指数对数概念及运算公式
-
指数函数及对数函数重难点
根式的概念：
①定义：
若一个数的
n
次方等于
a<
/p>
(
n
1
,
且
n
N
)
，
则这个数称
a
的
n
次方根
.
即，
若
x
n
a
，则
x
称
a
的
n
次方根
n
1
且
n
N
)
，
1
）当
n
为奇数时，
a
的
n
次方根记作
n
< br>a
；
2
）当
n
为偶数时，负数
a
没有
n
次方根，而正数
a
有两个
n
次方根且互为相反数，记
作
n
a
(
a
0
)
.
②性质：
1
）
(
n
a
)
n
< br>a
；
2
）当
n
为奇数时，
n
a
n
a
；
3
）当
n
为偶数时，
n
a
|
a
|
幂的有关概念：
①规定：
1
）
a
a
a
a
(
n
N
，
< br> 2
）
a
1
(
a
0
)
，
*<
/p>
a
(
a
0
)
a
(
a
0
)
0
n
n
个
3
）<
/p>
a
p
1
p
(
p
Q
，
4
）
a
n
n
a
m
(
a
0
,
m<
/p>
、
n
N
*
且
n
1
)
a
r
s
r
< br>
s
m
②性质：
1
）
a
a
a
2
）
(
a
)
<
/p>
a
r
r
s
r
s
(
a
0
,
r
、
s
Q
）
，
(
a
0
,<
/p>
r
、
s
Q
）
，
r
3
）
(
a
b
)
< br>
a
b
(
a
0
,
b
0
,
r
Q
）
（注）上述性质对
r
、
s
< br>R
均适用
.
例
求值
<
/p>
r
（
1
）
8
2
3
（
2
）
25
1
2
3
< br>16
4
1
5
（
3
）
2
（
4
）
81
<
/p>
例
.
用分数指数幂
表示下列分式
(
其中各式字母均为正数
)
2
(1)
3
a
4
a
（２）
a
a
a
（３）
3
(
a
b
)
（４）
4
(
a
b
)
（５）
3
ab
a
b
（
6
）
4
(
a
b
)
3
3
3
2
2
< br>2
例
.
化简求值
27
< br>
1
0
（
）
3
（
0
.
002
）
2
10
（<
/p>
5
2
）
（
2
3
）
（
1
）
8
2
1
（
2
）
(
0
.
02
7
)
1<
/p>
3
2
.
5
0
.
125
1
256
(
32
)
0
.
1
< br>
3
2
5
3
5
1
2
（
3
）
a
a
3
3
9
< br>2
a
7
3
a
13
1
5
1<
/p>
1
1
2
（
4
）
2
a
3
b
< br>2
6
a
2
b
3
3<
/p>
a
6
b
6
=
（
5
）
2
3
3
1.5
6
12
< br>
指数函数的定义：
①定义：函数
y
a
(
a
0
,
且
a
1
)
称指数函数，
<
/p>
1
）函数的定义域为
R
< br>，
2
）函数的值域为
(
0
,
)
，
3
）当
0
a
1
时函数为减函数，当
a
1
时函数为增函数
< br>.
提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（
1
）
y
2
x
2
x
（
2
）
y
(
2)
（
3
）
y
2
x
x
x
2
2
（
4
）
< br>y
（
5
）
y
x
（
6
）
y
4
x
x<
/p>
x
（
7
）
y
x
（
8
）
y
(
a
1)
（
a
＞
1
，且
a
2
）
例：
比较下列各题中的个值的大小
2
.
5
3
（
1
）
1
.
7
与
1
.
7
( 2 )
0.8
0.1
0
.
3
与
0.8
0.2
(
3 )
1
.
7
与
0
.
9
x
3
.
1
例
：已知指数函数
f
(
x
)
a
（
a
＞
0
且
a
≠
1
）的图象过点（
3
，
π
）
，求
f
(0),
f
(1),
f
(
3)
的
值.
思考：已知
a
< br>
0.8
,
b
< br>
0.8
,
c
< br>
1.2
,
按大小顺序排列
a
,
b
,
c
.
