平移与旋转前后联系
-
《
全日制义务教育数学课程标准》关于本单元内容的标准要求
第一学段（
1
～
3
年级）
二、空间与图形
3
．图形与变换
（
1
）结合实例，感知平移、旋转、对称现
象。例：
在下列现象中，哪些是平移或旋转现象
?
（
1
）方向盘的转动；
（
2
）水龙
头开关的转动；
（
3
）电梯的上下移动；
< br>
（
4
）钟摆的运动。
（
2
）
能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、<
/p>
竖直方向平移后的图形。
第二学段（<
/p>
4
～
6
年级）<
/p>
二、空间与图形
3
．图形与变换
（
3
）通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图
形平
移或旋转
90
°。
（
4
）
欣赏生活中的图案，
灵活运用
平移、
对称和旋转在方格纸上设计图案。
第三学段（
7
～
9
年级）
二、空间与图形
2
．图形与变换
（
2
）图形
的平移
①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相
等的性质。
②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。
③利用平移进行图案设计，认识和
欣赏平移在现实生活中的应用。
（
3
）图形的旋转
①通过具体实例认识旋转，
探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的
距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角
彼此相等的性质。
②了解平行四边形、圆是中心对称图形。
③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
④欣赏旋转在现实生活中的应用。
⑤探索图形之间的变换关系
(
轴对称、平移、旋转及其组合
)
。
⑥灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
******************************************
***************************
平移、旋转，再加上已经
学习过的轴对称，这三种图形变换，统称为“全等变
换”。
“全等变换”在九年义务教育的三个学段，都安排了学习。
所以，本单元的基本知识是很简单的，小学生都可以掌握好。
作为中学生，在学习“全等变换”时，应该注意什么呢？
一、概念的准确掌握。语言叙述的完整和严谨。
二、更重要的是体会，“全等变换”在图形问题的思维中的重要性。
平移的定义：
将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运
动叫做图形
的平移运动，简称平移。
平移的基本性质：
（
1
）
平移变换不改变图形的形状、
大小和方向
(
平移前后的两个图形是全等
< br>形
)
，只是位置发生变化。
经过平移，对应线段平行（或共线）且相等（对应线段相等，
即不改变图
形的大小）；
经过平移，对应角相等（对应角相等，即不改变图形的形状）；
经过平移，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等（即不改变图形有
方向）；
(2)
平移是由方向，距离决定的（平移的两个要素）。
(3)
多次平移相当于一次平移。
<
/p>
（
4
）
偶数次轴
对称
（对称轴平行）
或中心对称后
（简
说为
“
2N
次对称后”
）
的图形等于平移后的图形。
平移的画法：
一、根据平移的定义画。
1
、根据平移的方向和距离，画出一个“要素点”的对应点。
2
、用画平行线的方法，画出所有要素点的对应点。
3
、根据平移后的要素点，画出平移后的图形。
说明：
要素点，即用
以确定图形的形状的点。可以在图形上，如线段的端点；也
可以不在图形是，如圆的圆心
。
二、根据平移的性质画。（只适用于由直线或线段组成的图形）
1
、根据平移的方向和距离，画出一个“要素点”的对应点。<
/p>
2
、用画平行线的方法，画出所有的对
应线段或直线。
平移的思维作用
:
平移常与平行线有
关。所以，画平行线是解决图形问题时，经常使用的辅
助线。
平移可以将一个角
,
一条线段
,
一个图形平移到另一个位置
,
使分散的条件集
中到一起
,
使
问题得到解决。
例
1
：平行四边形面积公式，就是用平移的方法得到的。
从而得到：等底等高的平行四边形面积相等。
再得到：等底等高的三角形面积相等。
例
2
：
利用平移，把图形变换成求长
方形的周长。
得图形周长
=
（
3+5
）
*2=16
