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2021年2月12日发(作者：杨继洲是哪个朝代的针灸大师)

第一讲

有理数的巧算

有理数运算是中学数学 中一切运算的基础．

它要求同学们在理解有理数的有关概念、

法 则的

基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目 条件，

将推理与计算相结合，

灵活巧妙地选择合理的简捷的算法 解决问题，

从而提高运算能力，

发

展思 维的敏捷性与灵活性．

1

．括号的使用

在代数运算中，

可以根据运算法则和 运算律，

去掉或者添上括号，

以此来改变运算的次

序，使复杂的问题变得较简单．

例

1

计算：

分析

中学 数学中，由于负数的引入，符号“

+

”与“

-

”具有了双重涵义，它既是表示

加法与减法的运算符号，

也是表示正数与负数的性质符号．

因此进行有理数运算时，

一定要

正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变 化．

注意

在本 例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于

计算．

例

2

计算下式的值：

211

×

5 55+445

×

789+555

×

789+211

×

445

< br>．

分析

直接计算很麻烦，根据运算规则 ，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题

可将第一、第四项和第二、第三项分别结 合起来计算．

解

原式

=( 211

×

555+211

×

< p>
445)+(445

×

789+555

< p>
×

789)

=211

×

(555+445)+(445 +555)

×

789

=211

×

1000+1000

×

789

=1000

×

(211+789)

=1 000 000

．

说明

加括号的一般思想方法是“分组 求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．

例

3

计算：

S=1-2+3-4+

„

< p>
+(-1)

n+1

·

n< /p>

．

分析

不难看出这个算式的规律是任何 相邻两项之和或为“

1

”或为“

-1< /p>

”．如果按照将

第一、第二项，第三、第四项，„，分别配对的方 式计算，就能得到一系列的“

-1

”，于是

一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．

解

S=(1-2)+(3-4)+

„

+(-1 )

n+1

·

n

．

下面 需对

n

的奇偶性进行讨论：

当

n

为偶数时，上式是

n

／

2

个

(-1)

的和，所以有

当

n

为奇数时，上式是

(n-1)

／

< p>
2

个

(-1)

的和，再加 上最后一项

(-1)

n+1

·

n=n

，所以有

例

4

在数< /p>

1

，

2

，

3

，„，

1998

前 添符号“

+

”和“

-

< br>”，并依次运算，所得可能的最小

非负数是多少？

分析与解

因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在

1< /p>

，

2

，

3

，„，

1998

之前任意添加符号“

+

”或“

-

”，不会改 变和的奇偶性．在

1

，

2

，

3

，„，

1998

中有

1998

÷

2< /p>

个奇数，即有

999

个奇数，所以任意添 加符号“

+

”或“

-

< br>”之后，所得的代数和

总为奇数，故最小非负数不小于

1

．

现考虑在自然数

n

，

n+1

，

n+2

，

< br>n+3

之间添加符号“

+

”或“

-

”，显然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0

．

这启发我们将

1

，

2

，

3

，„，

1998

每连续四个数分为一 组，再按上述规则添加符号，

即

(1 -2-3+4)+(5-6-7+8)+

„

+(1993-19 94-1995+1996)-1997+1998=1

．

所以，所求最小非负数是

1

．

说明

< /p>

本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．

有这种竞赛讲义一整套

小学初中的

含答案

最新的

需要的

可以联系我

46~8453~607

微

信

13699~77~1074

2

．用字母表示数

我们先来计算

(100+2)

×

(100-2)

的值：

(100+2)

×

< p>
(100-2)=100

×

100-2

< p>
×

100+2

×

100- 4

=100

2

-2

< br>2

．

这是一个对具体数的运算，若用字母

a

代换

100

，用字母

b

代换

2

，上述运算过程变为

(a+b)(a-b)=a

2

-ab+ab-b

2

=a

2

-b

2

．

于是我们得到了一个重要的计算公式

(a+b)(a-b)=a

2

-b

2< /p>

，

①

这个公式叫平方差公式，

以后应用这个公式计算时，

不必重复公式的证明过程，

< br>可直接

利用该公式计算．

例

5

计算

3001

×

2999

的值．

解

3001

×

2999=(3000+1)( 3000-1)

=3000

2

-1< /p>

2

=8 999 999

．

例

6

计算

103

×

97

×

10 009

的值．

解

原式

=(100+3)(100-3)(10000+9)

=(100

2

-9)(100

2

+9)

=100

4

-9

2

=9 9 999 919

．

例

7

计算：

分析与解

直接计算繁．

仔细观察，

发现分母中涉及到三个连续整数：

12 345

，

12 346

，

12 347

．

可设字母

n=12 346

，

那么

12 345=n-1

，

12 347=n+1

，

于是分母变为

n

2

-(n-1)(n+1)

．

应

用平方差公式化简得

n

2

< p>
-(n

2

-1

2

)=n

2

-n

2

+1=1

，

即原式分母的值是

1

，所以原式

=24 690

．

例

8

计算：

(2+1)(2

2

+1)(2

4

+1)(2

8

+1)(2

16

+1)(2

32

+1)

．

分析

式子中

2

，

2

2

，< /p>

2

4

，

„每一个 数都是前一个数的平方，

若在

(2+1)

前面有一个

(2-1)

，

就可以连续 递进地运用

(a+b)(a-b)=a

2

-b

2

了．

解

原式

=(2-1)(2+1)(2

2

+1)(2

4

+1)(2

8

+1)

×

(2

< br>16

+1)(2

32

+1)

=(2

2

-1)(2

2

+1)(2

4

+1)(2

8

+1)(2

16

+1)

×

(2

32

+1)

=(2

4

- 1)(2

4

+1)(2

8

+1)(2

16

+1)(2

32

+1)=

„„

=(2

3 2

-1)(2

32

+1)

=2

64

-1

．

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