例
如
图
为
指
数
函
数
(
1
)
y
a
,
< br>(
2
)
y
b
,
(
3
)
y
c
,
(
4
)
y
d
，
则
x
x
x
< br>x
0.7
0.9
0.8
a
,
b
,
c
,
d
与
< br>1
的大小关系为
y
a
b
c
d
O
x
（
A
）
a
<
/p>
b
1
c
d
（
B
）
b
a
1
d
c
（
C
）
1
a
b
c
d
（
D
）
a
b
1
d
< br>
c
2
x
1
1
、函数
y
x
是（
）
2
1
A
、奇函数
B
、偶函数
C
、既奇又偶函数
D
、非奇非偶函数
2
、函数
y
1
的值域是（
）
<
/p>
x
2
1
A
、
,1
B
、
,0
0,
C
、
1,
D
、
(
,
1)
0,
x
3
、已知
0
a
1,
b
1
,
则函数
y
a
b
的图像必定不经过（<
/p>
）
A
、第一象限
B
、第二象限
C
、第三象限
D
、第四象限
例
．求函数
y
< br>
例
若不等式
3
x
2
1
2
2
ax
x
2
x
的值域和单调区间
>(
< br>1
x
+1
)
对一切实数
x
恒成立，则实数
a<
/p>
的取值范围为
______.
3
x
1
3
2
x
(
,
1
.
f
(
x
)=
1
x
，则
f
(
x
)
值域为
______.
3
2
x
1
,
考查分段函数值域
.
x
－
1
【解析】
x
∈
(
－∞<
/p>
,1
］时
,
x<
/p>
－
1
≤
0,0<
3
≤
1,
∴－
2<
f
(
x
)
≤－
1
x
∈
(1,+
∞
)
时，
1
－
x
<0,0<3
1
－
x
< br><1,
∴－
2<
f
(
x
)<
－
1
∴
f
(
< br>x
)
值域为
(
< br>－
2,
－
1
］
【答案】
(
－
2,
－
1
< br>］
例、
已知
< br>f
(
e
e
x
x
)
e
2
x
e
2
x
2
，则函数
f
(
x
)
的值域是
_____________
例
点（
2<
/p>
，
1
）与（
1<
/p>
，
2
）在函数
例
.
设函数
f
x
2
ax
b
的图象上，求
f
x
的解析式
f
(
x
)
<
/p>
2
x
1
x
1
，求使
f
(
x
)
2
2
的
x
取值范围．
2
x
b
例
已知定义域为
R
的函数
f
(
x
)
x
1
是奇函数。
2
a
（Ⅰ）求
a
,
b
的值；
（Ⅱ）若对任意的
t
R
，不等式
f
(
t
2
t
)
f
(2
t
k
)
0
恒成立，求
k
的取值范围；
2
2
对数的概念：
①定义：如果
a
(
a
0
,
且
a
1
)
的
b
次幂等于
N
，就是
a
N
，那么数
b
称以
a
为底
N
的
对数，记作<
/p>
log
a
N
<
/p>
b
,
其中
a
称对数的底，
N
称真数
.
1
）以
10
< br>为底的对数称常用对数，
log
10
N
记作
lg
N
，
2
）以无理数
e
(
e
2
.
71828
)
为底的对数称自然对数，
log
e
N
记作
ln
N
②基本性质：
1
）真数
N
为正数（负数和
零无对数）
，
2
）
log
a
1
0
，
3
）
log
a
a
1
，
4
）对数恒等式：
a
< br>log
a
N
b
< br>
N
例
将下列指数式化为对数式，对数式
化为指数式
.
1
1
m
（
3
）
(
)
5.73
<
/p>
64
3
（
4
）
log
1
16<
/p>
4
（
5
）
log
10
0.01
2
（
6
）
log
e
10
2.303
（
1
）
5
< br>=645
（
2
）
2
4
6
2
例
：求下
列各式中
x
的值
（
1
）
log
64
x
2
2
（
< br>2
）
log
x
< br>8
6
（
3
）
lg100
x
（
4
）
ln
e
x
3
分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出
< br>x
.
练习
：将下列指数式与对数式互化，有
x
的求出
x
的值
.
