方差计算公式的变形及应用
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方差计算公式的变形及应用
江苏
庄亿农
我们知道，对于一组数据
x
1
、
x
2
、…
x
n
，若其平均数为
x
，则其方差可用公式
S
=
[(
x
1
x
)
< br>2
+
(
x
2
x
)
+
…
+
(
x
n
x
)
]
计算出来．我们可以对其作如下变形：
2
1
n
2
2
1
1
s
2
=
[(
x
2
1
+
x
< br>2
－
2
x
1
x
)+(
x
2
2
+
x
2
－
2 x
2
x
)+
…
+
(
x
2
n
+
x
2
－
2 x
n
x
)]=
[
(x
2
1
+x
2
2
+
…
+
n
n
1
1
2
2
2
x
2
n
)+n
x
－
2
x
(
x
1
+ x
2
+
…
+
x
n
)]=
[ (x
2
1
+x
2
< br>2
+
…
+
x
2
n
)+ n
< br>x
－
2n
x
]=
[ (x
2
1
+x
2
2
+
< br>…
+
x
2
n
)
n
n
1
1
1
2
2<
/p>
－
n
x
]=
[
(x
2
1
+x
2
2
+
…
+
x
2
n
)
－
(x
1
+x
2
+
…
+
x
n
)
2
]
，
即
s
=<
/p>
[
(x
2
1<
/p>
+x
2
2
+
…
+
x
2
n
)
－
n
n
n
1
< br>2
(x
1
+x
< br>2
+
…
+
x
n
)
2
]
．显然当
x
1
=x
2
=
…
=x
n
时，
s
=0
．
n
这
个变形公式很有用处，在解决有些问题中，巧妙地利用这个变形公式，可化繁为简，
具有
事半功倍之效．
一、判断三角形形状
例
1
若△
ABC
的三边
a
、
b
、
c
，
满足
b+c=8
，
bc=a
2
－
12a+52
，试判
断△
ABC
的形状．
解析：
因为
b+c=8
，所以
(b+c)
2
=64
< br>，所以
b
2
+c
2
=64
－
2bc
．因为
bc=a
2
－
12a+52
，所以
b
2
+c
2
=64
< br>－
2(a
2
－
< br>12a+52)=
－
2a
2
+24a
－
40
．
由方差变形公式知，
b
、
c
的方差为
s
=
－
2
1
2
2
[(b
+c
)
2
1
1
1
< br>2
(b+c)
2
]=
[(
－
2a
2
+24a
－
40)
－<
/p>
×
64]=
－
a
2
+12a
－
36=
－
(a
－
6)
2
．因为
s
≥
0
，则－
(a
< br>2
2
2
2
－
6)
2
≥
0
，
即
(a
－
6)
2
≤<
/p>
0
，
而
(a
－
6)
2
≥
0
，
所以
(a
－
6)
2
=0
，
所以
a
－
6=0
，
所以
a=6<
/p>
．
所以
s
=0<
/p>
，
所以
b=c
．
又
b+c=8
，所以
b=c=4
．所以△
ABC
是等腰三角形．
二、解方程组
x
y
3
例
2
解方程组
9
2
．
xy
2
z
4
解析：
两个方程，三个未知数，一般情况下是求不出具体的未知数的值的．
若考虑利用
方差变形公式，则能解决问题．
< br>9
+2z
2
，所以
x
2
+y
2
=9
－
4
9
< br>9
1
1
1
9
2
2(
+2z
2
)=
－
4z
2
．
由方差变形公式知，
x
、
y
的方差为
s
=
[ (x
2
+y
2
)
－
(x+
y)
2
]=
[
－
4
2
2
2<
/p>
2
2
1
2
2
4z
2
－
×
9]=
－
2z
2
．因为
s
≥
0
，－
2z
2
≥
0
，则
2z
2
≤
0
，而
z
2
≥
0
，所以
z=0
．所以
s
=0
，
2
因为
x+y=3
，所以
(x+y)
2
=9
，所以
x
2
+y
2
=9
－
2xy
．因为
xy=<
/p>