牛顿的微积分
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第二节
牛顿的微积分
一《流数简论》
《流数简论》表明，牛顿微积分的来源是运动学．
1666
年，他在坐标系中通过速度分量来
研究切
线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键．
牛顿把曲线
f(x
< br>，
y)
＝
0
看作动点的轨迹，动点的坐标
x
，
y
是时间的函数，而动点的水平速
度分量和垂直速度和垂直速度
为边的矩形对角线，所以曲线
f(x
，
y)
＝
0
的切线斜率
< br>
所以牛顿便在后来称它们为流数，实际上就是
x
和
y
对
t
的导数：
而它们的比就是
y
对
x
的导数
布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便．
牛顿考虑的第一个问题是：给定<
/p>
x
和
y
的关系<
/p>
f(x
，
y)
＝
0
，求
的次
数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度
(
流数<
/p>
)
之间的关系．若用子表示，则
为
它是牛顿用来
计算流数之比
(
即求导
)
的基本法则．实际上，这个式子
牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明
(1)
式的．他认为，作非匀速运
动的
物体在无穷小时间间隔
o
中的运动情况同作匀速运动的物体在有
限时间间隔中的情况相同，
“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为
x
和
y
，那么到下一时刻所
描绘的线段就是
x
＋
xo
和
y
＋
yo
．”牛顿用
x
＋
xo
和
y
＋
yo
代替
f(x
，
y)
＝
0
中的
x
和
y
，于是有
按二项式展开并略去
o
的二次以上
(
含二次
)
的项，得
除以
o
后便
得到
(1)
式．作为一个实例，可把
y
＝
x
写成
f(
x
，
y)
＝
y
－
x
的形式，由
(1)
式
推出
的代数式
)
．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：
其中
A<
/p>
表示曲线
y=f(x)
下的面积．从《流
数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重
要定理的：
设
y
表示曲线
f(x)
下的面积
abc(
图
11
．
13)
，并把它看作垂
平行移动，描绘出面积
x
和
y
，它们随时间而增加的速度是
be
和
bc
，”显然，
be
＝
1
而
bc=f(x)
．因此，牛顿认为面积
y
随时间的变化率是
n
n
这显然等价于
(2)
式，
< br>就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．
他把求积问题看
作求变化率的逆过程，即把
y
看作
f(x)
的积分
(
不定积分<
/p>
)
．
牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积
y
＝
在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法
，它
变量
z
＝
1
＋
x
，其
流数比为
这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为
类似地，牛顿在积分中也采用了代
换法，并在稍后的着作中总结出代换积分公式．这个问题
将在下面讨论．
《流数简论》中，牛顿
还导出函数的积和商的微分法则．设
y=u(x)
·
v(x)
，则由计算流数之
比的基本法则得到
至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出．
由于牛顿首次引入“流数”和“变
化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提
出微积分基本定理，所以说他“
发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于
定理的证明则是在他的第
二本微积分着作中才出现的．
二、《运用无穷多项方程的分析学》
(
下简称《分析学》
)
在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为
z
＝
ax
，
其中
m<
/p>
是有理数．他把
x
的无穷小增量叫
x
的瞬，用
o
表示．
由曲线、
x
轴、
y
轴及
x
＋
o
处
纵坐标所围成的面积用
z
＋
oy
表示
(
图
11
．
14)
，其中
oy
是面积的瞬，于是有
z+oy
＝
a(x
＋
o)
．
根据二项式定理
考虑到
z
＝
ax
，并用
o
去除等式两边，得
略去仍然含
o
的项，得
x
y=max
．
这就是相应于面积
z
的纵坐标
y
的表达式，或者
说是面积
z
在点的变化率
m
-
1
m
m
m
n
线为
y=max
；反之，若曲线是
y
＝
max
，则它下面的面积是
z=ax
．在这里，牛顿不仅给出了求
变化率
的普遍方法，而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的
求导和积分公式
(
用现代符号表出
)
(ax
)
′＝
max
；
在证明了面积的导数是
y
值，并断言逆
过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：若
y
值是
若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各
函数的积分的和：
∫
[f<
/p>
(x)+f
(x)
＋…
< br>+f
(x)]dx=
∫
f
(x)dx
＋
∫
f
(x)dx+
…
< br>+
∫
f
(x)dx
．
他对如下的积分性质也有明确认识：
∫
af(x)dx
＝
a
∫
f(x)dx
．
他利用上述知识
得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题．
在此
基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如
2
n
1
2
n
1<
/p>
m
m
-
1
m-1
m-1
m
然后对这个无穷级数逐项积分，得
他说，只要
b
是
x
的倍数，取最初几项就可以了．
y
＝
1
-
x
＋
x
－
x
＋
x
－…
(1)
y
＝
x
－
x
＋
x
-
x
＋…
(2)
他说，当
x
很小时，应该用
(1)
式，若
x
较大就必须用
(2)
式了．可见他已意识到级数收敛和
发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．
同《流数简论》
相比，《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积
看作无穷多个
面积为无限小的面积之和，这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的
面积即
定积分，牛顿提出如下方法：先求出原函数，再将上下限分别代入原函数而取其差．这就
是着名的牛顿—莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号，该公式
< br>可表述为：若
F(x)
是
f(x
)
在区间
[a
，
b]
-
2
-
4
-
6
-
8
2
4
6
8