（
1
）
5
1
2
x
1
（
2
）
log
5
4
2
x
（
3
）
3
x
1
27
5
（
4
）
(
)
64
（
5
）
lg
0.0001
x
（
6
）
ln
e
x
例
利用对数恒等式
< br>a
log
a
N
< br>
N
，求下列各式的值：
(1)
(
)
log
4
3
(
)
log
5
4
(
)
log
3
5
log<
/p>
1
4
1
4
1
4
1
5
1
3
(2)
3
3
10
log
0
.
01
2
log
1
2
7
7
6
(3)
25
log
5
2
49
log
7
3
100
lg
(4)
2
l
og
4
12
3
log
9
27
5
log
25
1
3
③运算性质：如果
a
0
,
a
0
,
< br>M
0
,
N
0
,
则
1
）
log
a
(
MN
)<
/p>
log
a
M<
/p>
log
a
N<
/p>
；
2
）
log
a
M
log
a
M
log
a
N
；
N
n
3
）
log
a
M
n
log
a
M
(
n
R
）
.
④换底公式：
log
a
N
log
m
N
(
a
0
,
a
0
,
m
0
,
m
1
,
N
0
),
log
m
a
n
1
）
log
a
b
log
b
a
1
，
2
）
log
a
m
b
n
log
a
b
.
m
对数函数的运算规律
例．
用
log
a
x
，
log
a
y
，
log
a
z
表示下列各式：
x
2<
/p>
y
xy
（
1
）
log
a
；
（
2
）
log
a
．
3
z<
/p>
z
xy
解：
（<
/p>
1
）
log
a<
/p>
z
log<
/p>
a
(
xy
)
log
a
z
（
2
）
log
a
x
2
y
3
z
log
a
(
x
2
y
)
< br>log
a
3
z
< br>
log
< br>a
x
log
< br>a
y
log
< br>a
z
；
例．
求下列各式的值：
（
1
）
log
2
4
2
< br>
log
a
x
< br>2
log
a
< br>y
log
a
< br>3
z
1
1
2log
a
x
log
a
y
log
a
z
．
2
3
7
5
<
/p>
；
（
2
）
lg
7
5<
/p>
5
100
．
解：
（<
/p>
1
）原式
=
lo
g
2
4
lo
g
2
2
=
7l
og
2
4
5
log
2
2
7
2
5<
/p>
1
19
；
（
2
）原式
=
lg10
<
/p>
1
5
2
2
2
lg10
5
5
lg
243<
/p>
7
lg
7
lg
18
；
（
2
）<
/p>
；
lg
9
3
(4)lg2
·
lg50+(lg5)
2
2
< br>例．计算：
（
1
）
lg14
21g
(3)
(5)lg25+lg2
·
lg50+(lg2)
解：
（
1
）
lg
14
2
lg
7
lg
7
lg
18
lg(2
7)
2(lg
7
lg3)
lg
7
lg(3
2
2)
3
lg
2
lg
7
2lg7
2lg3
lg7
2lg3
lg
2
0
；
lg
243
lg
3
5
5
lg
3
5
（
2
）
< br>
；
lg
9
lg
3
2
2
lg
3
2
例．
计算：
（
1
）
5
解：
（
1
）原
式
=
1
log
0.2
3
；
（
2
）
log
4
3
log
9
2
log
2
4
32<
/p>
．
5
15
；
1<
/p>
log
0.2
3
1
log
5
5
5
3
3
1
1<
/p>
5
1
5
3
（
2
）
原式
=
log
2
3
log
3
2
log
2
2
．
2
2<
/p>
4
4
4
2
；
；
.
5<
/p>
5
例．
求值：
(
1)
(2)
(3)
(3)
例．
求值
(1)
log
8
9
·
log
27
32
(2)
(3)
(4)
< br>(log
2
125+log
4<
/p>
25+log
8
5)(log
125
8+log
25
4
+log
5
2)
对数函数性质典型例题
例
．比较下列各组数中两个值的大小：
（
1
）
log
2
3.4
，
log
2
8.5
；
（
2
）
log
0.3
1.8
，
log
0.3
2.7
；
解：
（
1
）对数函数
y
log
2
x
在
(0,
)
上是增函数，
于是
log
2
3.4
log
2
8.5
；
（
2
）对数函数
y<
/p>
log
0.3
x
在
(0,
)
上是减函数，