学大精品讲义五下数学(含答案)第7讲长方体与正方体体积拓展

巡山小妖精
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2021年02月11日 16:20
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2021年2月11日发(作者：逆风飞扬)


第七讲长方体与正方体体积拓展



1.


熟


练掌握长方体和正方体的体积公式



课程目标



2.

掌


握有关长方体和正方体切割，拼接后体积问题



3.


掌


握有关长方体和正方体浸水及 等体积冋题



课程重点



课程难点



长方体和正方体切割，拼接，浸水等体积方面的实际运用



理解有关长方体和正方体实际问题的解题思路



1.


根


据实物了解有关长方体和正方 体的实际问题



教学方法建议




2.


讲


练结合



一•知识梳理



1.


体积计算和因数与积的变化规律



3


长方体的体积计算和因数与积的变化规律：长方体的长、宽、高都乘


扩大


n


倍，体积则扩大


n


倍


.


正方体的体积 计算和因数与积的变化规律：正方体的长、宽、高都乘



扩大< /p>


n


倍，体积则扩大


n

倍


.


3


3


2


，体积就乘


2


；长方体的棱长



2

< br>，体积就乘


2


3



;


正方体的棱长



2.


锻造（熔铸）问题


< p>
把一个物体变形为另一种形状的物体或者把两个物体熔化后铸成一个物体，新物体的体积是原来物体



积的和



体



3.


立体图形切割问题



对长方体切分成小 长方体后体积是否变化的考查，不管怎么切分，总体积始终保持不变


.


4.


截取问题


长方体截取最大的正方体，截成后的最大正方体棱长是长方体最短边



5.


摆放问题


每条棱长上最多能放的块数，首先求出长着一排放几个，宽着可以放几排，高着可以放几层，再借助



方体的体积公式进行计算即可解答•进而求出可以放的个数



长



6.


浸水问题



把一个物体浸入水中，物体 在水中会占领一部分的体积，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的



体积求不规则物体体积的方法，


1




利用



“排水法



”，水上升部分的体积就是这块铜矿石的体积，根据长方体



的



体积公式：



v=sh


，



7.


切面求体积



把这根木料锯成



3


段，增加了



4


个底面，从而可以求出



1


个底面的面积，进而求出木料的体



积．



二、方法归纳



1.


锻造（熔铸）问题



把一个物体变形为 另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；



解答上述问题，必须掌握这样几点：



（



1


）



将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；



（



2


）



两个物 体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；



2.


等体积转换


< br>由于后来两个水箱里的水面的高度一样，把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积



+


乙



水



箱的底面）


X


水


面的高度



浸水问题



把一个物体浸入水中，物体 在水中会占领一部分的体积，物体浸入水中，排开的水的体积等



于



物体的体积，求不


规则物体体积的方法，利用


“


排水法

< br>”


，水上升部分的体积就是这块铜矿石的体积，



根据长



方体的体积公式：



v=sh


，



3.


切面求体积



把这根木料锯成



3


段，增加了



4


个底面，从而可以求出



1


个底面的面积，进而求出木料的体积．



4.


摆放问题


每条棱长上最多能放的块数，首先求出长着一排放几个，宽着可以放几排，高着可以放几层，再借助



方体的体积公式进行计算即可解答．进而求出可以放的个数



三、课堂精讲



例



1


把一个长方体分成几个小长方体后，体积（



A


.


不变



B


.


比原来大了



C


.


比原来小了



）



长



规律方法】大体积分成了若干个小体积，大体积等于若干个小体积之和；或者根据体积的概念 来判断．


2





【搭配课堂训练题】



【难度分级】



A



1.


将一 个长方体切成两个小长方体，它的体积（



A


.


不变



B


.


变大



C


.


变小



）



例



2


棱长总和相等的长方体和正方体，体积相比（



）



A


．正方体体积大



B


．长方体体积大



C


．相等



【规律方法】


此题可以举例说明，


例如，


设长方体的长为

< p>


3


分米、


宽为



2


分米、


高为



1


分米，


这时长方体


< br>棱长总和为


24


分米，


体积为< /p>


3^2X1=6


（立方分米），正方体棱长为



24^12=2


（分米），体积为


2


々


X2=8


（立



方分米），据此解答即可．



【搭配课堂训练题】



【难度分级】



A



一个长方体和一个正方体的棱长总 和相等，已知长方体的长宽高分别是



体的体积（



）长方体的体积．



A


.


