九年级数学： 正多边形和圆有关计算(含答案)
-
正多边形和圆有关计算
一、选择题
1.
< br>正三角形内切圆半径
r
与外接圆半径
R
之间的关系为（
）
A
．
4
R
=5
r
B
．
3
R
=4
r
C
．
2
R
=3
r
D
．
R
=2<
/p>
r
2.
用折
纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如下图）
.
方法是：拿
一张长方形纸对
折，折痕为
AB
，以<
/p>
AB
的中点
O
为
顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿
CD
剪开，使展
开后的图形为正五边形，则∠
OCD
等于
A
．
108
°
B
．
90
°
C
．
72
°
D
．
60
°
3.
一
个正多边形的每个外角都是
36
°
，这
个正多边形是（
）
A
．正六边形
B
．正八边形
C
．正十边形
D
．正十二边形
4.
已知一个多边形的内角和是
54
0
°，则这个多边形是（
）
A
．四边形
B
．五边形
C
．六边形
D
．七边形
5.
10
．如图，小林从
P
点向西直走
12
米后，
向左转，转动的角度为
，再走
12<
/p>
米，如
P
此重
复，小林共走了
108
米回到点
P
，则
（
）
A
．
30
°
<
/p>
B
．
40
°
C
．
80<
/p>
°
D
．不存在
6.
边长为
a
的正六边形的内切圆的半径为（
）
A
．
2
a
B
．
a
C
．
3
1
a
D
．
a
2
2
O
7.
如
图，⊙
O
的内接多边形周长为
3
，⊙
O
的外切多边形周长为
3.4
，
则下列各数中与此圆的周长最接近的是（
）
A
．
6
B
．
8
C
．
10
D
．
17
8.
将边长为
3
cm
的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则
这个正六边形的面积为（
）
3
3
2
3
3
2
3
3
2
cm
B
.
cm
C
.
cm
D
.
3
3
cm
2
2
4
8
9.
如图，两个正六边形的边长均为
1
，其
中一个正六边形的一边恰在
另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓
线的周
长是
A
．
7
B
．
8
C
．
9
D
．
10
10.
一个边长为
2
的正多边形的内角和是其外角和的
2
倍，则这个正多边
形的半径是
A
.
（
）
A
．
2
B
．
3
1
C
．
1
D
．
2
O
O
11.
如图，在⊙
O
中，
OA
＝
AB
，
OC
⊥
AB
，则下列结论错误的是
A
．弦
AB
的长等于圆内接正六边形的边长
B
．弦
AC
的长等于圆内接正十二边形的边长
»
C
．
»
AC
BC
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A
C
A
C
B
B
D
．∠<
/p>
BAC
=30
°
二、填空题
12.
若一个正多边形的内角和是其外角和的
3
倍，
则这个多边形的边
数是
______
．
13.
如图是一个
五角星图案，中间部分的五边形
ABCDE
是一个正
五边形，则图中∠
ABC
的度数是
14.
如图，
正六边形内接于圆
O
，圆
O
的半径为
10
，则圆中阴影部
分的面积为
．
15.
右图是对称中心为点
O
的正六边形．如果用一个含
30
°
角的直角三角
板的角，
借助点
O
（使角的顶点落在点
O
处）
，
把这个正六边形的面积
n
等
分，那么
n
的所有可能的值
是
16.
点<
/p>
M
、
N
分别是正
八边形相邻的边
AB
、
BC
上的点，且
AM
＝
BN<
/p>
，
点
O
是正八边
形的中心，则∠
MON
＝＿＿＿＿度．
17.
若一个正
n
< br>边形的每个内角都等于
120
o
，则
n
．
A
B
C
E
D
O
18.
如图，
在半径为
5
，
圆心角等于
45
°的扇形
AOB
内部作一个正方形
CDEF
，
使点
C
⌒
上，
在
OA
上，
点
D
、
E
在
OB
上，
点
F
在
AB
< br>则阴影部分的面积为
（结果保留
π
）
．
19.
如图，正六边形
ABCDEF
的边长为
2
cm
，点
P
为这个正六边形内部的一个动点，则
< br>点
P
到这个正六边形各边的距离之和为
< br>__________
cm
．
O
A
M
B
C
N
O
C
A
F
B
A
F
E
P
D
三、解答题
20.
