乘法公式的拓展及常见题型整理
-
乘法公式的拓展及常见题型整理
a
2
b
2
2
2
2
例题：已知
a
b
=4
，求
ab
。
⑴如果
a
b
3
,
a
c
< br>1
，那么
a
< br>
b
b
c
c
a
的值是
2
x
2
y
2
1
2
1
2
2
xy
=
⑵
x
y
1
，则
x
xy
y
=
⑶已知
x
(
x
1
)
(
x
y
)
2
，
则
２
2
< br>2
⑴若
(
则
a
a
b
)
7
，<
/p>
(
a
b
)
1
3
，
b
2
2
2
2
____________
，
a
b
_________
2
2
，则
a
为
(
x
y
)
a
⑵设（
5a
＋
3b
）
2
=
（
5a
－
3b
）
2
＋
A
，则
A=
⑶若
(<
/p>
x
y
)
⑷如果
(
x
y
)
2
M
(
x
y
)
2
，那么
M
等于
⑸已知
(a+b)
=m
，
(a
—
b)
=n
，则
ab
等于
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
(
2
a
3
b
)
(
2
a
3
b
)
N
，
⑹若
则
N
的代数式是
⑺已知
(
a
b
)
7
,
(
a
b
)
3
,
求
< br>a
b
ab
的值为
。
⑻已知实数
a,b,c,d
满足
ac
bd
2
2
3
，ad
bc
5
，求
(
a
2
b
2
)(
c
2
< br>
d
2
)
2
2
例题：已知
(a+b)
=7,(a-b)
=3,
求值
:
(1)a
+b
(2)ab
例
2
：已知
a=
⑴若
x
<
/p>
3
y
1
1
1
x
＋
20
，
b=
x
＋
19
，
c=
x
＋
21
，求
a
2
＋
b
2
＋
c
2
－
ab
－
bc
－
ac
的值
20
20
20
< br>7
,
x
2
9
y
2
49
，则
x
3
y
=
2
⑵若
a
b
2
，则
a
b
2
4
b
=
若
a
5
b
6
，则
a
2
5
ab
30
b
=
⑶已知
a
2
＋
b
2
=6ab
且
a
＞
< br>b
＞
0
，求
⑷已知
a
a
b
的值为
a
b
2005<
/p>
x
2004
，
b
2005
x
2006
，
c
2005
x
2008
，则代数式
a
2
b
2
c
2
< br>ab
bc
< br>ca
的值
是
．
（四）步步为营
例题：
3
(2
+1)
(2
+1)
(2
+1)
(
6
2
4
8
2
16
+1)
(
7
1
)
(7
2
+1)
(7
4
+1)
(7<
/p>
8
+1)+1
a
b
a
b
2
a
2
b
4
< br>a
4
b
8
a
8
b
(
2<
/p>
1
)
(
2
2
1
)
(
2
4
1
)
(
2
8
1
)
<
/p>
(
2
16
1
)
(
2
32
1
)
1
2012
2
20
11
2
2010
2
2009
2
< br>
2
2
1
2
（五）分类配方
例题：已知
m
2
1
1
1
1
< br>
1
2
1
2
1
2
…
1
4
2010
2
3
2
< br>
n
2
6
m
10
n<
/p>
34
0
，求
m
n
的值。
⑴已知：
x
²
+y
²
+z
²
-2x+4y-6z+14=0
，则
x+y+z
的值为
。
⑵已知
x
²
+y
²
-6
x-2y+10=0
，则
1
1
的值为
。
x
y
2003
⑶已知
x
+y
-2x+2y+2=0,
求代数式
x
2
2
y<
/p>
2004
的值为
.
y
⑷若
x
y
4<
/p>
x
6
y
1
30
，
x
，
y
均为有理数，求
x
的值为
。
⑸已知
a
+b
+6a-4b+13=0
，求
(a+b)
的值为
⑹说理
:
试说明不论
< br>x,y
取什么有理数
,
多项式<
/p>
x
+y
-2x+2y+3
的值总是正数
.
（六）首尾互倒
例
1
：已知
2
2
2
2
2
2
2
x
1
1
1
1
2,
求：（）
1
a
2
2
;(2)
a
4
4
;(3)
a
x
a
a
a
1
1
2
<
/p>
例
2
：已知
a<
/p>
－
7a
＋
1
＝
0
．求
a
、
a
2
a
a
2
1
和
a
a
2
的值
；
⑴已知
x
2
3
x
<
/p>
1
0
，求①<
/p>
x
2
19
2
1
x
2
=
②
x
2
1
x
2
=
⑵若
x
2
－
x
4
1
x
＋
1=0
，求
的值为
4
x
⑶如果
a
1
1
2
,
那么
a
2
2
a
a
1
1
3
x
2
2
x
x
，则
x
= 2
、已知
1
1
5
x
2
2
x
x
，那么
=_______
x<
/p>
⑷已知
的值是
1
1
2
且
<
br>2 <
br>
0
求
a
－<
/p>
的值是
a
a
1
1
1
⑹已知
a
2
－
3a
＋
1
＝
0
．求
a
和
a
－
和
a
2
的值为
a
a
a
1
1
1
2
4
⑺已知
x
3
，求①
x
2
=
②
x
4
=
x
x
x
⑸若
a
1
1
2
⑻已知
a
－
7a
＋
1
＝
0
．求
a
、
a
2
a
a
2
1
和
a
<
/p>
a
2
的值；
（七）知二求一
例题：已知
a
b
5
,
ab
3
，
求：①
a
⑴已知
m
n
2
，
mn<
/p>
2
2
2
a
b
b
2
②
a
b
③
a
2
b
2
④
⑤
a
2
ab
b
2
⑥
a
3
b
3
b
a
2
，则
(
1
m
)(
1
n
)
__
_____
⑵若
a
+2a=1
则
(a+1)
=________.