大于



B


.


小于



C


.


等于



D


.


计算不了



6


厘米、


5


厘米、



4


厘米，那么正方



例


3


一个长方体的长宽高分别是



立方米．



A


．


2ab


B


．


2abh

a


米、


b


米、

h


米，如果高增加


2


米后，新的长 方体体积比原来增加（



）



C


．


ah


（

< p>


h+2


）



【规律方法】根据题意，长方体的长、宽不变，高增加



是


a


米，宽是


b


米，高是


2


米的长方体的体积，根据长方体 体积公式：



【搭配课堂训练题】



【难度分级】



B



2


米，求体积比原来增加多少立方米，也就是求长



v=abh


，由此解答


.


A


．



4bh


B


．



4abh


C


．



4ab


D


．


ab


(


h+4


)



一个长方体的长、宽、高分别是



a


米，



b


米和



h


米，如果高增加



4


米，体积增加（



）立方米．




3




例



4


一个长方体的长、宽、高都乘



2


，体积就乘（



A


.


2 B


.


4


C


.


6


D


.


8


< /p>


【规律方法】根据因数与积的变化规律和长方体的体积公式，长方体的棱长扩大

< p>


【搭配课堂训练题】



【难度分级】



B



一个立方体的棱长扩大



3


倍，它的体积就扩大（



A


.


3


倍



B


.


6


倍



C


.


27


倍



）



D


.


9


倍



n


倍，体积则扩大



n


3



倍



例



5


一个长方体的长、宽、高分别是



这个正方体


11


厘米、


6


厘米、



4


厘米，在这个长方体上截取一个最大的正方体，



的体积是多少立方厘米？



【规律方法】将一个长



11


厘米、宽



6


厘米、高



4


厘米的长方体截成一个最大的正方体，这个正方体的棱长



就是



4


厘米，根据正方体的


体积公式：



V=a3


，把数据代入解答即可


.


【搭配课堂训练题】



【难度分级】



B



5.


把一个长



10


厘米，宽



8


厘米，高



6


厘米的长方体木块削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少



立方厘米？



例



6.


一个长方体木箱，从里面量得长



木块，最多放多少块？



6


分米，宽



4


分米，高



5


分米


.


如果在木箱里放棱长



2


分米的正方体


< br>【规律方法】求出长着一排放几个，宽着可以放几排，高着可以放几层，进而求出可以放的个数，再借助< /p>



方体的体积公式进行计算即可解答．



【搭配课堂训练题】



4




【难度分级】



A



6.


在一个长、宽、高分别是



5


厘米的长方体纸盒中，最多能摆放多少个棱长是



方体木块？



8


厘米、



6


厘米、



2


厘米的正



例



7.


一个长



2


米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加



2.4


平方分米，这根钢材原来的体积是多少立方



分米？



【规律方法】由题意可知：把这根木料锯成



3


段，增加了



4


个底面，再据



“表面积增加



2.4


平方厘米



”即可求



出这根木料的底面积，


从而利用体积公式即可求出木料的体积．



【搭配课堂训练题】



【难度分级】



B



把一根长



60


厘米的长方体木料沿长平均锯成



3


段后，表面积增加了



60


平方厘米，这个长方体的体积是多



少立方厘米？



例



8


现有一张长



80


厘米，宽



40


厘米的长方形铁皮，请你用它做成一个深



接处及铁皮的厚度不计）．那么这个铁盒的容积最大是多少升？



10


厘米的无盖的长方体铁盒（焊



【规律方法】根据题意，把左侧割下的两个正方形，焊接到右侧，折成的长方体铁盒的长 、宽、高分别为



（


80-10


）厘米、（


40-10


X?


）


厘米、


10


厘米，根据长方 体的体积



=


长


X


宽


X


高，将数据代入公式即可求出 这个



容器的容积．



【搭配课堂训练题】



【难度分级】



C



8.


