一元二次方程应用题总结归类及典型例题库
-
思致超越
知行合一
一元二次方程应用题总结分类及经典例题
1
、列一元二次方程解应用题的特点
列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，
从列方程解应用题的
方法来讲，
列出一元二次方程解应用题
与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，
由于一元
一次方程
未知数是一次，
因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．
如果未知数出现二次，
用算术方法就很困难了，
正由于未知数是
二次的，
所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，
经过两次
增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．
2
、列一元二次方程解应用题的一般步骤
和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：
< br>
“审、设、列、解、答”
．
(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一
步是解
决问题的基础；
(2)“设”
是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设
元虽然
所设未知数不是我们所要求的，
但由于对列方程有利，
因此间接
设元也十分重要．
恰
当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难
易；
(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就
是找出题目中的等量关系，再根据这个
相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相
等关系列方程是解决问题的关键；
(4)“解”就是求出所列方程的解；
(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度
不能为负数，降低率不能大于
100%
等等．因此，解
出方程的根后，一定要进行检验．
3
、数与数字的关系
两位数
=(
十位数字)×10＋个位数字
三位数
=(
百位数字)×
100＋
(
十位数字)×10＋个位数字
4
、翻一番
翻一番即表示为原量的
2
倍，翻两番即表示为原量的
4
倍
．
5
、增长率问题
(1)
增长率问题的有关公式：
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增长数
=
基数×增长率
实际数
=
基数＋增长数
(2)
两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：
原来的×
(1
＋增长率
)
增长期数
=
后来的
说明：
(1)
上述相等关系仅适用增长率相同的情形；
<
/p>
(2)
如果是下降率，则上述关系式为：
原来的×
(1
－增长率
)
下降期数
=
后来的
6
、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤
(1)
整体地、系统地审读题意；
<
/p>
(2)
寻求问题中的等量关系
(
依据几何图形的性质
)
；
(3)
设未知数，并依据等量关系列出方程；
(4)
正确地求解方程并检验解的合理性；
(5)
写出答案．
7
、列方程解应用题的关键
(1)
审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意
，弄清题中的已知量和
未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；
(2)
设未知数分直接设未知数和间接设未
知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知
数的方法和正确地设出未知数．
8
、列方程解应用题应注意：
(1)
要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘
其隐含关系；
(2)
由于一元二次方
程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的
根与实际背景和
题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的
（一）传播问题
1.
市政府为了解决市民看病难的问
题，
决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，
由每盒
200
元下调至
128
元，则这种药品平均每次降价的百分率为
2.
有一人患了流感，经过两轮传染
后共有
121
人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个
人。
3.
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和
小分支的总数是
91
，每个支干长出小分支
。
4.
参
加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，
共比赛
45
场比赛，
共有个队参加比赛。
5.
参加一次足球联赛的每两队之间
都进行两次比赛，
共比赛
90
场比赛，
共有个队参加比赛。
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6.
生物兴趣小组的学生，将自己收
集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了
182
件，
这个小组共有多少名同学？
7.
一个小组有若干人，新年互送贺
卡，若全组共送贺卡
72
张，这个小组共有多少人？
8.
<
/p>
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有
< br>81
台电脑被感
染．请你用学过的知识分析，每轮感染中
平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有
效控制，
3
轮感染后，被感染的电脑会不会超过
700
台？
（二）平均增长率问题
变化前数量×（
1
x<
/p>
）
n
＝变化后数量
1.
青山村种的水稻
2001
年平均每公顷产
7200
公斤，
2003
年平均每公顷产
8450
公斤，水稻
每公顷产量的年平均增长率为。
2.
某种商品经过
两次连续降价，
每件售价由原来的
90
元降到了
40
元，
求平均每次降价率是
。
3.
周
嘉忠同学将
1000
元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿
银行”，到期后将本金和
利息取出，并将其中的
500
元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存
款的年利率
已下调到第一次存款时年利率的
60%
，
这样到期后，
可得本金和利息共
530
元，
求第一次存款时的年利率
.
（利
息税为
20%
，只需要列式子）
。
4.