（
1
）如图
D
E
B
C
1
，图
2
，图
3
，在
△
ABC
中，分别以
AB
，
AC
为边，向
△
< br>ABC
外作正三角
形，正四边形，正五边形，
BE
，
CD
相交于点
O
．
①如图
1
，求证：
△<
/p>
ABE
≌△
ADC
；
②探究：如图
1
，
BOC
o
；
<
/p>
如图
2
，
BOC
o
；
如图<
/p>
3
，
BOC<
/p>
o
．
（
2
）
如图
4
，
已知：
AB
，
AD
是以
AB<
/p>
为边向
△
ABC
外所作正
n
边形的一组邻边；
AC
，
AE
是以
AC<
/p>
为边向
△
ABC
外所作正
n
边形的一组邻边．
BE
，
CD
的延长相交于点
O
．
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①猜想：如图
4
，
BOC
o
（用含
n<
/p>
的式子表示）；
②根据图
4
证明你的猜想．
21.
问题背景
某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
<
/p>
①如图
1
，在正三角形
< br>ABC
中，
M
，
N
分别是
AC
，
AB
上的点，
BM
与
CN
相交于点
O
，<
/p>
若
∠
BON
<
/p>
60
o
，则
BM
CN
；
<
/p>
②如图
2
，在正方形
ABCD
中，
M
，
N
分别是
CD
，
AD
上的点，
BM
与
CN
相交于点
O
，<
/p>
若
∠
BON
<
/p>
90
o
，则
BM
CN
．
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然后运用类比的思想提出了如下命题：
③如图
3
，
在正五边形
ABCDE
中，
M
，
N
分别是
CD
，
DE
上的点，
BM
与
CN
相交于点
O
，
若
∠
BON
108
o
，则
< br>BM
CN
．
< br>
任务要求
（
1
）请你从①，②，③三个命题中选择一个
进行证明；
．．．．
（
说明
：选①做对的得
4
分，选②做对的
得
3
分，选③做对的得
5
分）
（
2
）请你继续完成下面的探索：
①如图
4
，
在正
n
< br>(
n
≥
3)
边形
ABCDEF
L
中，
M
，
N
分别是
CD
，
DE
上的点，<
/p>
BM
与
CN
相<
/p>
交于点
O
，问当
∠
BON
等于多少度时，结论
BM
CN
成立？（不要求证明）
②如图
5
，
在正五边形
ABCDE
中，
M
，
N
分别是
DE
，
AE
上的点，
< br>BM
与
CN
相交于点
O
，
若
∠
BON
108
o
时，请问结论
BM
CN
是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请说明理由．<
/p>
（
1
）我选
．
证明：
图
5
22.
图
1
是“口子窖”酒的一个由铁皮制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的
盒子（如图
2
），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长
是
9
cm
，有
三条边的长是
3
cm
，
每个内角都是
120
o
，
该六棱柱的高为
3
cm
．
现沿它的侧棱剪开展平，
得到如图
3
的平面展形图．
图
3
图
1
图
4
图
2
第
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12
页
9
cm
3
cm
3
cm
图
1
图
2
图
3
（<
/p>
1
）
制作这种底盒时，
< br>可以按图
4
中虚线裁剪出如图
3
的模片．
现有一块长为
17.5
cm
、
宽为
16.5
cm
的长方形铁皮，请问能否按图
4<
/p>
的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请你
说明理由；
（
2
）
< br>如果用一块正三角形铁皮按图
5
中虚线裁剪出如图
3
的模片，
那么这个正三角
< br>形的边长至少应为
cm
．
（说明：以上裁剪均不计接缝处损耗．）
图
4
图
5
23.
已知正
n
边形的周长为
60
，边长为
a
．
（
1
）当
n
3
时，请直接写出
a
的值；
（
2
）
把正<
/p>
n
边形的周长与边数同时增加
7
后，
假设得到的仍是正多边形，
它的边数为
n
7
，
周长为
67
，边长为
b
．有人分别取
n
等于
< br>3
，
20
，
120
，再求出相应的
a
与
b
，然后断言：
“无论
n
取任何大于
2
的正整数，
a
与
b
一定不相等．”
你认为这种说法对吗？若不对，
请求出不符合这一说法的
n
的值．
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24.
等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：在
△
ABC
中，
AB<
/p>
AC
，把底边
BC
分成
m
等份，连接顶点
A
和底边
BC
各等分点的
线段，
即可把这个三角形的面积
m
等分
．
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A
B
C