初中数学总复习三角函数
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初中三角函数
〖考试要求〗
通过实例认识锐角三角
函数（
sinA
，
cosA
，
tanA
），知道
30
0
，
45
0<
/p>
，
60
0
角的三
角函数值；会使用计算
器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐
角
.
B
B
度数
30
°
A<
/p>
C
sin
α
cos
α
C
tan
α
A
1
2
2
2
3
2
3
2
3
3
1
45
°
2
2
60
°
1
2
3
1
．
1
正弦和余弦
2
2
例
1
已知
0
°≤
α
≤
90
°．（
1
）求证：
sin
α
< br>+cos
α
=1
；
（
2
）求证：
sin
α
+cos
α
≥
1
，讨论在什么情形下等号成立；
2
2
（
3
）已知
sin
α
+cos
α
=1
，求
sin
α
+cos
α
的值．
证明
（
1<
/p>
）如图
6-1
，当
0
°＜
α
＜
90
°时，
sin
α
< br>=BC/AB
，
cos
α
=AC/AB
，所以在这种
情形下
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当
α
=0
°时，
sin
α
=0
，
cos
α
=1
；当<
/p>
α
=90
°，
s
in
α
=1
，
cos
α
=0
．所以在这两种情形
下仍有
sin
2
α
+cos
2
α
=1
．
（
2
）如图
6-1
，当
0
°＜
α
＜
90
°时，
sin
α
=BC/AB
，
cos
α
=AC/AB
．所以在这种情形
下
当
α
=0
°时，
sin
α
+cos
α
=0+
1=1
；当
α
=90
< br>°时，
sin
α
+cos
α
=1+0=1
．所以当
0
°≤
α
≤
90
°时，总有
sin
α
+cos
α
≥
1
，
当并且只当
α
=0
°或
α
=90
°时，等号成立．
（
3
）由于已知
sina+c
os
α
=1
．由（
2
）可知
α
=0
< br>°或
α
=90
°，所以总有
2
2
sin
α
+cos
α
=1
．
例
2
求证：对于
0
°≤
α
≤
90
°，
1
．
2
正切和余切
证明
（
1<
/p>
）当
0
°＜
α<
/p>
＜
90
°时，如图
6-2
，
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当
α
=0
°时，
tg
α
=0
，
sin
α
=0
，
cos
α
=1
．所以
仍有
tg
α
=
（
2
）
α
必须满足不等式：
0
°＜
α
＜
90
°．
如图
6-2
，
所以
tg
α
·
ctg
α
=1
．
例
2
已知
锐角
α
，且
tg
α
是方程
x
-2x-3=0
的一个根，求
2
解：
x
-
2x-3=0
的两根为
3
和
-1
．这里只能是
tg
α
=3
．
如
图
6-3
，由于
tg
< br>α
=3
．因此可设
BC=3
，
AC=1
，从而
2
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证明：
如图
6-2
，设
BC=a
，
AC=b
，
AB=c
，则
所以原式成立．
点评
这里
α
≠
0
°，<
/p>
90
°．
怎样理解锐角三角函数的概念？
答：
现行初中几何课本中给出锐角三
角函数的定义，
是依据这样一个基本事实：
在直角三角形中，当
锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值．
关于这点，我们看图
1
，图中的直角三角形
AB
1
C
1
，
AB
2
C
2
，
AB<
/p>
3
C
3
，…都有
一个相
等的锐角
A
，即锐角
A
取一个固定值．如图所示，许许多多直角三角形中相等的那
个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一
条直线上．不难看出，
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B
1
C
1
∥
B
2
C
2
∥
B
3
C
< br>3
∥…，
∵△
AB
1
C
1
∽△
AB
2
C
2
∽△<
/p>
AB
3
C
3
∽…，
因此，
在这些直角三角形中，∠
A
的对边与斜边的比值是一个固定的值
．
根据
同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠
A
的对
边与邻边的比值，∠
A
的邻边
与斜边的比值都分别是某个固定的值．
这样在△
ABC
中，
∠
C
为直角，
我们把锐角
A
的对边与斜边的比叫做∠
A
的正弦，
记作
sinA
；锐角
A
邻边与斜边的比叫做∠
A
的余弦，记作
cosA
；锐角
A
的对边与邻
边的比叫做∠
A
的正切，记作
tgA
；锐角
A
的邻边与对边的比叫做∠
A
的余切，记作
ctgA
，于是我们得
到锐角
A
的四个锐角三角函数，即
深刻理解锐角三角函数定义，要注意以下几点：
(1)
角
A
的锐角三角函数值与三角形的大小，即边的长短无关．
只要角
A
一旦确定，
四个比值就随之而定；
角
A
变化时．
四个比值
对应变化．
这
正体现了函数的特点，锐角三角函数也是一种函数
，这里角
A
是自变量，对于每一
个确定
的角
A
，上面四个比值都有唯一确定的值与之对应，因此，锐角
三角函数是
以角为自变量，以比值为函数值的函数．
(2)
准
确理解锐角三角函数定义，
要熟记每个锐角三角函数是怎样规定的，
是角
的哪条边与哪条边的比；在具体应用定义时，要注意分清图形中，哪条边是角的
对
边，哪条边是角的邻边，哪条边是斜边．
[
例
]
求出
图
2
中
sinD
，
tgE
的值．
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