<
/p>
某种商品，原价
50
元，受金融危机影响
，
1
月份降价
10
％，从
2
月份开始涨价，
3
月份的
售价为
64.8
元，求
2
、
3
月份价格的平均增长率。
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5.
某药品经两次降价，零售价降为
原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的
百分率？
6.
为了
绿化校园，某中学在
2007
年植树
4
00
棵，计划到
2009
年底使这三年
的植树总数达到
1324
棵，求该校植树平均每年增长的百分数
。
7.
王红梅同学将
< br>1000
元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和
利息取出，并将其中的
500
元捐给“希望
工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存
款的年利率已下调到第一次存款时年利率
的
90%
，
这样到期后，
可得本金和利息共
530
元，
求第一次存款时的年利率
.
（假设不计利息税）
（三）商品销售问题
售价—进价
=
利润
单件利润×销售量
=
总利润
单价×销售量
=
销售额
1.
某商店购进一种商品
，
进价
30
元．
试销中发现这种商品每天的销售量
P(
件
)
与每件的销售
价
X(
元
)
满足关系：
P=10
0-2X
销售量
P
，若商店每天销售这
种商品要获得
200
元的利润，
那么每
件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
2.
某玩具厂计划生产一种玩具熊猫
，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，
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已知生产ⅹ只熊猫的成本为
Ｒ（元）
，售价每只为Ｐ（元）
，且Ｒ、Ｐ与
< br>x
的关系式分别为
R=500+30X
< br>，
P=170
—
2X
。
(1)
当日产量为多
少时每日获得的利润为
1750
元？
(2)
若可获得的最大利润为
1950
元，问日产量应为多少？
3.
<
/p>
某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利
10
元，每天可售出
500
千克，经市
场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价
1
元，日销售量将减少
20
千克。现
该
商品要保证每天盈利
6000
元，同时又要使顾客得到实惠，那
么每千克应涨价多少元？
4.
服装柜在销售中发现某品牌童装
平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。为了迎接“六
一”儿童节，商场决定采取适当
的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场
调查发现，如果每件童装每降价
４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销
售这种童装上盈利
1200
元，那么每件童装应降价多少元？
5.
西瓜
经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜，以３元／千克的价格出售，每天可售
出２
００千克。
为了促销，
该经营户决定降价销售。
经调查发现，
这种小型西瓜每降价
0.1
元
/
千克，每天可多售出
4
0
千克。另外，每天的房租等固定成本共２４元。该经营户要想
每天盈利
200
元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？<
/p>
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6.
益群
精品店以每件
21
元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价
，若每件商品售价
a
元，则可卖出（
3
50
－
10
a
）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过
20%
，商店计划
要
盈利
400
元，需要进货多少件？每
件商品应定价多少？
7.
利达经销店为某工厂代销一种建
筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售
出后再进行结算，
未售出的由厂家负责处理）
。
当每吨售价为
260
元时，
月销售量为
45
吨。
该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行
促销。经市场调查发现：当每吨售价
每下降
10
元时，月销售量就会增加
7.5
吨。综合考虑各种因素
，每售出一吨建筑材料共
需支付厂家及其它费用
100
元。
（
1
）当每吨售价
是
240
元时，计算此时的月销售量；
（
2
）
在遵循“薄利多销”的原则下，
问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为
9000
元。<
/p>
（
3
）小静说：
“当月利润最大时，月销售额也最大。
”你认为对吗？请说明理由。
8.
国家为了加强对香烟产销的宏观
管理
,
对销售香烟实行征收附加税政策
.
现在知道某种品
牌的香烟每条的市场价格为
70
元
,
不加收附加税时
,
每年产销
100
万条
,
若国家征收附加
税
,
每销售
100
元征税<
/p>
x
元
(
叫做税率
x%),
则每年的产销量将减少
10
x
万条
.
要使每年对此
项经营所收取附加税金为
168
万元
< br>,
并使香烟的产销量得到宏观控制
,
年产销量不超过
50
万条
,
问税率应确定为多少
?
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