⑶若
a
2
<
/p>
b
2
7
，
a+b=5
，则
a
b=
若
a
2<
/p>
b
2
7
，
ab
=5
，则
a+b=
2
2
⑷若
x
+
y
=12,xy=4,
则
(x-y)<
/p>
=_________.
a
2
2
2
2
b
2
7
，
a-b=5
，则
ab=
⑸若
a
2
<
/p>
b
2
3
，
ab
=-4
，则
a-b=
2
2
2
2
⑹
已知
:a+b=7,ab=-12,
求
①
a
+b
=
②
a
-ab+b
=
③
(a-b)
=
⑺已知
a
＋
b
=3
，
a
3
＋
b
3
=9
，则
ab=
，
a
+b
=
,
a
-
b=
2
第五讲
乘法公式应用与拓展
【基础知识概述】
一
、基本公式：平方差公式：
(a+b)(a-b)=a
—
b
2
2
2<
/p>
2
2
完全平方
公式：
(a+b)
=a
+2ab+b<
/p>
(a-b)
=a
-2ab+b
变形公式：
（
1
）<
/p>
a
2
2
2
2
b
2
a
b
2
ab
2
2
（
2
）
a
（
3
）
（
4
）
b
2
a
b
2
ab
2
2
2
a
b
a
<
/p>
b
a
b
a
b
2
2
a
2
2
b
2
4
ab
2
二、思想方法：①
a
、
b
可以是数，可以是某个式子；
②
要有整体观念，即把
某一个式子看成
a
或
b
，再用公式。
③
注意公式的逆用。
④
a
≥
0
。
⑤
用公式的变形形式。
三、典型问题分析：
1
、顺用公式：
例
1
、
计算下列各题：
①
②
3(2
+1)(2
+1)(2
+1)(
2
、逆用公式：
例
2.
①
1
949
²
-1950
²
+1951
²
-1952
²<
/p>
+
……
+2011
²
-2012
²
2
4
8
2
a
b
a
b
a
2
b
2
a
4
b
4
a
8
<
/p>
b
8
2
16
+1)+1
1
1
1
1
②
1
2
1
2<
/p>
1
2
……
1
2
4
3
< br>
2010
2
③
1.2345
²
+0.7655
²
+2.469
×
0.7655
【变式练习】
填空题：①
a
2
6
a
＿＿
=
a
__
2
②
4
x
2
1
+
＿＿
=
（
)
2
6
．
x
2
+ax+121
是一个完全平方式，则
a
为（
）
A
．
22
B
．－
22
C
．±
22
D
．
0
3
、配方法：
例
3
．
已知：
x
²
+y
²
+4x-2y+5=0
，求
x+y
的值
。
【变式练习】
①已知
x
²
+y
²
< br>-6x-2y+10=0
，求
1
1
的值。
x
y
②已知
：
x
²
+y
²
+z
²
-2x+4y-6z+14=0
，求：
x+y+z
的值。
③当
x
当
x
当
x
当
x
时，代数式
x
2
取得最小值，这个最小值是
时，代数式
x
2
4
取得最小值，这个最小值是
时，代数式
x
3
4
取得最小值，这个最小值是
时，代数式
x
2
4
x
3
取得最小值，这个最小值是
2
2
对于
2
x
4
x
3
呢？
4
、变形用公式：
例
5.
若<
/p>
x
z
2
4
x
y
y
z
< br>
0
，试探求
x
z
与
y
的关系。
2
< br>2
例
6
．化简：
a
b
c
d
a
<
/p>
b
c
d
2
例
7.
如果
3(
a
b
2
c
2
)
(
a
b
c
)
2
，请你猜想：
a
、
b
、
c
之间的关系，
并说明你的猜想。
完全平方公式变形的应用练习题
一
:
1
、已
知
m
2
+n
2
-6m+10n+34=0
，求
m+n
的值
2
、已
知
x
2
y<
/p>
2
4
x
6
y
13
0
，
x
、
y
都是有理数，求
x
y
的值。
2
a
2
b
2
3
．已知
(
a
b
)
16,
ab
4,
求
3
二：
与
(
a
b
)
的值。
2
1
．已知
(
a
b
)<
/p>
5,
ab
<
/p>
3
求
(
a
b
)
与
3(
a
2
．已知
a
b
6,
a
b
4
求
< br>ab
与
a
3
、已知
a
b
2
2
2
b
2
)<
/p>
的值。
b<
/p>
2
的值。
<
/p>
4,
a
2
b
2
4
求
a
2
b
2
与
(
a
< br>
b
)
2
的值。
4
、已知
< br>(
a
+b)
=60
，
(
a
-b)
=80
，求
a
+b
及
a
b
的值
5
．已知
a
b
6,
ab
4
，求
a
6
．已知
x
2
2
2
2
2
2
b
3
a
2
b
2
ab
2
的值。
1
y
2
2
x
4
y
5
0
，求
(
x
1)<
/p>
2
xy
的值。
2