初二数学第11讲 乘法公式教案
-
第
11
讲
乘法公式
适用学科
适用区域
知识点
初中数学
人教版
平方差公式；完全平方公式
1
、理解并掌握公式的结构特征，会用平方差公式，完全平方公式进行运算。
2
、通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差
公式模型，感受数学公式的意义和作用。培养学生的数学建模能
适用年级
课时时长（分钟）
初中二年级
120
教学目标
力与抽象思维能力，感悟换
元的思想方法，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维。
<
/p>
2
、体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成
功的体验。
教学重点
教学难点
掌握公式的结构特征及正确运用公式
公式推导的理解及字母的广泛含义
教学过程
一、复习预习
1.
< br>多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
二、知识讲解
考点
< br>1.
发现总结
计算下列各题
（
1
）（
a-3
）（
a+3
）（
2
）（
1+2x
）（
1
－
2x
）
（
3
）
（
a+3b
）（
a
－
3b
）（
4
）（
2x+y
）（
2x
－
y
）
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？并举例计算验证自己的猜想
.
平方差公式：（
a+b
）
(a-b)=a
2
-b
2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个
数的平方差
.
这个公式叫平方差公式
平方差公式的特点：
（
1
）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互
为相反数；
（
2
）右边是相同项的平方减去相反相的平方
（
3
）公式中的
a
和
b
可以是单项式，也可以是多项式。
归纳：（
a+b
）
(a
-b)=a
2
-b
2
< br>的
8
种变化形式
（
1
）位置变化
（
2
）符号变化
（
3
）系数变化
（
4
）指数变化
（
5
）增因式变化
（
6
）增项变化
（
b+a
）（
-b+a
）
=(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
（
-a-b
）（
a-b
）
=-(a+b)(a-b)=-
（<
/p>
a
2
-b
2
）
（
2a+3b
）（
2a-3b
）
=
（
2a
）
2
-
（
3b
）
2
=4a
2
-9b
2
(a
2
+b
2
)(a
2
-b
2
)=
（
a
2
）
2
-
（
b
2<
/p>
）
2
=a
4
-b
4
(a+b)(a-b)
（
-a-b
）（
-a+b
）
=(a<
/p>
2
-b
2
)[(
-a)
2
-b
2
]
(a-b-c)
（
a-b+c
）
=
（
a-b
）
2
-c
2
（
7
）连用公式变化
<
/p>
(a+b)(a-b)(a
2
+b
2
)
（
a
4
-b
4
）
=a
8
-b
8
2
2
（
< br>8
）逆用公式变化
a
-b
=(a+b)(a-b)
考点
2.
发现、总结
根据乘方的定义，我们知道：
a
2
=a·
a
，那么
(a+b)
2
应该写成什么样的形式呢？
(a+b
)
2
的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律
？
（
1
）（
p+1
）<
/p>
2
=
（
p+1<
/p>
）（
p+1
）
=
_______
；
（
m+2
）
2
=_______
；
（
2
）（
p-1
）
2
< br>=
（
p-1
）（
p-1
）
=________
；
<
/p>
（
m-2
）
2<
/p>
=_______
；
< br>通过计算，可以得到结果：（
1
）（
p+1
）
2
=
（
p+1
）（
p+1
）
=p
2
+2p+1
（
m+2
）
2
=
（
m+2
）（
m+2
）
= m
2
+4m+4
（
2
）（
p-1<
/p>
）
2
=
（
p-1
）（
p-1
）
= p
2
-2p+1
（
m-2
）
2
=
（
m-2
）（
m-2)=m
< br>2
-4m+4
结果中有两个数的平方和，而
2p=2·
p·<
/p>
1
，
4m=2·
m·
2
，恰好是两个数乘积的二倍。
（
1
）（
2<
/p>
）之间只差一个符号
.
考点
3.
结合以上情形，我们得到完全平方公式：
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和
，加（或减）它们的积的
2
倍．
完全平方公式的特点：公式的左边
都是一个二项式的平方，二者仅有一个
“
符号
< br>”
不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平
方，中间一项是左边二项式中两项乘积的
2
倍
，二者也仅有一个
“
符号
”
不同。
考点
4.
1
、完全平方公式：
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
或
(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
中的
a
、
b
可以是单项
式，也可以是多项式
2
、对于形如两
数和（或差）的平方的乘法，都可以应用完全平方公式计算
三、例题精析
【例题
1
】
【题干】
计
算
（
1
）
（
a-2b
）
（
2b
+a
）
（
2
）
（
3x-2y
）
（
-3x-2y
）
（
3
）
（
5mn-3mn
）
（
-3mn-5mn
）
【答案】
（
1
）
（
a-2b
）
（
2b+a
）
=
（
a-2b
）
< br>（
a+2b
）
=a
2
-4b
2
（
2
）
（
< br>3x-2y
）
（
-3x-2y<
/p>
）
=
（
-2y+
3x
）
（
-2y-3x
）
=4y
2
-9x
2
（
3
）
（
5mn-3mn
）
（
-3mn-5mn
）
=
（
-3mn+5mn
）
（
-3mn-5mn
）
=
9m
2
n
2
-
25m
2
n
2
【解析】
直接运用平方差公式解答即可。
【例题
2
】
【题干】
计算
:
（
1
）
9.8
×
10.2
2
）
59.
8
×
60.2
（
【答案】
（
1
）<
/p>
9.8
×
10.2 =
< br>（
10-0.2
）（
10+0.
2
）
=100-0.04=99.96
（
2
）
59.8<
/p>
×
60.2=
（
60-0.2
）（
60+0.2
）
=3600-0.04=3599.96
【解析】
此类题注意向平方差公式形式转化，写成两个数的和与差的积的形式，使运算简便。
【例题
3
】
【题干】
对于任意的正整数
n
，能整除代数式（
3n+1
）（
3n-1
）
-
（
3-n
）（
3+n
）的整数
是（
）
A
．
3
B
．
6
C
．
10
D
．
9