们常遇到问题：
已知点
A
，点
B<
/p>
之间的距｜
AB|
，可测量角
A
与角
B
，
需要定位点
C
，即：
在如图△
ABC
中，已知角
A
，角
B
< br>，｜
AB
｜＝
c
，
求边
AC
的长
b
解：过
C
作
CD
AB
交
AB
于
D
，则
DC
AD
c
cos
A
BD
c
sin
A
c
sin
A
cos
C
sin
C
tan
C
sin
C
c
os
C
b
AC
AD
DC
c
co
s
A
c
si
n
A
cos
C
c
(sin
C
cos
< br>A
sin
A
< br>cos
C
)
c
< br>sin
B
< br>
sin
C
sin
C
sin
C