两数N次方的一般计算公式
-
两数
N
次方差的一般计算公式
< br>
在数学的学习中，
有时候会碰到求两数的平方差的题目
，
在六年级的奥数学习中，
通过
面积和
体积的计算公式，
发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，
后来我把它推演到不
相邻两个数的
N
次
方，发现同样有效。就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于
计算体积差一样，
也许
N
次方的差在将来用于计算
N
维度的差。
推导过程：
一、
由二次方看
首先，我们知道两个数的二次方的计算方法
已知一个数
A
的平方，求这个数相邻数的平方。
解答：如图，一个数
A
的平方如图中有色部分，即
A^2
；这个数的相邻数的平方可以看图中
的白色
方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：
5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9
几何上可以理解为：图中白色框的
一边
5
与另一边
4
相加
4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7
几何上可以理解为：图中绿色框的
一边
3
与另一边
4
的相加
所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：
(A+1)^2-A^2=(A+
1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1)
对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到
(A+1)^2-
（
A-1)^2=(A+1)^(2-1)*
(A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2
=[(A+1)^(2-1)*
(A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2
几何上理解为：
< br>长方向的
A+1
与
[(A+1)
-(A-1)]=2
的面积、宽方向上
A-1
< br>与
[(A+1)-(A-1)]=2
的面积，两块
面积的和。
<
/p>
同理，推广到两个不相邻数
P
与
Q
的平方差，可表示为：
P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q)
二、
再看三次方的情况
我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：
已知一个数
A
的三次方，求这个数相邻数的三次方。
设
A
的相邻数为
A+1
和
A-1
，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如
右图：
(A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3 -2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1)
A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(
A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1)
几何上的理解是：
长方向的
A
与高方向上的
A
厚度为
1
的体积、宽方向上的（
A-1
）与高方向上的
A
厚度
为
1
的体积、长方向上的（
A-1
）与宽方向上的（
A-1
）厚度为
1
的体积，这三块体积之和。
对于不相邻两个数
P
、
Q
的三次方的差，可以看作是厚度为（
P-Q
）的形成体积的体积差，一
般公式为：
P^3-Q^
3=[P^(3-1)*Q^(3-3)+P^(3-2)*Q^(3-2)+P^(3-3)*Q^(3-1)
]*(P-Q)
三、
推广到四次方
同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式：
(A+1)^4-A^4=(A+
1)^(4-1)*A^(4-4)+(A+1)^(4-2)*A^(4-3)+(A+1)^(4-3)*A
^(4-2)+(A+
1)^(4-4)*A^(4-1)
不相邻两数的四次方之差的一般公式：
P^4-Q^4=[P^(4-1
)*Q^(4-4)+P^(4-2)*Q^(4-3)+P^(4-3)*Q^(4-2)+P^(4-4)*
Q^(4-1)]*
(P-Q)
四、
结论：
两个数的
n
次方之差计算方法，
综上，我们可以由简单而复杂，推而广之，得出
相邻两个数的
n
次方的差的一般公式：
P^n -
Q^n=P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+
P^(n-
4)*Q^3+……+
P^(n
-
n)*Q^(n-1)
不相邻两个数的
n
< br>次方的差的一般公式：
P^n -
Q^n=[P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+
P^(n-
4)*Q^3+……+
P^(n
-n)*
Q^(n-1)]*(P-Q)
五、
验证：
⑴
相邻两数的
N
次方的差的计算验证
3^4-2^4=81-16=65
3^4-2^4=3^3*2^0 + 3^2*2^1 +
3^1*2^2 + 3^0*2^3=65
6^6-5^6=46656-15625=31031
6^6-5^6=6^5*5^0 + 6^4*5^1 +
6^3*5^2 + 6^2*5^3 + 6^1*5^4 + 6^0*5^5=31031
⑵不相邻两数的
< br>N
次方的计算验证
10^5-5^5=10000-3125=96875
10^5-5^5=[10*10
*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*5+5*5*5*5]*5
=[10000+5000+25
00+1250+625]*5=19375*5=96875
11^6-9^6=1771561-531441=1240120
11^6-9^6=[11^5*
1+11^4*9+11^3*9^2+11^2*9^3+11^1*9^4+1*9^5]*(11-9)
=[161051+131769
+107811+88209+72171+59049]*2
=620060*2=1240120
方差公式的应用
刘君
王永会
方差公
式在数学解题中有着极其广阔的应用价值。
然而由于统计初步列入中学数学时间
不长，
因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，
故给学生一种错觉，
好像学了方差
公式仅仅是为了统计
计算而已，
别无它用。
为延伸教材内容，
紧跟素质教育和新课程改革的
步伐，笔者就八个方面的应用介绍如下：
2
若
x
为一组数据
x
1
，
x
2
，
x
3
x
n
的平均数，
S
为这组数据的方差，则有
S
2
1
1
2
2
2
[(
x
1
x
)
2
(
x
2
x
)
2
(
x<
/p>
n
x
)
2
]
[
x
1
x
2
x
n
)
nx
2
]
n
n
2
2
由方差
定义公式，显然有
S
0
，当且仅当
x
1
x
2
x
n
时
< br>S
0
1.
求值
例
1.
已知实数
x
、
y
、
z
满足
x
3
y
6
2
x
3
y
2
xy
2
z
0
试求
x
2
y
z
1
2
的值。
2
解：<
/p>
<1>
－
<2>
得：
xy
z
3
2
1
得：
x
(
3
y
)
36
6
xy
2
2
2
2
2
3
4
将
<3>
代入
<4
>
得：
x
(
3
y
)
18
6
z
，把
x
，
3y
视为一组数据，由方差公式，得
S
2
1
2
x
3
y
2
1
1
[
< br>x
(
3
y
)
2
2
(
)
]
(
18
6
z
2
6
2
)
3
z
2
2
2
2
2
2
2
因为<
/p>
S
0
，所以<
/p>
3
z
0
所以
z<
/p>
＝
0
，所以
S<
/p>
0
所以<
/p>
x
3
y
代入
<1>
得
x
3
，
y
1
所以
x
2<
/p>
y
z
2
3
2
9
2.
解方程
例
2.
解方程
4
(
x
解：设
2
y
1
z
2
)
x
y
z
9
< br>x
a
，
y
1
b
，
z
2
c
，则
2
2
x
a
，
y
b
1
，
z
c
< br>2
原方程可化为
4
(
a
b
c
)
a
b
< br>c
12
所以
a
b
c
4
(
a
b
c
)
12
由方差公式，得
< br>a
、
b
、
c
的方差为：
2
< br>2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
S
[(
a
b
c
)
(
a
b
c
)
2
]
3
3
1
1
[
4
(
a
b
c
)
12
(
a
b
c
)
2
]
3
3<
/p>
1
(
a
b
c
6
)
2
9
2
因为<
/p>
S
0