用一张长



40


厘米，宽



20


厘米的长方体铁皮，做一个深



5


厘米的长方形无盖铁皮盒（焊接处与铁皮厚度不



计），这个长方体铁皮盒的


容积最大可能是多少？



5




例


9•


一个长方体容器，底面长


< p>
2dm


，宽


1.5dm


， 放入一个苹果后水面升高了



立方分米？



0.2dm


，这个苹果的体积是多少



【规律方法】根据题意知上升的水的体积就是这个苹果的体积，水的体积是长

< p>


0.2


分米的长方体的体积．



【搭配课堂训练题】



【难度分级】



B



2


分米，宽



1.5


分米和高是



9.


装有一半的水，把一块铜矿石完全放入水中，水面上升了



是多少？



在一个棱长



2


分米的容器里


5


厘米，铜矿的体积



例



10.


一个长方体，如果高增加



2


厘米就成了正方体，且表面积要增加



56


平方厘米，原来这个长方体的体



积是多少立方厘米？



【规律方法】由题意可知：高增加



2


厘米，就变成一个正方体


.


说明长方体 的底面是正方形且高比底面边



长少



2


厘米，这时表面积比原来增加



56


平方厘米


.

表面积增加的部分是高为



2


厘米的



4


个侧面的面积，由



此可以求出一个侧 面的面积，


进而求出原来长方体的底面边长，再根据长方体的体积公式：



入公式解答


.


【搭配课堂训练题】



【难度分级】



B



v=abh


，把数据



代



10.


一个长方体，如果高减少



5


厘米，就成了一个正方体，这时表面积少了



120


平方厘米


.

< br>原长方体的体



积是多少平方厘米？



例



11


有一个密闭的油箱，它的长、宽、高分别是



8


分米、



3


分米、



6


分米、先长和宽为底横放在箱里装油



深



2


分米 ，如果把这个油箱


高和宽为底立起来，则油深多少分米？



6




【规律 方法】先根据油箱横放图，求出油的体积，容器中油的形状发生变化，体积不变，所以用油的体积



以油箱竖放图中容器的底面积，即可得出油面的高度


.


【搭配课堂训练题】



【难度分级】



A



一个长是



3


分米，宽是



2


分米，体积是



25.2


立方分米的长方体木料，（



宽是



2.1


分米，高是



4


分米的长方体纸箱内（纸箱厚度忽略不计）


.


A


•能



B


•不能



C


.


不一定能



D


•条件不足，无法确定



）完全放入一个长是



3.1


分米，



除



例



12.


甲、乙两个长方体水箱


.


甲水箱的长为



4


分米，宽为



3


分米，高为



2


分米，里面没有装水


.

< p>
乙水



箱的长为



3


分米，宽为



2


分米，


箱中盛有



3


分米深的水


.

现把乙水箱中的水向甲水箱中倒一部分，使两个



水箱中的水的深度相同，这个相同的深度是多少？



【规律方法】设这个相同的深度为



即可列方程求解


.


【搭配课堂训练题】



【难度分级】



C



h


，由题 意可得：甲水箱倒入的水的体积



=


乙水箱减少的水的体积，据此



长方体玻璃容器，从里面量得长、宽、高分别是



5


、


3


、

< br>8


分米


.


向这个容器中注水，当 容器中的水所形成



的长方体第二次出现相对的面是正方形时， 水的体积是多少立方分米？



例


13< /p>


将一个棱长


10cm


的正方体钢坯造成长 方体（不计损耗），得到的长方体和原来的正方体相比较


,


结果是（



）



A.



C


.< /p>


表面积不相等，体积相等



体积和表面积都相等



D


.


无法确定



B


.


体积不相等，表面积相等



【规律方法】根据体积、表面积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积

.


围成立体图形所有面的总



面积 叫做它的表面积


.


由题意可知：


把正方 体钢坯锻造成长方体，只是形状变了，但体积不变，据此解答


.


【搭配课堂训练题】



【难度分级】



B



13.


将一块长方体铁块锻造成正方体，则长方体和正方体的（


7





）



A.