求此图形的周长。图形由
6
条线段围成，且其中
4
条线段还不知道长度。<
/p>
例
3
：
如图：长
11
米宽
31
米的长方形草地内，有两条宽
1
米
的小道，求阴影部
分的面积。
利用平
移，把小道平移到边上，这样就把四个小块阴影部分，集中到了一
起。
< br>
得出阴影部分面积
=
（
31-1
）
*
（
11-1
）
=300
（平方米）
例
4
：
如图，直角梯形
ABCD
中，
AB=8
，
CD=2
，
BC=8
，求
AD
的长。
利用平移，将
AD
移动后，组成直角三角形。
由勾股定理得，
AD=
根号（
6
方
+8
方）
=10
旋转的定义
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做
图形的旋转运
动，简称旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
旋转的基本性质
（
< br>1
）旋转变换不改变图形的形状、大小
(
旋转前后的两个图形是全等形
)
，
但是方向和位置发生变化。
经过旋转，对应线段相等（即不改变图形的大小）；
经过旋转，对应角相等（即不改变图形的形状）；
(2)
旋转的三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。
注意：三
要素中只要任意改变一个，图形变换的结果就会不一样。
(3)
对应点到旋转中心的距离相等
。（可联想到扇形，等腰三角形）。
（
4
）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（
5
）对应线段所在直线的夹角等于旋转角。
（
6
）绕同一个定点多次旋转相当于一次旋转。
（
7
）偶数次轴对称（对称轴交于一点）后的图形等于旋转后
的图形。
旋转的画法：
一般旋转没有什么特别的画法，就是根据旋转的定义画。
旋转对称图形
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫
做旋转对称
图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。（
0
度
<
旋转
角
<360
度）。
常见的旋转对称图形有：线段、正多边形、平行四边形、圆
等。
例（
1
）
<
/p>
正多边形都是旋转对称图形，偶数边的正多边形还是中心对称图
形
。正多边形最小旋转角等于
360
°除以边数。
例（
2
）线段、长方形、平行四边形、圆是中心对称图形；
等腰梯形不是旋
转对称图形。
注：所有的中心对称图形都是旋转对称图形。
圆的旋转角为任意角。
旋转的思维作用
:
旋转与平移一样，
可以将一个角
,
一条线段
,
一个图形移动到另一个位置
,
使分
散的条件集中到一起
,
使问题
得到解决。
旋转常与旋转对称图形有关，
而且由
于旋转时“对应点到旋转中心的距离相等”，所以等腰三角形也会
使用到旋转。（对于等
腰三角形，也可以看是线段旋转而构成两腰。）
再由等腰三角
形拓展，当图形中出现两条线段长度相等地，且有一个公共
端点，则可能使用旋转方法。
例
1
：
等边三角形
ABC
中有一点
D
，使得
DA=3
，
DC=4
，
DB=5
，
求角
ADC
分析：由
3
，
4
，
5
< br>很容易想到勾股定理，可是它们并不在一个三角形中，
怎么办？旋转呀！
将三角形
ABD
绕点
A
旋转
60
度
到三角形
ACE
。
< br>则三角形
ADE
是等边三角形，角
ADE
是
60
度，
< br>DE=AD=4
，又
CE=BD=
5
得角
EDC=90
度
最后得角
ADC=90
度
+60
度
=150
< br>度。
***
例
2
：
E
的关系。
如图，
B
在
AD
上，
三角形
ABC
和
BDE
都是
等边三角形，请说明
CD
和
A
分析：
CD
在三角形
C
DB
中，另两边
CB
和
BD
分别是两等边三角形的边。
同样，
AE
在三角形
AEB
中，另两
边
AB
和
BE
分别是两等边三角形的边。且有
一个公共点
B
< br>。
可用旋转说明，三角形
AB
E
绕点
B
旋转
60
度，可得到三角形
CBD
，
所以，
AE=CD
。
***
例
3
：
F
。
如图，正方形
ABCD
中，
E
在
BC
上，
F
在
CD
上，
BE+DF=EF
，求角
EA
分析：条件中
BE+DF=EF
，而
BE
和
DF
不在一起，应该想办法移到一起，
而正方形邻边相等，正好做旋转。
< br>
将直角三角形
ADF
绕
A
旋转
90
度到三角
形
ABP
，则角
PAF=90
度，
PE=
EF
，
AP=AF
即三角形
PAE
与
FAE
成轴对称，得角
E
AF=90
度
/2=45
度。
***