确定磁场最小面积的方法
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确定磁场最小面积的方法
电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题
屡屡成为高考中的热点，
而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学
方法。
一、几何法
例
1.
一质量为
m
、电荷量为
+q
的粒子以速度<
/p>
v
0
，
从
O
点沿
y
轴正方向射
入磁感应强度
为
B
的圆形匀强磁场区域
，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从
b
处穿过<
/p>
x
轴，
速度方向与
x
轴正方向的夹角为
30
°，
同时进入场强为
E
、
方向沿与
x
轴负方向成
60
°
角斜向下的匀强电场中，通过了
b
点正下方的
c
点，如图
1<
/p>
所示，粒子的重力不计，试求：
（
1
）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（
2
）
c
点到
b
点的距离。
图
1
解析
：
（
1
）先找圆心，过
b
点逆着速度
v
的方向作直线
bd
，交
y
轴
于
d
，由于粒子在磁
场中偏转的半径一
定，
且圆心位于
Ob
连线上，
距
O
点距离为圆的半径，
据牛顿第二定律有：
v
Bqv
0
m
0
R
解得
R
2
①
②
mv
0
q
B
过圆心作
bd
的垂线，
粒子在磁场中运动的轨迹如图
2
所示：
要使磁场的区域有最小面积，
则
Oa
应为磁场区域的直径，由几何关系知：
图
2
r
<
/p>
cos30
°
R
③
第
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由②③得
r
3
mv
0
2
qB
2
所以
圆形匀强磁场的最小面积为：
S
mi
n
3
m
2<
/p>
v
0
r
2
2
4
q
B
2
（
2
）带电粒子进入电场后
，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动
的合成知识有：
s
·
sin30
°
vt
s
·
cos
30
°
而
a
2
④
⑤
⑥
1
2
at
2
qE
m
<
/p>
4
3
mv
0
联立④⑤⑥解得
s
Eq
二、参数方法
例
2.
在
x
Oy
平面内有许多电子（质量为
m
、电
荷量为
e
）
，从坐标原点
O
不断地以相同
的速率
v<
/p>
0
沿不同方向射入第一象限，如图
3
所示。现加一个垂直于
xOy
平面向里，磁
感应
强度为
B
的匀强磁场，要使这些电
子穿过磁场区域后都能平行于
x
轴向
x
轴正向运动。求
符合该条件磁场的最小面积。
< br>
图
3
解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点
O
沿任意方向
射入第一象限时，先考察速
度沿
+y
方
向的电子，其运动轨迹是圆心在
x
轴上的
A
1
点、半径为
R
< br>
mv
0
的圆。该电子
qB
沿圆弧
OCP
运动
至最高点
P
时即朝
x
< br>轴的正向，
可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，
见
图
5
。当电子速度方向与
x
轴正向成角度
时，作出轨迹图
< br>4
，当电子达到磁场边界时，
速度方向必须平行于
x
轴方向，设边界任一点的坐标为
S
(
x
，
y
)
，由图
4
可知：
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图
4
x<
/p>
R
sin
<
/p>
，
y
R
R
cos
，消去参数
得：
x
2
(
y
R
)
2
R
2
可以看出随着
的变化，
S
的轨迹是圆心为（
0
，
R
）
，半径为
R
的圆，即是磁场区域的
下边界。
< br>
上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图
5
所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形
面积减去等腰直角三角形面积的
2
倍。
图
5
2
S
min
1
2
mv
0
1
2
r
2
R
2
4<
/p>
4
2
eB
带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围
问题剖析
江苏省扬中高级中学
刘风华
近年来在考题中多次出现求磁场的
最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与
物理知识的综合运用能力要求较高。其难
点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其
进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧
后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点
（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边
界点等）难以确定。下面我们以实例对
此类问题进行分析。
一、磁场范围为圆形
例
1
一质量为
为
、
带电量为
的粒子以速度
从
O
点沿
轴正方向射入磁感
强度
的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从
处穿过
轴，速度方向与
轴正向夹角为
30
°，如图
1
所示（粒子重
力忽略不计）。
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试求：（
1
）圆形磁场区的最小面积；
（
2
）粒子从
O
点进
入磁场区到达
点所经历的时间；
（
3
）
点的坐标。
解析：
（
1
）由题
可知，粒子不可能直接由
Ｏ
点经半个圆周偏转到
点，其必在圆周
运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到
< br>点。可知，其离开磁场时的临界点与
Ｏ
点都在圆周上，<
/p>
到圆心的距离必相等。
如图
2
，
过
点逆着速度
的方向作
虚线，
与
轴
相交，
由于粒子在磁场中偏转的半径一定，
且圆心位于
轴上，
距
O
点距离和到虚线上
点垂直距离相等的
点即为圆周运动的圆心，圆的半径
。
由
，得
。弦长
为：
，
要使圆形磁场区域面积最小，半径应为
的一半，即：
，
面积
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页）
（
2
）粒子运动的圆心角为
120
，时间
（
3
）
距离
，故
点的坐标为（
0
。
，
0
）。
点评：
此
题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在
两临界点速度垂
线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁
场的直径等于粒子
运动轨迹的弦长。
二、磁场范围为矩形
例
2
如图<
/p>
3
所示，
直角坐标系
现有一质量为
第一象限的区域存在沿
，
轴正方向的匀强电场。
）
以初速度
沿
轴
，
电量为
的电子从第一象限的某点
（
（
的负方向
开始运动，经过
轴上的点
子偏转后恰好经过坐标原点
O
，并沿
，
0
）进入第四象限，先做匀速直线运动然
轴、
轴重合，电
后进入垂直纸面的矩形匀强磁
场区域，磁场左边界和上边界分别与
轴的正方向运动，不计电子的重力。求
（
1
）电子经过
（
2
）该匀
强磁场的磁感应强度
解析：
（
1
）电子从
方向：
解得
点的速度
；
和磁场的最小面积
。
点，可知竖直
点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到
，水平方向：
。
。而
，所以电子经过
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点时的速度为：