表面积相等，体积不等



B


.


体积相等，表面积不等


< p>
C


.


体积和表面积都不相等



D


.


无法判断



例


14


将一个


6


个面都涂上红色的棱长



5


厘米的正方体切成棱长为



1


厘米的小正方体，可以切成



______________________________


块


,


其中仅有


1


面涂红色的有



_____________


块


.


【规律方法】根据正方体的特征，正方体有


< br>12


条棱，


6


个面，

< p>
8


个顶点，再求出正方体的体积，即可得出



可以切的块数，一面涂色的在每个面的中间


.


三面涂色的在顶点处、两面涂色在每条棱的中间，一面涂色



在每个面的中间，据此解答


.


【搭配课堂训练题】



【难度分级】



C



14.


一个大正方体有若干个棱长



1


厘米的小正方形体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一个涂色的小



正方体有


24


个

< br>.


这个大正方体的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？



例


15


一块长

< p>
10


分米、宽


8


分米的长 方形铁皮，在四个角上各剪去一个边长



2


分米的小正方形后，焊接成



无盖的长方体容器，求容器的容积


.


【规律方法】



如图所示，折成的长方体容器的长、宽、高分别为（



10-2 >2


）分米、（


8-2 < /p>


X


）


分米、


2< /p>


分米


,


又因长方体的体积


=


长


>


宽

< br>X


高，将数据代入公式即可求出这个容器的容积


.






「


・


・


i■


・・・


r





3dm






1


皿




8



【搭配课堂训练题】



【难度分级】



B



15.


一个边长


30


厘米的正方形纸片，从它的



4


个角上剪去


4

< br>个同样大小的小正方形（小正方形的边长是整厘



米数） ，将剩下的部分折成一


个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的最大容积是多少？



例


16


有两个水池，甲水 池长



8


米，宽


6


米，水深


3


米，乙水池空着，它长 、宽高都是



中抽出一部分水到乙水池，使两水池的水面同样高 •求水面的高度


.


4


米


.


现将从甲水池



【规律方法】根据题意，可知甲水池中水的总体积是



8X6


X


3=144


立 方米，



现将从甲水池中抽出一部分水到



的



乙水池，使两水池的水面同样高” ，可知后来甲水池中水的体积加上乙水池中水的体积等于原来甲水池中水



体积，进而设两个池中水面的高度为



x


米，列方程解答比较简单


.


【搭配课堂训练题】



【难度分级】



C



16.


一个长方体空容器



A


，长


45


厘米、宽


40


厘米、高


35


厘米


.


一个长


40


厘米、宽

< br>30


厘米、水深为


45


厘



米的容器


B


,


将容器


B


的水倒一部分给

< br>


A


，使两容器中的水深相等，这时容器



A


中的水深为几厘米？



四、讲练结合题



1.



下列说法正确的有



A.



一个正方体和一个圆锥体的底面 积、高都相等，正方体体积是圆锥体积的



B.



等底等高的圆锥体就是圆柱体积的三倍



C.



圆锥的高只有一条



D


•长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用“底面积


X

< br>高”计算



3


倍



9




2.



______________________________


长方体的棱长总和


= ______________


;


正方体的棱长总和


=


_________


;


长方体的体积


=


，


用字母表


示



是


__________


;


正方体的体积


= ________________


，用字母表示是



__________


;


长方体（或正方体）的体积


=


______________


，


用字



母表示是


__________


.


1


0




3.



计算下列长方体或正方体的体积


?


4.



分别求出下面长方体、正方体的表面积和体积


.


5.



你知道它的体积吗


?


小明要想知道一 块不规则石头的体积，他想：这块石头既不是长方体、正方体，也不是圆柱、圆锥，怎样



道它的体积呢？小芳帮小明拿来了一个圆柱盒，一把直尺和一些水，两人做起了实验


.


你知道怎么做的吗？



6.



一个长方体木块，从上部和下部分别截去


3


厘米和


2


厘米长方体后，便成为 一个正方体，表面积减少了



知



1


1
















80


平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米和正方体的体积分别 是多少？


1


2



-


-


-


-


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